专题01 数列的概念及等差数列（竞赛培优专项训练，14大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦数列概念与等差数列，通过14类题型系统覆盖基础概念、通项求法、性质应用及创新拓展，注重数学抽象与逻辑推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列的概念及辨析|3题|考查通项公式辨析与函数背景下的数列性质|从概念辨析到函数思想应用，构建数列认知基础| |确定数列的项|3题|结合分形几何、递增整数列等情境求指定项|强化数列项的确定方法，体现数学建模意识| |等差数列性质及应用|4题|围绕基本量计算、前n项和性质及最值问题|从基本量到性质拓展，形成等差数列知识链| |创新与文化题|6题|包含数学文化、新定义及跨学科情境题|融合数学文化与创新思维，提升知识迁移能力|

专题01数列的概念及等差数列 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 数列的概念及辨析 题型08 等差数列的性质及应用 题型02 确定数列的项 题型09 等差数列前n项和性质及应用 题型03 数列的周期性 题型10 等差数列的增减性及最值问题 题型04由求 题型11 等差数列项的绝对值的和 题型05 由递推关系求通项 题型06 数列的单调性及应用 题型07 等差数列基本量的计算 题型12 裂项相消法求和 题型13 与数列有关的数学文化题 题型14 与数列有关的创新题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 数列的概念及辨析 1．数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 2．已知数列满足，若，则下列是数列的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】计算数列的前四项的值，分析可知，对任意的，，即可得出合适的选项. 【详解】因为数列满足，且，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 故选：ABD. 3．已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【分析】由已知得，若，分别对分类讨论即可判断；②若，求得即可判断．③当时，计算可判断；④，进而可得，可判断． 【详解】①，所以，若， 当时，，解得． 当时，则，解得，当时，则，解得； 当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）； 综上可得：可以取3个不同的值：5，，．因此①正确． ②若，则，，，可得．数列是周期为3的数列，故②正确． ③当时，，，， 所以不存在正整数，，故③正确． ④先考虑数列的周期性， 对于，则，， ，，，要使是周期数列， 则有，解得， 从而存在，使得数列是周期数列，周期为， 从而要使周期为，只需，即即可，故④正确． 故答案为：①②④. 考点二 确定数列的项 4．数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察可知数列的构成规律为个，个，个，，个， 因为，而， 所以数列的第项为， 故选：B. 5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断，即可求解. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈， 第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误. 6．已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断. 【详解】对A，在原式中令，则，故A正确； 对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确； 对C，由得，则，则， ，，原式中令， 令，因为递增数列，C错； 对D，由，令，由单调递增， ，令，令则， 则时，，且， 则时，时，， 当时，时，， 在原式中令， 同理由，D正确， 故选：ABD． 考点三 数列的周期性 7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 故选：B 8．数列满足，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据递推公式，得到，，，，，，从而得到数列是以5为周期的周期数列，进而即可求出． 【详解】由， 则，，，，， 所以数列是以5为周期的周期数列， 又，则． 故答案为：． 9．已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 【答案】 【解析】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 考点四 由求 10．数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列，公差为 B．是等比数列，公比为3 C．是等差数列， D．是等比数列， 【答案】D 【分析】根据进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，. 当时，由， 得， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 故选：D 11. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】先令求出，当时，利用和两式相除，经过适当的变形得出数列是公差为的等差数列，进而求出，最后解不等式即可得出答案. 【详解】由题意，当时，则， 当时，①可得②，①②得：， 所以数列是公差为的等差数列，故， 令，又，所以的最小值为. 故选：B 12．已知数列满，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据通项公式与前n项和公式之间的关系可得数列的通项公式.对于ABC：根据数列的通项公式结合对数分析判断；对于D：构建，结合导数可证在上恒成立，结合通项公式分析判断. 【详解】因为， 当时，则； 当时，则， 两式相减得，即； 综上所述：. 对于选项A：，故A错误． 对于选项B：， 因为，即，则，即，故B错误； 对于选项C：，， 因为，即， 可得，即，所以，故C正确； 对于选项D：设，记，则， 故，在上恒成立， 所以，故D错误． 故选：C． 考点五 由递推关系求通项 13．