5.3 二元一次方程组的应用（第1课时 古代数学问题）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，以古代数学问题为核心，通过视频引入“雉兔同笼”情景，衔接方程组解法，以古代术法、一元一次方程到二元一次方程组的递进搭建学习支架。 其亮点在于融入《张丘建算经》等古代问题，通过多种解法对比培养数学思维，归纳“审设列解验答”步骤强化模型意识。体现数学眼光（抽象数量关系）和数学语言（方程组表达等量关系），助力学生提升分析与建模能力，为教师提供结构化教学资源。

【新教材】北师版·八年级上册 第五章 二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用 5.3.1 古代数学问题（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题. 经历同方程组解决实际问题的过程，体现方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型. 培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值. 情景引入 思考：视频中的问题你知道怎么解决吗？ 情景引入 《雉兔同笼》 “今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？” （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列出方程组解决这个有趣的问题吗 你是怎么做的，与同伴进行交流。 新知探究 术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。 又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 金鸡独立，兔子站起 脚数： 94÷2=47（只） 头数： 兔：47-35=12（只） 鸡：35-12=23（只） 方法一 新知探究 方法二 (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只， 4x＋2(35－x) = 94 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 解得 x = 23 即 35－x = 12 新知探究 方法三 等量关系： 鸡头 + 兔头 = 35， 鸡足 + 兔足 = 94. 鸡 兔 总数 头 足 x y 35 2x 4y 94 设鸡有x只，兔有y只 上有三十五头， 下有九十四足． 新知探究 解：设鸡为 x 只，兔为 y 只.则 ①×2 得 2x + 2y = 70，③ ②-③ 得 2y = 24， y = 12. 把 y = 12 代入①，得 x = 23. 答：有鸡 23 只，兔 12 只. x + y = 35， ① 2x + 4y = 94. ② ∴原方程组的解是 x = 23， y = 12. 加减消元 归纳总结 新知探究 归纳总结 列二元一次方程组解实际问题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系； （2）设：设未知数，可直接设，也可间接设； （3）列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义； （6）答：写出答案，包括单位名称. 新知探究 尝试思考 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？［选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，1170-约1240）的《计算之书》 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔. 由题意，得 解得 答：甲、乙两人原来各拥有 第纳尔. 题型一 题型探究 方法技巧 解古算题时，理解题目叙述的意思是关键，然后把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系. 用二元一次方程组解决古代数学问题 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多余乙钱五倍。乙的甲十钱，适等。问，甲乙坏钱各几何？（选自《张丘建算经》）其大意是：甲乙两人各带了若干钱。如果甲得乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等。甲乙两人各带了多少钱？ 解：设甲带的钱数为 x ，乙带的钱数为 y ，根据题意，得由题意，得 解得 答： 甲带了38钱，乙带了18钱 . 题型二 题型探究 方法技巧 找等量关系的方法：(1) 抓住题目中的关键词，常见的关键词有 “比”“是”“等于”；(2) 根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；(3) 挖掘题目中的隐含条件. 二元一次方程组的应用 例2.程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作《算法统宗》中记载有如下问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？ 题意：用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 4 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺. 绳长、井深各是多少尺？ 题型二 题型探究 方法技巧 找等量关系的方法：(1) 抓住题目中的关键词，常见的关键词有 “比”“是”“等于”；(2) 根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；(3) 挖掘题目中的隐含条件. 二元一次方程组的应用 解：设绳长 x 尺，井深 y 尺， 由题意可得 x - y = 1. 解此方程组，得 x = 36， y = 8. 答：绳长 36 尺，井深 8 尺. x - y = 4， 课堂小结 实际问题 数学问题 二元一次方程组 设未知数、列方程组 转化 数学问题的解 二元一次方程组的解 检验 实际问题 的答案 变式训练 1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(　 ). 变式训练 2. 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为___________. 变式训练 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品。每人出 8 钱，剩余 3 钱；每人出 7 钱，还缺 4 钱。问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格。 答：有 7 个人，物品的价格为 53 钱。 解：设有 x 个人，物品的价格为 y 钱， 解得 由题意，得 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! Lavf57.62.100 $