专题01 数列的概念及等差数列（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版全国通用

专题01 数列的概念及等差数列 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 数列的概念及辨析 4 考点二 确定数列的项 5 考点三 数列的周期性 5 考点四 由求 6 考点五 由递推关系求通项 6 考点六 数列的单调性及应用 7 考点七 等差数列基本量的计算 7 考点八 等差数列的性质及应用 8 考点九 等差数列前n项和性质及应用 8 考点十 等差数列的增减性及最值问题 9 考点十一 等差数列项的绝对值的和 9 考点十二 裂项相消法求和 10 考点十三 与数列有关的数学文化题 11 考点十四 与数列有关的创新题 12 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道） 【归纳重点知识】 知识点01 数列的概念及简单表示 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． （3）数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 3．数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点 ①并不是所有的数列都有通项公式； ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； ③对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值，直接代入求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的，也可通过变形转化，直接求出 知识点02 等差数列及前项和 1、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2、等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 4、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 5、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【熟记重要结论（二级结论）】 1.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)； 若an最小，则(n≥2，n∈N＋). 3.若an＋k＝an(k∈N＋)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 5.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 6.两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们的关系为＝. 考点一 数列的概念及辨析 1．(多选)下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 2．(多选)．下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 考点二 确定数列的项 3．如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 4．如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（    ）    A． B． C． D． 5．数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 考点三 数列的周期性 6．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为 ． 8．记为数列的前n项和，已知数列满足，则 . 9．已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 10．已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 考点四 由求 11．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 12．已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B． C． D．－2 13．设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 由递推关系求通项 14．数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 15．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 16．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 18．已知数列和满足，且，则 （    ） A．12 B．15 C．16 D．19 19．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 20．已知数列满足，，则= 考点六 数列的单调性及应用 21．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 22．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 24．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 25．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点七 等差数列基本量的计算 27．若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 28．已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 29．设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则 . 30．已知等差数列的前项和为，，则 考点八 等差数列的性质及应用 31．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 32．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 33．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4. 34．等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 35．已知等差数列的前项和为，，，.记，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 考点九 等差数列前n项和性质及应用 36．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 37．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 38．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 考点十 等差数列的增减性及最值问题 39．为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 40．已知等差数列，为其前项和，，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 42．已知等差数列的前项和为，且满足，令，则数列的前项和取最大值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 43．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 考点十一 等差数列项的绝对值的和 44．已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 45．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 46．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 考点十二 裂项相消法求和 47．已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 48．已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 49．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 考点十三 与数列有关的数学文化题 50．分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 51．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则（   ） A．58 B．57 C．55 D．60 52．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 53．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ． 考点十四 与数列有关的创新题 54．