设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列的前项和 C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列 【答案】AB 【分析】由条件找到，结合等比数列定义即可得A、B；由的通项公式可求得的通项公式，即可得C、D. 【详解】对A、B：，， 又，数列是首项公比都为的等比数列， 故，即，故A、B正确； 对C、D： 当，， 当，，，故C错误. ，， 所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 14．已知数列，有，，求通项. 【答案】 【分析】将两边同时取倒数，构造可得数列是等比数列，求出的通项公式后即可求解. 【详解】将两边同时取倒数，得， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，解得. 15．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 考点六 数列的单调性及应用 16．已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 17．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 18．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则______；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为______. 【答案】 3 【分析】分别讨论去掉、、和，可得，，，根据等比中项性质，分别求出d值，分析即可得答案；根据d值，求出、的通项公式，代入所求，可得，令，利用导数求得的单调性和极值，检验分析，即可得答案. 【详解】由题意，可知，，，， ①当去掉的是，则，，， 由数列是等比数列，则，即， 化简可得，解得，不符合题意； ②当去掉的是，则，，， 由数列是等比数列，则，即， 化简可得，解得或，不符合题意； ③当去掉的是，则，，， 由数列是等比数列，则，即， 化简可得，解得或，则符合题意； ④当去掉的是，则，，， 由数列是等比数列，则，即， 化简可得，解得，不符合题意. 故等差数列中首项，公差，则； 故等比数列中，，，公比，则. 由，则，即，令， 令，则， 令，则，由，则， + - 单调递增 极大值 单调递减 当时，；当时，. 所以的最大值为，则，即. 故答案为：；. 考点七 等差数列基本量的计算 19．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】D 【分析】由等差数列下标和的性质可得，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 则. 故选：D 20．已知等差数列的前n项和为，，，，则实数m的值是______． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】依题意， 设等差数列的公差为， 则，， 两式相减得，则， ， 所以，解得. 故答案为： 21．已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接计算等差等比数列的基本量，进而可能通项公式； （2）（ⅰ）当时，此时数列是公差为的等差数列，故得，当时，，进而可得，再通过待定系数法构造等比数列，从而可得；（ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，先求第段和，再对进行分组并项求和可得. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，由得​： ， 即，解得，因此： . 对于等比数列，公比，，由得：， ​得，结合，解得，因此： . 综上，，. （2）因为，由上分析知，，所以，. （ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项， 因此，①. 当时，，将①代入得. 因此②. 用待定系数法构造等比数列：设， 则，与②比较得，解得, 所以， 故数列是公比为的等比数列，且首项. 所以，即， 又因为，所以，， 因此. （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列， 即第段：，项数；第段：，项数； 第段：，项数；；第段：，项数； 记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列， 所以 ， 对求和， ， 因此，. 考点八 等差数列的性质及应用 22．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项性质得到，然后即可求解. 【详解】因为数列为等差数列， 因为，得，所以， 所以，故A项正确. 故选:A. 23．等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 【答案】使的最大的正整数. 【解析】由于，又因为，所以，且， 从而， 故有，， 即使的最大的正整数. 24．已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为. 给出下列四个结论： ①； ②； ③使成立的的最大值为4048； ④当时，取得最小值. 其中所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①②④ 【分析】由与的关系即可判断①；由等差数列的性质即可判断②③；由裂项相消法可判断④. 【详解】，， 所以，故①正确； 因为数列为等差数列，所以，公差， 所以， 因为， 所以，由， 所以，即，故②正确； 因为， ， 所以成立的的最大值为，故③不正确； 因为，，所以，公差， 所以， ， 又， 所以当时，取得最小值，故④正确. 故答案为：①②④. 考点九 等差数列前n项和性质及应用 25．已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列性质运算求解. 【详解】因为，为等差数列， 则， 即. 故选：D. 26．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【解析】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 27．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】因为首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为， 设首项为则，公差为，则. ①因为，所以，所以. 