分层练48数列的综合问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计的数列综合训练，通过构造法、错位相减等方法体系，系统梳理递推关系、等差等比判定及新定义数列的知识逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|5题|构造辅助数列求通项、等差等比判定、错位相减法求和、新定义数列分析|从递推关系到通项公式，再到前n项和，形成“概念生成-原理推导-应用拓展”逻辑链| |B级能力提升|1题|数列交叉项分析、分组求和|综合等差等比性质，深化知识间内在联系，提升复杂问题解决能力|

分层练48数列的综合问题 【A级基础巩固】 1. 已知数列a}满足4=1,0=3-少2+1+少 20+ 2 (①)设b=4,求数列b,}的通项公式： (2)求数列{a,}的前2n项和S 2.已知{a,}为等比数列，4,4,4，分别是下表第-、二、三行中的数，且a,4,4 中的任何两个数都不在同一列，b,}为等差数列，其前”项和为S,且 a=b-2b,S,=7a3 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 (1)求数列 {a},b.} 的通项公式： (2若，=[b,],其中[是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如 [g2]=0,[lg98]=1,求数列{}的前100项的和T∞ 3.定义：若数列{a,}对任意的正整数”，都有a+a,=d(d为常数)，则称 {a,}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”.己知“绝对和数列”{a}中， 4=2,绝对公和为3，求数列{a,}前2023项和S22的最小值 1 n为奇数， an= 2a+2 n为偶数， 21 4.已知数列递推定义： (1)判断数列{a} 是否为等差数列或等比数列，请说明理由； (2)求证：数列 是等差数列，并求数列{口，}的通项公式 5.已知数列 {a}满足对任意的neN,都有4+a++a=(a+a4,++a》, 且0n>0 (1)求数列a} 的通项公式： 1 (2)设数列a.a+2的前n项和为Sn,不等式 ,>3og,1-a) 对任意的 正整数n恒成立，求实数a的取值范围 【B级能力提升】 6. 己知等差数列{a}和等比数列b,}满足4=2，b,=4,a,=2ogb,neN ①)求数列{a}、也，}的通项公式： (2)设数列{a}中不在数列b,}中的项按从小到大的顺序构成数列{c,}, 记数列c}的前n项和为S,求Sw 分层练48数列的综合问题参考答案 a-3-少a.+1+ an= 2an,n为奇数， 1.解(1)由 2 2，得 an+l,n为偶数， 所以b1=01=am+l=2a+1=2b+1，即b+l=2(6,+1) 因为6+1=a+1=2≠0 所以教列也+是首项为2，公比为2的等比教列， 所以b,+1=2”,救b,=2”-1 （(②)由(0为am1=b,4,=a1+1=2b.,所以 S2n=(a1+a3+…+a2-i)+(a2+a4+…+a2n) =(6+b2+…+bn)+2(b+b2+…+bn) =3[2+22++2”-n =3x20-2-3n 1-2 =3×2m+1-3n-6. 2解(1由题意知4=2,4=4,4，=8，所以等比教列{a,}的公比9=2，a,=a9=2” 等送教列6为价运为日，剥6=2%-24。鸟-7伯】7观 2 所以b=8=b+3d,所以6=2，d=2,b,=2n @周为，=2n,所以9，=[g(2n】所以 To=G+C2+…+C=[lg2]+[lg4]+…+[lg100]=4×0+45x1+51x2=147. 3.解依题意，要使S的值最小，只雷每一项的值都取最小值即可.因为4=2，绝对公差 d=3,所以4，=1或0=5〔舍)，所以4，=4或4，=2（舍劫，，所以满足条件的教 2,n为大于的奇数， 列a,}的通项公式 -l,n为偶数， 所以 S2023=a+(a2+a)+(a4+a5)+…+(a202+a223） =2+-1-2）×2023-1-3031. 2 1111。,1 4.(1)解由题意可知 2,422 41= 2,所以4=1,2a,+7=2a+1=34=3 2 2 2 9+1=3.11 2+224+2 0,=2a+4 =5a4= =2a2+2=8 7 2 因为0，-2=4，a4-a=3 a3-a2≠a4-a3 4=24=54≠4 所以教列{a}不足等差教列.又因为4,43,4a, 所以教列a,也不是等比载列 a-=}0=3 2证明因为对任毫正整教n,41=2a,+2,222,22, 所以数列 3 a2_3,n-1 2" 是首项为2，公差为2的等差数列从而对n∈N，2”2T2 a=(n+2)2- ,所以教列a,}的适项公式足0，=(1+2)2 5.解1)透等差数列a,}的公差为d,因为b,=4,所以4，=210gb,=4,所以 d=4-4=2,又4，=210g,0,所以b.=22=2”所以n=log,4,即b.=2 ②0得么-2”=2-2=a,即九.是款列a,}的第2项，设载列a,}的前n项和 为P,戴列b,}的前n项和为2，因为么=4，b,=a,b=a4,…,所以数列c.} 的前10项是由数到a,}的前107项去护教列}的前7项后杓底的，所以 Sm=Pm-g,-107×2+214_2-2=1302 2 1-2 6.解由4+a++a=(a+4++a,尸0，则a+a++a=(a+4++a} ②，②-①得 di=(+a+..++dm-++d)=dmu[2(a+as+.+)+ a.>0,所以a=2(a+4++a)+01,则a=2(a+a,++0)+a.(n≥2）， 故0-a=a+a,由4，>0，所以01-a,=1又=a,所以4=1，又 4=(a+a》,得4=2，所以4-4=1，即当n≥1时，有0-0，=1，所以教列a} 是首项为1，公差为1的等差数列，故a,=n 11=111 (知a,=n,则a,02n(n+2)）2nn+2 ，所以 1 aa azas anan+2 》+0.2》 1(311 24n+1n+2 5,a+a+3)0,所以数到5，}单拥通， ->0 1 (S)min =S= 则 要使不等式 5.>jlog.(l-a) 任意的正整数n恒成立， 1>21og.1-a 只要33 0<a<1 即可，易知0<a<1,则1-a>a,解得2， 所以实数口的取值范围是