5.4 二元一次方程与一次函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的关系，通过情境引入（如x+y=5与y=-x+5的关系辨析），从方程解与函数图象点的对应，到方程组解与函数图象交点的联系，搭建“数与形”转化的学习支架。 其亮点在于以“问题链”驱动探究，结合几何直观与模型意识，如“议一议”行程问题用待定系数法确定函数表达式，例题通过图象法解方程组培养推理意识。采用情境引入、探究活动、典例精讲结合课堂练习，归纳核心关系与对应法则，助力学生提升数形结合能力与应用意识，为教师提供清晰知识脉络与丰富实例。

5.4二元一次方程与一次函数 1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解． 2.二元一次方程组有哪些解法？ 代入、加减 消元法 图象法 是一种代数方法 2 用二元一次方程组确定一次函数表达式 议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法，并与同学们交流. 1小时后 2小时后甲距A地30千米 乙距A地80千米 甲 A 乙 B 3 情境引入 思考：x+y=5与y=-x+5有什么关系？它们是一次函数解析式还是二元一次方程呢？ 方程的角度 函数的角度 一次函数解析式 二元一次方程 x+y=5 y=-x+5 变形 新课讲授 问题1：方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 方程x+y=5的解有无数个.   探究一：二元一次方程与一次函数图象的关系 新课讲授 y=-x+5 问题2：在直角坐标系内分别描出以 这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=-x+5的图象上吗？   探究新知 【问题4】以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？ 方程x+y=5的解有无数个，以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同，是同一条直线. 在一次函数 y=5-x的图象上 方程x+y=5的解 从形到数 从数到形 7 归纳总结 二元一次方程与一次函数的关系： 任何一个二元一次方程都可以化成一次函数表达式的形式. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一个二元一次方程对应着平面上的一条直线. 8 例1 用作图象的方法解方程组: 解：由x－2y=－2可得: 同理，由2x–y=2可得y=2x – 2，在同坐标系中作出一次函数: 典例精讲 【典例精讲】 设计意图：设计例1进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过例2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化． 2026/8/7 9 观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 通过本题可知，我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法． 典例精讲 的解是 归纳总结 二元一次方程组与一次函数图象的关系： 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解； 解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点. 对应 二元一次方程组的解 两个一次函数图象的交点坐标 11 探究新知 【思考1】在同一直角坐标系内，一次函数 y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系？ 一次函数y=x+1和y=x-2的图象平行. x -2 y -2 2 -1 O 1 3 -1 1 3 2 y=x+1 y=x-2 12 所以旅客最多可免费携带30千克的行李.   例.某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质 量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了 60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元. (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？ x=60，y=5； x=90，y=10. 典例分析 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法. 知识归纳 待定系数法： 2.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上． ∴ 解：设过A，B两点的直线的表达式为 y=kx+b，根据题意，得 ∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2． ∵当x=4时，y=4-2=2． ∴点C（4，2）在直线y=x-2上． ∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2） 在同一条直线上． 3.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长度y(m)与修筑时间x(h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ； （2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 . 2 5 10 50 70 x y 甲 乙 O (m) (h) y=10x y=20x-30 3．利用图象法解二元一次方程组： 解：分别画出两条直线，两条直线交点的坐标为（1，1），∴ 方程组的解为 课堂练习 三、典例精讲 2026/8/7 17 4．用图象法解下列二元一次方程． 解：直线 与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为 课堂练习 (1) 四、课堂练习 2026/8/7 18 B 04 课堂练习 方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。 方式Ａ:y=0.1x 方式B Y=0.05X+20 解方程组 得 故交点坐标为 (400,40) 。 由图象知： 当0 < x < 400时，选方式A省钱； 当x = 400时，选方式A或 B都一样 当x > 400时，选方式B省钱。 y=0.1x y=0.05x+20 x=400 y=40 【知识技能类作业】选做题： 04 【知识技能类作业】选做题： 方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB- yA为y元， 得y =-0.05x+20，当差额为0是即 -0.05x + 20 = 0 得：x=400 故直线 与x 轴的交点为（400，0） 由图象知： 当0 < x < 400时，y > 0，选方式A省钱； 当x = 400时，y = 0，选方式A或B都一样； 当x > 400时，y < 0，选方式B省钱 课堂练习 练习3 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,发现在水沸腾前,水的温度 与加热时间x(分钟)之间满足一次函数关系,如表记录了实验中温度 和时间x(分钟)变化的部分数据. 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是( ) A. B. C. D. 解析：设y与x的解析式为 , 由表格数据知：当 时, ；当 时, . ∴ ,解得： , ∴y与x的解析式为 , 当 时, , ∴加热18分钟时水的温度是 .故选：B. 解析：∵ 与 的图象交于 ， ∴ 与 为 与 的图象都向下平移1个单位长度，交点为 ， ∴方程组 的解为 ，故答案为： . 练习7 如图，一次函数 与 的图象交于 ，则关于x，y的方程组 的解为_______. $