所以，，①正确； ②因为，所以，化简得， 所以，所以. 解得，所以使的最大的n为15，②正确； ③因为，所以. 所以，所以，则中最大，③错误； ④因为，所以， 当时，由可知；当时，有，故恒成立，④正确. 故选：C. 考点十 等差数列的增减性及最值问题 28．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 29．设是等差数列，记，设为的前n项和，且，若取最大值，则（ ）. A．14 B．15 C．16 D．17 答案C 【分析】 由，知，，所以．由，，知，，由此能够推导出中最大． 【解析】 由且， 所以， 所以，，即 因为， 所以， 所以， 因为，， ，， 所以，即 所以， 所以最大． 故选：C 30．设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 答案C 【分析】 设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误. 【解析】 设等差数列的公差为，则. ①当时，则，，则对任意的恒成立， A、B、C、D四个选项都成立； ②当时，不妨取，记，则， 由可得，即， 则， 令，可得； 令，可得. ， 则， 解关于的不等式， 可得或， 所以或. 由于数列单调递减，该数列没有最小项； 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，数列单调递减，该数列的最大项为， . 对于A选项，，， 则， ， ， 则， 所以，，A选项成立； 对于B选项，， 则， ， ， 则， 所以，，B选项成立； 当时，； 当时，. 满足，. 对于C选项，，， ， ， 当时，， 所以，C选项不一定成立； 对于D选项，， ， 所以，， D选项成立； ③当时，由②同理可知，C选项不一定成立. 故选：C. 考点十一 等差数列项的绝对值的和 31．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 32．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【解析】（1）因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 33．数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______． 【答案】 【分析】令，则，结合累加法，确定中，有个，个，再结合组合数的应用即可求得结果. 【详解】由题知，，，， 令，则， 所以， 即， 设中有个，有个， 则，解得， 所以在中，有个，个， 所以满足这些条件的数列的个数， 即为从个位置中选出两个位置放的组合数， 即. 故答案为： 考点十二 裂项相消法求和 34．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 【答案】 【分析】借助与关系计算可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． 35．设数列为等差数列，且，，.记，正整数满足，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 答案C 【分析】 求得，化简得出，并结合题意求得正整数的值，然后利用裂项相消法可求得结果. 【解析】 设的公差为，则，即， 所以，又，所以， ， 因为，，所以， 所以数列的前项和为. 故选：C. 36．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列满足，，则__________. 【答案】333000 【详解】由已知条件可得，则. 令， 则 即. 所以，，…，. 累加得，所以. 于是，. 则. 考点十三 与数列有关的数学文化题 37．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 【答案】乙酉 【解析】由题意可得，天干每年一循环，地支每年一循环， 由，故百年后的天干为乙，地支为酉， 即2125年是乙酉年. 故答案为：乙酉. 38．在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有______种． 【答案】144 【分析】首先设从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为，由题意得到递推关系式，再代入求. 【详解】按李白的迈步方式，记从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为，显然，， 当时，要登上第个台阶，可以分两类： 第一类，从第个台阶一步迈上，有种； 第二类，从第个台阶一步迈上，有种． 根据分类加法计数原理，． 易得，，，，，，，，． 故答案为： 39．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的性质求得第2026行共有2027个数，即可判断A；根据组合数的性质化简即可判断B；利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解，进而判断C；根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质求解，即可判断D. 【详解】对于A选项，由题意，第行的第个数可以表示为（时）， 所以第2026行的第1个数为，最后1个数为，共有2027个数，故A正确； 对于B选项，由题意可得，从第4行起到第19行， 每一行的第4个数字分别为、、、、、、， 其和为 ，故B正确； 对于C选项，第48行的所有数字之和为 ， 又 ， 由于能被7整除， 所以第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故C错误； 对于D选项，第行的所有数字之和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第1行开始，剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，则行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，故D正确. 考点十四 与数列有关的创新题 40．已知数列满足，，，给出下列两个命题，则（ ） 命题①：对任意和，均有 命题②：存在和，使得当时，均有 注：和分别表示与中的较大和较小者. A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 答案A 【分析】 命题①先证，再证即可得出命题为真;命题②根据条件，构造指数为等比数列，即可求得，进而判断命题②正确. 【解析】 因为，，对任意和， 所以，，以此类推，，即可得：， 所以所有分母均为大于1的正数， 所以，，以此类推可得，即可得 (当且仅当时等号成立),所以命题命题①为真； 当，即，令，则， 当数列为等比数列符合题意， 则有：，解得：， 当时，， ，当时，均有. 所以，存在和，使得当时，均有，命题②正确. 故选：A 41．若数列满足，则称数列为的一阶差分数列．从集合中任取4个不同的数，按照从小到大排列构成一个四项数列，则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为______． 【答案】 【分析】先计算从集合中取4个数的总组合数，再找出满足“一阶差分数列是公差等于3的等差数列”的选法数，再由古典概型概率公式计算即得. 【详解】从集合中任取4个不同的数， 按照从小到大排列构成数列， 总共有种不同的取法. 因数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列， 设，则，因， 则，， ， 依题意，，即，也即，且， 当时，可取，共8种选法； 当时，可取，共5种选法； 当时，可取，共2种选法； 当时，，不合题意. 故满足条件的取法共有种. 则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为. 42．对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【答案】(1)；； (2) (3)676 【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可. （2）先分析集合的元素特征，证明中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项. （3）先根据的元素个数限制推导集合、为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解的最大值. 【详解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 一、选择题 1．（2024·全国“极光杯”联赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设5个正数组成数列， 则， 则，解得. 故选：D 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意得，，显然单调递增，， 当时，， ∴， ∴ ， ∴ ∴， 又因为， ∴，A选项正确； ∴，C选项错误； ∵， ∴， ∴，B选项错误； ∵， ∴， ∴，D选项正确， 故选：AD 二、填空题 3．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，由数列的前项和与的关系得出数列的通项公式即可求解. 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 4．（25-26高三下·北京·强基计划）已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 【答案】 【详解】记，由平均数条件可得，且有与， 于是， 所以， 取时，可使得等号成立. 5．（24-25高三下·全国·强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 【答案】当时数列的前项和;当时数列的前项和. 【分析】先求得等差数列的公差或,然后利用作差法得到得,其中为数列的前项和，即，再次作差并检验初始值得到,在两种情况下分别求得的表达式，进而代回得到. 【详解】设公差为,由已知得,解得或, ，得， 相减得,其中为数列的前项和. ∵,∴① ∴  当时 ②, ①②两式相减得③, ,,, , , ∴③式对于都成立. 当时，,代入①得. 当时,代入③得, , 为首项为，公比为的等比数列， , 代入①得. 6．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知数列满足，，．那么_________． 【答案】 【分析】由累积法求得，由错位相减法求得，进而求得的值. 【详解】因为，，所以， 所以，，，， 所以由累乘法得，所以， 也适合上式，故， 令， 所以， 两式相减得， 所以， 所以. 7．（2026高三下·湖北·竞赛）设，，其中为虚数单位，．设所有能表示为形式的数之和为复数，则______． 【答案】 【分析】利用独立项累加与等比数列求和简化运算：先明确每个下标对应的项独立取1或i，固定任意第项，剩余项共有种组合，据此算出该项取1、i时的总累加贡献，汇总得到所有项的总贡献表达式；再代入等比数列求和公式算出的结果并化简总复数和，最后依据复数模的乘积性质，拆分求解总复数和的模长. 【详解】设，，，共有种组合. 固定任意一个下标，剩下个各自都能取或，一共有组搭配. 在这全部组搭配里，有两种选择： ①当时，这部分所有式子中，第项的值恒为，一共出现次，累加和为. ②当时，这部分所有式子中，第项的值恒为，一共出现次，累加和为. 把两种情况的累加和相加，得到第项在全部复数总和里加起来的全部总量 . 则全体和. 等比数列求和.代入化简. 由复数模性质，，. 所以. 8.（25-26高三下·北京·强基计划）已知正实数列的前项和为，若，，则的整数部分为________． 【答案】 【详解】当时，由题意可得， 所以，又，所以， 所以，所以， 则的整数部分为. 9．（2024高二下·吉林·竞赛）已知数列 满足:，，.求证:. 【答案】证明见详解. 【分析】由，得，再根据等差数列的定义得到是等差数列并求出其通项公式，利用，得到，再利用基本不等式即可证明. 【详解】证明：由，得，又，， 所以是首项为2，公差为1的等差数列，检验时成立， 所以. 令，得. 由可得，，又，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 又，所以. 10．（2025·重庆高中数学联赛预赛）已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为__________． 答案 【解析】 在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，由，得到是取中最大值，是数列中的最小项，又单调递减，单调递增，当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，当时，，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为. 11．