对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 55．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 1．（2024·全国“极光杯”联赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 3．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 4．（2024·海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值 （答案用含a的式子表示） 5．（2024·重庆高中数学联赛预赛）数列满足，若，则 . 6．（2023·湖南湘西州教师解题大赛）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为 7．（2023·全国高中数学联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为 . 8．（2025·东南大学强基计划）数列的前项和，满足，若，求的值，使得取最小值． 9．（2024·北京大学强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 10．（2024·中国科大强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 11．（2024·全国高中数学联赛吉林赛区预赛）已知数列 满足:，，.求证:. 12．（2024·上海数学竞赛）将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为. 设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值. 13．（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 14．（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 15．（2023·全国高中数学联赛A卷）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）. 16．（2023·全国高中数学联赛A卷）求具有下述性质的最小正整数：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念及等差数列 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 数列的概念及辨析 4 考点二 确定数列的项 5 考点三 数列的周期性 7 考点四 由求 8 考点五 由递推关系求通项 10 考点六 数列的单调性及应用 12 考点七 等差数列基本量的计算 15 考点八 等差数列的性质及应用 16 考点九 等差数列前n项和性质及应用 18 考点十 等差数列的增减性及最值问题 19 考点十一 等差数列项的绝对值的和 21 考点十二 裂项相消法求和 23 考点十三 与数列有关的数学文化题 25 考点十四 与数列有关的创新题 26 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道） 【归纳重点知识】 知识点01 数列的概念及简单表示 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． （3）数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 3．数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点 ①并不是所有的数列都有通项公式； ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； ③对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值，直接代入求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的，也可通过变形转化，直接求出 知识点02 等差数列及前项和 1、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2、等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 4、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 5、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【熟记重要结论（二级结论）】 1.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)； 若an最小，则(n≥2，n∈N＋). 3.若an＋k＝an(k∈N＋)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 5.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 6.两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们的关系为＝. 考点一 数列的概念及辨析 1．(多选)下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【解析】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 2．(多选)下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【解析】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 考点二 确定数列的项 3．如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【解析】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 4．如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知，， ， ， 故. 故选：C. 5．数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察可知数列的构成规律为个，个，个，，个， 因为，而， 所以数列的第项为， 故选：B. 考点三 数列的周期性 6．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 7．已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为 ． 【答案】2 【解析】由题目的条件可以知道,即， 所以有,且除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， ;除以5的余数为1， ;除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， 显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2. 8．记为数列的前n项和，已知数列满足，则 . 【答案】 【解析】当 为奇数时，,当 为偶数时，;     因此， . 故答案为：0. 9．已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 【答案】 【解析】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 10．已知数列满足，，设数列的前项和为，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，，， 所以数列的周期为， 所以. 考点四 由求 11．记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 12．已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B． C． D．－2 【答案】B 【解析】因为，则， 所以，则，即， 因为，所以，， ，， 所以数列是以为周期的数列， 故. 故选：B. 13．设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 考点五 由递推关系求通项 14．数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【解析】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 15．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 16．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， . 故答案为：B. 17．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 18．已知数列和满足，且，则 （    ） A．12 B．15 C．16 D．19 【答案】A 【解析】因为，所以，且，， 所以． 又因为，所以， 故， 所以． 故选：A. 19．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 20．已知数列满足，，则= 【答案】 【解析】令，解得该方程的唯一不动点， 所以. 所以数列是公差为的等差数列， 从而，解得. 考点六 数列的单调性及应用 21．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【解析】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 22．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 23．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 【答案】A 【解析】令，解得或，所以当或时，， 即当时，，故当时递增，且， 当时，，故当时递减， 当时，，故当时递增， 又，故, 所以取得最小值时的值为9. 故选：A. 24．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 【答案】B 【解析】由可得，故为常数列，因此有， 得，故， 则. 设，，解得，由对勾函数的单调性， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故可能在或处取得最小值. 而，， 得的最小值为，则的最小值为. 故选：B. 25．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 26．已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 考点七 等差数列基本量的计算 27．若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以, 解得 故选：B 28．已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】已知等差数列的公差为，则， 所以，则， 即. 故选：B. 29．设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，则 . 【答案】14 【解析】由题知，，解得. 另解：因为，又，所以， 即，由等差数列性质知，得. 故答案为： 30．已知等差数列的前项和为，，则 【答案】-1 【解析】设等差数列的首项为，公差为， ， ，化简得： ， ，化简得：， 联立组成方程组：，解得：. 考点八 等差数列的性质及应用 31．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【解析】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：A． 32．设等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列性质得，且， ，所以. 故选：C. 33．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4. 【答案】D 【解析】由等差数列的性质得， 所以， ， 故选：D 34．等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 35．已知等差数列的前项和为，，，.记，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】B 【解析】在等差数列中，，，. 可得， 因为，所以， ， 又，所以， 所以的值为. 故选：B. 考点九 等差数列前n项和性质及应用 36．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 37．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【解析】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 38．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】因为首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为， 设首项为则，公差为，则. ①因为，所以，所以. 所以，，①正确； ②因为，所以，化简得， 所以，所以. 解得，所以使的最大的n为15，②正确； ③因为，所以. 所以，所以，则中最大，③错误； ④因为，所以， 当时，由可知；当时，有，故恒成立，④正确. 故选：C. 考点十 等差数列的增减性及最值问题 39．为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】充分性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，其前项和，显然数列为递减数列， 又，显然数列为递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故充分性不成立. 必要性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，是一个常数列，其前项和，显然数列为递增数列， 又，也是一个常数列，显然不是递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”， 故必要性不成立. 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 40．已知等差数列，为其前项和，，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得，整理为， 因为，故，数列为递减数列， 因此条件“”可以推出结论“数列为递减数列”，故充分性成立； 而数列为递减数列，只需即可，无需， 因此“数列为递减数列”无法推出条件“”，故必要性不成立. 因此“”是“数列为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A. 41．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 42．已知等差数列的前项和为，且满足，令，则数列的前项和取最大值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解析】解：由可得：，即，， ， 等差数列是的递减数列，且， 又， ∴最大，故， 故选：C 43．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 考点十一 等差数列项的绝对值的和 44．已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【解析】由，可得， 所以，故数列的公差，且， 所以，令，， 所以的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，且， 所以的前12项和. 故选：D 45．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 46．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【解析】（1）因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 考点十二 裂项相消法求和 47．已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 所以. （2）由（1）得， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 48．已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）在等差数列中，由，得，则， 解得，而，因此数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）依题意，， 则， 所以 . 49．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【解析】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 考点十三 与数列有关的数学文化题 50．分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【解析】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 51．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则（   ） A．58 B．57 C．55 D．60 【答案】C 【解析】由题可知，，…… 所以. 所以. 故选：C. 52．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 【答案】乙酉 【解析】由题意可得，天干每年一循环，地支每年一循环， 由，故百年后的天干为乙，地支为酉， 即2125年是乙酉年. 故答案为：乙酉. 53．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 25 【解析】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 考点十四 与数列有关的创新题 54．对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由，则. 故选：C 55．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【解析】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 1．（2024·全国“极光杯”联赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设5个正数组成数列， 则， 则，解得. 故选：D 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意得，，显然单调递增，， 当时，， ∴， ∴ ， ∴ ∴， 又因为， ∴，A选项正确； ∴，C选项错误； ∵， ∴， ∴，B选项错误； ∵， ∴， ∴，D选项正确， 故选：AD 3．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 【答案】BCD 【解析】若，则，，则正负交替，B,D选项正确； 若，令，即时，即时，即成立，即成立，显然存在正整数N，使时，. ∴，A选项错误，C选项正确． 故选：BCD． 4．（2024·海南省海口实验中学高一学科竞赛选拔性考试）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第i行的总和为，第i列的总和为.求的最大值 （答案用含a的式子表示） 【答案】 【解析】记，设方格表为，，，. 第一步：改变某个的值仅改变和， 设第行中除外其余个数的和为，第列中除外其余个数的和为， 则. 当时，关于递增，此时可将调整到，值不减. 当时，关于递减，此时可将调整到1，值不减.因此，为求的最大值， 只需考虑每个小方格中的数均为1或的情况. 第二步：设，，，只有有限多种可能， 我们选取一组使得达到最大值，并且最小.此时我们有（*） 事实上，若，而，则将改为后，行和及列和变为，， 则，则与达到最大矛盾，故. 若，而，则将改为1后，不减，且变小，与的选取矛盾. 从而（*）成立. 通过交换列，可不妨设，这样由（*）可知每一行中排在1的左边， 每一行中的数从左至右单调不增.由此可知. 因而只能，故每一行中的数全都相等（全为1或全为）. 第三步：由第二步可知求的最大值，可以假定每一行中的数全相等. 设有行全为，有行全为1，.此时. 我们只需求中的最大值. . 因此（记） . 记上式右边为，则. 下面证明. 首先证明. . 由于， 故. 再证明，等价于证明. 由于，， 只需证明，而，故结论成立. 由上面的推导可知当且仅当时成立，从而最大. 故. 故答案为：. 5．（2024·重庆高中数学联赛预赛）数列满足，若，则 . 【答案】 【解析】由可得， 则数列为等差数列，首项为，设公差为， 则 ， 故. 故答案为： 6．（2023·湖南湘西州教师解题大赛）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为 【答案】1024 【解析】当为偶数，则 当为奇数，则 综上，， 当时， 则， 所以 ， 由题意，则，故为奇数， 又，所以， 所以集合中元素的个数． 故答案为：1024． 7．（2023·全国高中数学联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为 . 【答案】 【解析】将代入方程，整理得， 解得，，. 上述解亦可写成，其中对应最小的20个正实数解， 它们的和为. 8．（2025·东南大学强基计划）数列的前项和，满足，若，求的值，使得取最小值． 【答案】4 【解析】给定的递推关系是：， 可以改写为：， 两边同时除以 ：， 令 ，则递推关系变为：， ， ，因此：. 于是：， 根据 ： ， 验证 ：， 但题目给定 ，所以：， 所以. 计算几个 的值：，，，，，, 观察数值， 在 时取得最小值. 对于， 的值增大（从负到正），因此 时取得最小值. 9．（2024·北京大学强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 【答案】4 【解析】设数列满足：，，，，，，，，，，， 设， 所以，， 则，故 所以64模5余数为4 10．（2024·中国科大强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 【答案】9 【解析】采用枚举法列举出前70项的个位数如下表: 所以斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列， 因为， 所以的个位数与的个位数相同，即的个位数是9． 11．．（2024·全国高中数学联赛吉林赛区预赛）已知数列 满足:，，.求证:. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：由，得，又，， 所以是首项为2，公差为1的等差数列，检验时成立， 所以. 令，得. 由可得，，又，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 又，所以. 12．（2024·上海数学竞赛）将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为. 设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值. 【答案】5 【解析】将第列10个数之和记为.考虑下表填法, 此时有，即满足题意. 100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 96 95 94 93 12 11 10 9 8 7 92 91 90 89 18 17 16 15 14 13 88 87 86 85 24 23 22 21 20 19 84 83 82 81 30 29 28 27 26 25 80 79 78 77 36 35 34 33 32 31 76 75 74 73 42 41 40 39 38 37 72 71 70 69 48 47 46 45 44 43 68 67 66 65 54 53 52 51 50 49 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 以下假设存在一种填法,满足均大于，我们来导出矛盾. 对，记为第行、第列所填的数. 不失一般性，设 对，记为表格的前行与前3列相交所构成的方格表, 为表格的前行与后7列相交所构成的方格表. 考虑到每行的数从左到右依次递减，则对每个 中个数中的最大者是位于左下角的,于是. 对,记与中的数之和分别为与, 则 由假设得， 从而 则，于是. 因此 ， 矛盾！故假设不成立，又结合知均不满足题意. 综上，的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，分别构造例子说明能够取到，以及论证无法取到，二者同时进行，即可求得最小值为. 13．（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 【答案】使的最大的正整数. 【解析】由于，又因为，所以，且， 从而， 故有，， 即使的最大的正整数. 14．（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 【答案】4320 【解析】设首项为，由题意，则， ，(的取值没有限制)， 根据题意可知可以取遍， 则所求之和为. 15．（2023·全国高中数学联赛A卷）设.在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）. 【答案】 【解析】解：记，设方格表为，，，. 第一步：改变某个的值仅改变和， 设第行中除外其余个数的和为，第列中除外其余个数的和为， 则. 当时，关于递增，此时可将调整到，值不减. 当时，关于递减，此时可将调整到1，值不减.因此，为求的最大值， 只需考虑每个小方格中的数均为1或的情况. 第二步：设，，，只有有限多种可能，我们选取一组使得达到最大值，并且最小.此时我们有（*） 事实上，若，而，则将改为后，行和及列和变为，，则，则与达到最大矛盾，故. 若，而，则将改为1后，不减，且变小，与的选取矛盾.从而（*）成立. 通过交换列，可不妨设，这样由（*）可知每一行中排在1的左边，每一行中的数从左至右单调不增.由此可知. 因而只能，故每一行中的数全都相等（全为1或全为）. 第三步：由第二步可知求的最大值，可以假定每一行中的数全相等. 设有行全为，有行全为1，.此时. 我们只需求中的最大值. . 因此（记） .记上式右边为，则. 下面证明. 首先证明. . 由于，故 . 再证明，等价于证明. 由于，， 只需证明，而，故结论成立. 由上面的推导可知当且仅当时成立，从而最大. 故. 16．（2023·全国高中数学联赛A卷）求具有下述性质的最小正整数：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足. 【答案】408. 【解析】解：所求的最小正整数为408. 一方面，若时，将染为红色，染为蓝色， 此时最小的8个红数之和为， 最小的9个蓝数之和为，故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数. 对，可在上述例子中删去大于的数，则得到不符合要求的例子.因此不满足要求. 另一方面，我们证明具有题述性质. 反证法.假设存在一种的染色方法不满足要求， 设是所有红数的集合，是所有蓝数的集合. 将中的元素从小到大依次记为，中的元素从小到大依次记为，. 对于，或者，或者； 对于，或者，或者. 在中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数. 情形1：中至少有9个蓝色的数. 此时.设区间中共有个中的元素. 记，则. 因为是中的所有正整数，故. 于是.（*） 特别地，.从而. 对任意，由（*）知. 从而 （考虑二次函数对称轴，即知时取得最大）. 又，这与，中有一个为408矛盾. 情形2：中至少有8个红色的数.论证类似于情形1. 此时.设区间中共有个中的元素. 记，则. 因为是中的所有正整数，故. 于是.特别地，.从而. 对任意，有. 从而 （在时取得最大）， 又，这与，中有一个为408矛盾. 由情形1、2知具有题述性质. 综上，所求最小正整数为408. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $