第10讲 数列与不等式-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第10讲 高二数学学科素养能力竞赛专题训练——数列与不等式 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：名校竞赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 1．已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边取倒数，可得是首项为2，公差为1的等差数列，求得，进而将不等式对任意的都成立转化为恒成立，利用基本不等式求得的最值，可得答案. 【详解】由数列满足，，可得，可知， 因为，所以，所以， 因为，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以且， 因为不等式恒成立，所以恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故选：A. 2．已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出数列得通项公式和前n项和，将不等式恒成立转化成函数最值问题，即可求得最值. 【详解】因为 当时，解得： 当时，， 两式相减得： 数列是首相为，公比为2得等比数列 所以，所以 易得 ，即 ，即 所以，即 易知时， ，，，， 满足 ，所以 所以， 故选：C 3．已知数列的通项公式为，其前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，所以． 不等式化为， 所以对一切正整数成立， ， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：D. 4．（多选题）在数列中，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【分析】由已知递推关系式可知数列为等差数列，由此可推导得到，知A正确；利用裂项相消法可求得，知B正确；设，利用导数可求得单调性，知当时，，由此可得，由此放缩后可得，知CD正误. 【详解】，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则，A正确； ， ，B正确； 令，则， 在上单调递增，又， 当时，，即，， 即， ，C错误，D正确. 故选：ABD. 5．已知等比数列的通项公式为，，记的前n项和为，前n项积为，则使不等式成立的n的最大值为___________. 【答案】17 【分析】由等比数列通项公式求出，，要使，整理变形得，利用二次函数的性质，再对，，三类情况分类讨论，进而求得n的最大值. 【详解】由得，，， ， ， 由得，所以. 设，， 当时，，不等式成立； 当时，，显然成立； 当时，，，不等式不成立. 故使成立的n的最大值为17. 故答案为：17 6．已知数列的通项为，且数列的前项和，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】化简得，采用叠加法求得，则原不等式等价于，分为奇偶分离参数，结合单调性可求的取值范围. 【详解】∵， ∴ ， ∵，∴． 当是正奇数时，，令， 易知单减，故，∴； 当是正偶数时，，令， 易知单增，故，∴． 综上可知，实数的取值范围为． 故答案为： 7．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式； (3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可； （2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可； （3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知，有， 解得 所以， 即等差数列的通项公式为. （2）因为， 当时，， 所以 累加得， 即. 当时，也满足上式. 所以数列的通项公式为. （3）由（2），所以， 原不等式变为，即， 对任意恒成立， 为任意的正整数， . 的取值范围是. 8．已知数列，，，其中． (1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求证：； (3)设为非零整数，，试确定的值，使得对任意，都有成立． 【答案】(1)证明见解析，； (2)见解析； (3). 【分析】(1)由，可得，即有，从而得数列是等差数列，再由等差数列的定义求通项公式即可； (2)利用错位相减求得，即可得证； (3)由可得对任意成立，分为奇数、偶数求出的范围，再结合为非零整数，即可得的值. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 即， 所以数列是等差数列， 首项为，公差， 所以； （2）解：因为， 所以①, 所以②, 由①-②可得      = = 所以， 又因为， 所以； （3）解：因为， 所以， 又因为对任意成立， 即对任意成立， 整理得对任意成立， 即对任意成立， 对任意成立