（2025全国高中数学联赛吉林赛区预赛）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为____. 答案 【分析】 推导出对任意的时，取最大值时，为等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的最大值. 【解析】 因为数列满足，， 所以，，可得，，则. 易得当时，，则、、、均为正数， 由可知，可得数列为单调递增数列， 当取最大值时，，可得， 所以，对任意的，取最大值时，数列为等比数列，且该数列的公比为，首项为. 因此，的最大值为. 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程，在范围内方程的所有解从小到大构成一个等差数列，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】首先化简方程，先求确定的实数根，再结合题意讨论的实数根的情况，即可求解. 【详解】， ，， ，，，得， 所以，内的所有实数根分别为，构成等差数列， 若在内无实数根，即，，得或， 此时原方程内的所有实数根分别为，构成等差数列，满足条件； 若在内有实数根，是，此时这5个数能构成等差数列，得， 若在内有实数根， 当时，方程的实数根为，当时，方程的实数根为，这两种情况，原方程内的所有实数根分别为，构成等差数列，满足条件； 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 13．（2026高三下·广西·竞赛）设为数列的前项之和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和公式用表示，通过配方求最小值，结合已知不等式恒成立求的最大值． 【详解】设等差数列的公差为，则 ， 当即时取等号， 故． 14．（2024·海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值 （答案用含a的式子表示） 【答案】 【解析】记，设方格表为，，，. 第一步：改变某个的值仅改变和， 设第行中除外其余个数的和为，第列中除外其余个数的和为， 则. 当时，关于递增，此时可将调整到，值不减. 当时，关于递减，此时可将调整到1，值不减.因此，为求的最大值， 只需考虑每个小方格中的数均为1或的情况. 第二步：设，，，只有有限多种可能， 我们选取一组使得达到最大值，并且最小.此时我们有（*） 事实上，若，而，则将改为后，行和及列和变为，， 则，则与达到最大矛盾，故. 若，而，则将改为1后，不减，且变小，与的选取矛盾. 从而（*）成立. 通过交换列，可不妨设，这样由（*）可知每一行中排在1的左边， 每一行中的数从左至右单调不增.由此可知. 因而只能，故每一行中的数全都相等（全为1或全为）. 第三步：由第二步可知求的最大值，可以假定每一行中的数全相等. 设有行全为，有行全为1，.此时. 我们只需求中的最大值. . 因此（记） . 记上式右边为，则. 下面证明. 首先证明. . 由于， 故. 再证明，等价于证明. 由于，， 只需证明，而，故结论成立. 由上面的推导可知当且仅当时成立，从而最大. 故. 故答案为：. 15．（2026高三下·广西·竞赛）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用当时， ，得，然后利用等比数列定义及通项公式求解，注意时是否成立. （2）先判断数列中，，，，，，且时，，然后有，即可求解. （3）利用裂项相消法求和得，然后利用指数函数性质及有界性求解恒成立问题. 【详解】（1）因为点位于直线上，所以. 于是，，故. 当时，，故，由此可得， 从而为首项是2，公比是2的等比数列，则，且时也成立. 因此. （2）， 易知，， ， ， ， 事实上，当时，由可知， 当时，数列为一个递减数列，. 因此，当时，. 于是，，即对任意均有. 故. （3）因为， 所以 . 故单调递增且，所以. 因此，即的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01数列的概念及等差数列 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 数列的概念及辨析 题型08 等差数列的性质及应用 题型02 确定数列的项 题型09 等差数列前n项和性质及应用 题型03 数列的周期性 题型10 等差数列的增减性及最值问题 题型04由求 题型11 等差数列项的绝对值的和 题型05 由递推关系求通项 题型06 数列的单调性及应用 题型07 等差数列基本量的计算 题型12 裂项相消法求和 题型13 与数列有关的数学文化题 题型14 与数列有关的创新题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 数列的概念及辨析 1．数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，若，则下列是数列的项的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，数列满足，. 给出下列四个结论： ①若，则有3个不同的可能取值； ②若，则； ③对于任意，存在正整数，使得； ④对于任意大于2的正整数，存在，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 考点二 确定数列的项 4．数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 考点三 数列的周期性 7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．数列满足，且，则_________． 9．已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 考点四 由求 10．数列的前项和为，若，则（   ） A．是等差数列，公差为 B．是等比数列，公比为3 C．是等差数列， D．是等比数列， 11. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 12．已知数列满，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 考点五 由递推关系求通项 13．设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列的前项和 C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列 14．已知数列，有，，求通项. 15．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 考点六 数列的单调性及应用 16．已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则______；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为______. 考点七 等差数列基本量的计算 19．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 20．已知等差数列的前n项和为，，，，则实数m的值是______． 21．已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 考点八 等差数列的性质及应用 22．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 23．等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 24．已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为. 给出下列四个结论： ①； ②； ③使成立的的最大值为4048； ④当时，取得最小值. 其中所有正确结论的序号是_____________. 考点九 等差数列前n项和性质及应用 25．已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 26．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 27．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 考点十 等差数列的增减性及最值问题 28．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 29．设是等差数列，记，设为的前n项和，且，若取最大值，则（ ）. A．14 B．15 C．16 D．17 30．设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 考点十一 等差数列项的绝对值的和 31．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 32．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 33．数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______． 考点十二 裂项相消法求和 34．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 35．设数列为等差数列，且，，.记，正整数满足，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 36．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列满足，，则__________. 考点十三 与数列有关的数学文化题 37．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 38．在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有______种． 39．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（   ） A．第2026行共有2027个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 考点十四 与数列有关的创新题 40．已知数列满足，，，给出下列两个命题，则（ ） 命题①：对任意和，均有 命题②：存在和，使得当时，均有 注：和分别表示与中的较大和较小者. A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 故选：A 41．若数列满足，则称数列为的一阶差分数列．从集合中任取4个不同的数，按照从小到大排列构成一个四项数列，则数列的一阶差分数列是公差等于3的等差数列的概率为______． 42．对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 一、选择题 1．（2024·全国“极光杯”联赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 4．（25-26高三下·北京·强基计划）已知数列满足，且对任意正整数，存在，使得是这项的算术平均数，则的最小值为________． 5．（24-25高三下·全国·强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 6．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知数列满足，，．那么_________． 7．（2026高三下·湖北·竞赛）设，，其中为虚数单位，．设所有能表示为形式的数之和为复数，则______． 8.（25-26高三下·北京·强基计划）已知正实数列的前项和为，若，，则的整数部分为________． 9．（2024高二下·吉林·竞赛）已知数列 满足:，，.求证:. 10．（2025·重庆高中数学联赛预赛）已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为__________． 11．（2025全国高中数学联赛吉林赛区预赛）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为____. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程，在范围内方程的所有解从小到大构成一个等差数列，则实数的取值范围是_____. 13．（2026高三下·广西·竞赛）设为数列的前项之和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为_________． 14．（2024·海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值 （答案用含a的式子表示） 15．（2026高三下·广西·竞赛）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $