专题02 等比数列、数列求和（竞赛培优专项训练，14大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦等比数列与数列求和，构建“概念-性质-求和-应用”四层方法体系，精选竞赛真题实现从基础到创新的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与证明|6题|定义法、反证法|从概念辨析到严谨证明，培养抽象能力与推理意识| |基本量与性质|12题|方程思想、性质转化|整合基本量计算与中项/求和性质，强化逻辑推导| |求和方法|12题|错位相减、分组/倒序相加|针对不同数列特征匹配求和策略，提升运算能力| |综合与创新应用|26题|数学建模、跨知识融合|结合实际问题与数学文化，发展应用意识与创新思维|

专题02 等比数列、数列求和 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对等比数列概念的理解 题型08 分组求和法与并项求和法 题型02 判断或证明等比数列 题型09 错位相减法求和 题型03 等比数列基本量的计算性 题型10 倒序相加法 题型04等比中项 题型11 等比数列的实际应用 题型05 等比数列性质及应用 题型06 等比数列前n项和性质及应用 题型07 等比数列与等差数列的综合 题型12 与等比数列有关的数学文化题 题型13 等比数列的综合应用 题型14 与等比数列有关的创新题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对等比数列概念的理解 1．等比数列的公比为，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．若且，则递增 C．为等比数列 D．为等比数列 2．（多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 3．已知等比数列的公比为q，前n项和为，下列结论正确的是（    ） A．若，则是递增数列或递减数列 B．若，，则 C．若，则，使得， D．若，则有最大值 考点二 判断或证明等比数列 4．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 5. 若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 6.已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 考点三 等比数列基本量的计算 7．已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 9．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为__________． 考点四 等比中项 10．若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则__________. 11．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是______. 12．设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 考点五 等比数列性质及应用 13．在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D．. 14．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 15．已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（   ） A．15 B．9 C．8 D．7 考点六 等比数列前n项和性质及应用 16．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 17．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 考点七 等比数列与等差数列的综合 19．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 20．已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 21．已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 考点八 分组求和法与并项求和法 22．已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．2018 23．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 24．已知数列满足：，且对每个，，是方程的两根，则______． 考点九 错位相减法求和 25．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 26．92．已知正项等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 考点十 倒序相加法 28．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 29．已知数列满足，是数列的前项和，则（ ） A．是定值，是定值 B．不是定值，是定值 C．是定值，不是定值 D．不是定值，不是定值 30．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 考点十一 等比数列的实际应用 31．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 32．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 33．根据统计数据,某种植物感染病毒之后,其存活日数X满足:对于任意的,的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于,即,设,的前n项和为，则___________. 考点十二 与等比数列有关的数学文化题 34．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 35．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 36．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 考点十三 等比数列的综合应用 37．等比数列的公比为，其通项为，如果，则______；数列的前5项和为______． 38．在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 39. 已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 考点十四 与等比数列有关的创新题 40．已知，以为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内，求的最小值． 41．已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 42．在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025高三上·全国·竞赛）考虑由个正整数组成的递减数列，它满足以下两个条件： 数列前3项的平均值（算术平均值）是2025. 对于所有，数列前项的平均值比前项的平均值小1. 问的最大可能值是多少？（    ） A．1013 B．1014 C．1016 D．2016 E．2025 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 3．（多选）（2024·湖南长沙一中竞赛）已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 5．（2026高三下·贵州·竞赛）已知数列的通项公式为，则数列的前项和_____________________． 6．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则______；______． 7．（2026高二下·四川宜宾·竞赛）在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 8．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）2024九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 9．（2024·海南省海口实验中学高一竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为 10．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和． 11．（2026高三下·广东·竞赛）设，，求的通项公式． 12．（24-25高三下·北京·强基计划）求. 13．（2025高二下·山东青岛·竞赛）甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. (1)求p； (2)求射击2次甲得分X的分布列及均值； (3)若甲胜出的概率为，证明：. 14．（2024·第四届英才杯竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 15．（2024·四川宜宾初赛）已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列、数列求和 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对等比数列概念的理解 题型08 分组求和法与并项求和法 题型02 判断或证明等比数列 题型09 错位相减法求和 题型03 等比数列基本量的计算性 题型10 倒序相加法 题型04等比中项 题型11 等比数列的实际应用 题型05 等比数列性质及应用 题型06 等比数列前n项和性质及应用 题型07 等比数列与等差数列的综合 题型12 与等比数列有关的数学文化题 题型13 等比数列的综合应用 题型14 与等比数列有关的创新题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 对等比数列概念的理解 1．等比数列的公比为，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．若且，则递增 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】ABD 【分析】根据等差数列与等比数列的定义可判断ACD，再根据等比数列公比可判断B选项. 【详解】由数列为等比数列，则，则 A选项：，， 则为定值，所以数列为等差数列，A选项正确； B选项：由，，则， 所以当时，，数列单调递增； 当时，，数列单调递增；所以B选项正确； C选项：当时，， 此时不是等比数列，C选项错误； D选项：当时，， 又为定值， 所以数列为等比数列，D选项正确； 故选：ABD. 2．（多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 【答案】AD 【分析】A选项，设出公比，得到，A正确；B选项，不是常数，B错误；C选项，不恒为0，C错误；D选项，，D正确. 【详解】A选项，因为是等比数列，设， 则，故A正确； B选项，，不是常数，故B错误； C选项，，不恒为0，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 3．已知等比数列的公比为q，前n项和为，下列结论正确的是（    ） A．若，则是递增数列或递减数列 B．若，，则 C．若，则，使得， D．若，则有最大值 【答案】C 【分析】选项ABD，举特例数列验证可知错误；选项C，由前项和公式，利用不等式性质放缩找到实数，证明即可. 【详解】选项A，当时，数列为常数列， 既不是递增数列，也不是递减数列，故A项错误； 选项B，当时，， 满足条件，，但，故B项错误； 选项C，若，则且，， 故，， 则， 故存在实数，，使得，. 选项D，当时，，， 满足条件，设， 则无最大值，故D项错误. 故选：C. 考点二 判断或证明等比数列 4．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 【答案】C 【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为. 故选：C 5. 若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 6.已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 考点三 等比数列基本量的计算 7．已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 8．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 9．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为__________． 【答案】 【分析】由下标和性质得到，从而求出、，即可求出的通项公式，再由等比数列求和公式求出，化简不等式解得，最后确定满足条件的最大正整数的值. 【详解】因为数列为正项的递增等比数列，所以， 又， 所以、是关于方程的两根， 解得，， 所以或（舍去）， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以，所以， 所以，则， 所以，即，即， 又函数在定义域上单调递增，，，， 所以，故正整数的最大值为. 故答案为： 考点四 等比中项 10．若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则__________. 【答案】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 【详解】由已知，， 所以. 故答案为：. 11．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是______. 【答案】/ 【分析】根据等差数列的性质和等比中项计算即可. 【详解】因为数列，，，成等差数列， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 12．设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 考点五 等比数列性质及应用 13．在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理、等比数列的性质、对数的运算求解即可. 【详解】由题意得，. 在正项等比数列中，，所以. 所以. 14．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 15．已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（   ） A．15 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求出的值，再结合判断数列的单调性，进而根据且得到关于的不等式，从而求出的值. 【详解】因为正项等比数列满足，由等比数列性质可知，，所以， 又因为数列各项为正，所以， 设等比数列的公比为，因为，即，且， 所以，又因为，所以， 则等比数列单调递减， 由题意可得，， 则，， 又因为且， 所以，即，进一步可得， 又因为等比数列各项为正，所以， 由且数列单调递减可知，，所以，解得. 故选：D. 考点六 等比数列前n项和性质及应用 16．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 17．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 18．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 答案D 【分析】 由是和的等差中项，可得，又由是和的等比中项，同时令，得，由此即可得到本题答案. 【解析】 设的公比为，由于， 所以，，， 又是和的等差中项，所以， 即， 化简得， 由于，所以，， 所以， ， ， 因为是和的等比中项， 所以， 即， 所以，令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 故选：D 考点七 等比数列与等差数列的综合 19．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）因为，根据题意得：， 由（1）得，. 故. 20．已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）构造等比数列可求，利用通项与和的关系可求； （2）根据新数列的特点，分析前100项的构成，分别求和可得答案. 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 21．已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)数列满足，，其中， （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接计算等差等比数列的基本量，进而可能通项公式； （2）（ⅰ）当时，此时数列是公差为的等差数列，故得，当时，，进而可得，再通过待定系数法构造等比数列，从而可得；（ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，先求第段和，再对进行分组并项求和可得. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，由得​： ， 即，解得，因此： . 对于等比数列，公比，，由得：， ​得，结合，解得，因此： . 综上，，. （2）因为，由上分析知，，所以，. （ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项， 因此，①. 当时，，将①代入得. 因此②. 用待定系数法构造等比数列：设， 则，与②比较得，解得, 所以， 故数列是公比为的等比数列，且首项. 所以，即， 又因为，所以，， 因此. （ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列， 即第段：，项数；第段：，项数； 第段：，项数；；第段：，项数； 记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列， 所以 ， 对求和， ， 因此，. 考点八 分组求和法与并项求和法 22．已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．2018 选：B【分析】 由，可得，，以上各式相加得可求得，结合，根据均值不等式，即可求得答案. 【解析】 ，， 以上各式相加得，， ， 又， ， 即， 又，故选：B ． 23．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【解析】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 24．已知数列满足：，且对每个，，是方程的两根，则______． 【答案】6385 【分析】根据韦达定理计算得到①，②，利用拼凑法得是一个首项为公比为的等比数列，进而解得和，计算得到结果 【详解】对每个，①，②， 由①可得， 因此是一个首项为公比为的等比数列， 故，即， ； 于是 ． 故答案为：6385 考点九 错位相减法求和 25．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式； （2）利用错位相减法可得数列的前n项和． 【详解】（1）设数列的公比为， ∵，， ∴， 即，∴（舍去）， ∴，即， ∴． （2）∵，∴． ∴， ， 两式相减得， ∴． 26．92．已知正项等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意求出数列的公比，再求得首项，即可得出结果； （2）结合（1）中表达式，再利用错位相减法计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 方法一： ①当时，，显然不合题意； ②时，，得：， 则，又，则； 由题：， 方法二： ，又，， 由题：， （2）， 故： ， 两式相减得： . 27．已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）∵，∴， 即，又， ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，∴， ∴， 则 . 考点十 倒序相加法 28．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 29．已知数列满足，是数列的前项和，则（ ） A．是定值，是定值 B．不是定值，是定值 C．是定值，不是定值 D．不是定值，不是定值 ．A 【分析】 按照的奇偶分类讨论，可得以及，再根据等差数列的定义可得，而，即可求出为定值，采用并项求和的方式即可求出也为定值． 【解析】 当，则，， ∴，即有，， 作差得，∴， ∴，令可得，， ∴为定值． 而 也为定值． 故选：A． 30．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 【答案】6078 【解析】因为是正项等比数列，所以，， 即， 由，则， 故， 故 ， 所以. 故答案为：. 考点十一 等比数列的实际应用 31．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 32．已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． (1)求2024年起前20季度营业额的总和； (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】(1)31.5 (2)今年起第27个季度 【分析】（1）前20季度营业额构成首项为1.1，公差为0.05的等差数列，则总和为，计算即可. （2）因为第n季度的营业额为：，第n季度的利润为：，解不等式即可. 【详解】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列， 前20季度营业额之和为：（亿）. （2）设2024年起第n季度（）满足条件，依题意， 第n季度的营业额为：， 第n季度的利润为：， 依题意：，解得：. 即今年起第27个季度的利润首次超过该季度营业额的18%. 33．根据统计数据,某种植物感染病毒之后,其存活日数X满足:对于任意的,的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于,即,设,的前n项和为，则___________. 【答案】 【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得,根据等比数列的定义可得,由可解出,再利用错位相减法即可求解. 【详解】由已知得, 因为, 所以, 将换成得, 两式相减可, 即, 又, 所以, 所以是首项为,公比为的等比数列, 所以, 则， ， ， 两式作差得， ， 故答案为:. 考点十二 与等比数列有关的数学文化题 34．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 选：ABD. 【分析】 根据题中递推公式，求出，，数列的前项和，数列的奇数项和，与选项对比即可. 【解析】 对于A选项，因为斐波那契数列总满足， 所以， ， ， 类似的有，， 累加得， 由题知， 故选项A正确， 对于B选项，因为，，， 类似的有， 累加得， 故选项B正确， 对于C选项，因为，，， 类似的有， 累加得， 故选项C错误， 对于D选项，可知扇形面积， 故， 故选项D正确， 故选：ABD. 35．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 36．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 考点十三 等比数列的综合应用 37．等比数列的公比为，其通项为，如果，则______；数列的前5项和为______． 【答案】 或 或 【分析】利用给定条件，结合等比数列通项列出方程，求解方程得；分类求出的通项，再求出前5项和. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 整理得，所以或； 当时，，数列的前5项和为， 当时，，数列的前5项和为， 所以数列的前5项和为或. 故答案为：或；或 38．在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过利用等比数列的通项公式、乘积性质以及“是数列中的项”这一条件建立关系，验证时符合题意，即可求得通项. 【详解】因为是等比数列，首项，公比， 所以，， 由题意可知：为非负整数， 因为为奇数，而是非负整数，则必须为偶数，即为奇数， 又，取检验知：时符合题意，， 与相除得：，则可得，，故． 39. 已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求得的极值点，则是以为首项、为公差的等差数列，又和时，分别构成等比数列，故分组求和可得. 【详解】由题意， 令，则， 所以，解得． 由函数图象可知，是的极值点， 又，所以是以为首项、为公差的等差数列， 所以， 当时，设， 当，时，设， 从而． 故选：C． 考点十四 与等比数列有关的创新题 40．已知，以为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内，求的最小值． 【答案】 【分析】首先确定以为边长的正方形能互不重叠地放入一个边长为的正方形内，求得．继而推出以为边长的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的矩形内．结合时的情况，即可确定答案. 【详解】如图，以为边长的正方形能互不重叠地放入一个边长为的正方形内，则． 对于， ， 于是以为边长的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的矩形内． 当时，以为边长的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的矩形内； 当时，以为边长的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的矩形内；； 因此边长为的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的一系列矩形内， 且， 即边长为，的正方形可以互不重叠地全部放入长为1，高为的矩形中． 又当时，以为边长的正方形可以互不重叠地放入长为1，高为的矩形内， 所以以为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内． 综上，的最小值为． 41．已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 【答案】1799 【分析】先由前项和公式求出数列通项，再化简 为可并项求和的形式，最后解不等式得到最大正整数. 【详解】时，由，得 即，所以，即 所以是等比数列， 又时，，解得，则， 所以，即． 于是 所以，从而 所以，解得． 即不等式成立的最大正整数的值为. 故答案为：. 42．在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）该数列的“扩展”数列为：1，15，4，60，16； 该数列的“扩展”数列为：1，2，4，8，16； （2）若等比数列的“扩展”数列仍为等比数列， 则对任意的，是，的等比中项， 故，    可得，又，， 所以，  可得 ； （3）假设存在，设数列的“扩展”数列的最小正周期为， ，根据“扩展”的定义有，， ，故， 因为数列的最小正周期为， 故也是数列的周期， 所以 ， 因为；故， 所以， 设，则， 故， 得， 故数列为常数列，则数列也为常数列，最小正周期为1，与题设矛盾， 故不存在满足题设的数列及． 1．（2025高三上·全国·竞赛）考虑由个正整数组成的递减数列，它满足以下两个条件： 数列前3项的平均值（算术平均值）是2025. 对于所有，数列前项的平均值比前项的平均值小1. 问的最大可能值是多少？（    ） A．1013 B．1014 C．1016 D．2016 E．2025 【答案】B 【分析】应用已知条件构造函数根据数列是等差数列，结合单调性计算求解. 【详解】根据数列前3项的平均值是2025，所以， 设为数列前 k 项和，由题意，当 时，， 则设从 开始是公差为的等差数列，且， 所以当 时，，即 ， 那么当 时， ， 首先要满足 ，且所有项为正整数， 先保证 ，，即，解得， 同时要满足，先求 ， 因为数列是递减正整数列，要小于，大于，且 ， 取最大可能值，，则 ，满足 ， 当 时， 且，满足递减； 若 ，，不满足正整数条件； 结合数列递减且为正整数的条件求 n 的最大值为. 2．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 【答案】ABD 【解析】由题可知， 于是可求得． 故，A选项正确； 数列中，不是等比数列，C选项错误； 于是单调递增且有极限，故．D选项正确； 又因为,所以B选项正确. 故选：ABD. 3．（多选）（2024·湖南长沙一中竞赛）已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】解：对于选项A、B，因为，，所以， 设， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则， 所以， 当时，，， 当时，，， 因为，所以这种情况不存在， 则数列满足当时，，为单调递减数列， 故A选项正确，B选项错误； 对于选项C， 令，设 则， 所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大， 所以，即，所以C选项正确， 对于选项D，由前面得， 下面证明，只需证明， 令，则，所以， 令，则， 成立，则 所以 所以D选项正确； 故选：ACD. 4．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，进而求出和的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. ∴， ∴. 5．（2026高三下·贵州·竞赛）已知数列的通项公式为，则数列的前项和_____________________． 【答案】 【分析】令，由，求得，再通过累加求和即可求解. 【详解】设 即 故，，，. 令，， 则，令， 则， 所以 故， 所以， 代入，，，. 化简得. 6．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则______；______． 【答案】 341 【分析】根据递推式，逐项列出奇数项相邻项相减，然后运用累加法可求出奇数项的通项公式，从而可求出，再计算出偶数项的通项公式，然后综合可得数列的通项公式，再运用分组求和法可求得. 【详解】由题意可知，， 则当为奇数时，，，，……， ， 所以 ， 所以； 当为偶数时，，，，……， ， 所以 ， 所以， 所以 故答案为：341， 7．（2026高二下·四川宜宾·竞赛）在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________. 【答案】 【分析】根据给定有序数列的定义得到，，，，，探究得到的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可. 【详解】因为，所以，，，，， 显然，，，中分别有2，4，8项，其中的项为1，，，中分别有3，6，12项，其中的项为1. 设中总共有项，其中有项1. 则,. 所以，，，，，中1的总个数为. 8．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）2024九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 【答案】 341 【解析】由题意可知，， 则当为奇数时，，，，……， ， 所以 ， 所以； 当为偶数时，，，，……， ， 所以 ， 所以， 所以 9．（2024·海南省海口实验中学高一竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为 【答案】 【解析】设小虫的起点为A，第秒爬回初始位置的概率为，第秒位于点之一的概率为，位于点的概率为，    则，且， 可得，则， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，可得， 所以小虫在第八秒爬回初始位置的概率为. 故答案为：. 10．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得， 又，所以是首项为，公差为的等差数列． (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以， 则， 两式相减，可得 ， 即． 11．（2026高三下·广东·竞赛）设，，求的通项公式． 【答案】 【分析】先变形题中等式，根据一元二次方程的两个根得到，构造新数列解得通项公式； 【详解】将移项，两边平方并整理得 ． 同理有． 注意，由数学归纳法易知，所以． 因此对，，故与是一元二次方程的两个根， 所以． 令，则． 在条件中代入得，因此，，由特征根法可得 ， 所以． 12．（24-25高三下·北京·强基计划）求. 【答案】 【分析】令得，结合已知求和公式，讨论、得到，即可得. 【详解】令，则，而，故， 对于且，则区间中共有个数值， 对于，则区间中共有个数值， 所以， 令，则， 所以，则， 所以. 13．（2025高二下·山东青岛·竞赛）甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. (1)求p； (2)求射击2次甲得分X的分布列及均值； (3)若甲胜出的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)X的分布列为： X 0 1 2 (3) 由题意，射击的总次数为时甲胜出， 设此时甲总得分为，乙总得分为， 则，，所以甲胜出时必为偶数，令， 则 ， 由于，则时，， 且， 即. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意，X的取值为，进而求出对应的概率，再计算均值； （3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，分析可得必为偶数，令，进而结合题意及等比数列的求和公式求证即可. 【详解】（1）设射击2次甲胜出为事件， 则，解得. （2）由题意，X的取值为， 由题意， 而， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 则. （3）略 14．（2024·第四届英才杯竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 【解析】（1）设常数满足：数列， 则常数满足如下条件：， 由韦达定理知，常数为方程的两个根，令， 当时，有，即， 上式共个式子，累乘得， 将直到，按照上述递推关系式进行展开有： ， 可见是首项为，公比为，末项为的等比数列， 根据等比数列通项公式有， 将常数代入得， ， 当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． （2）数列满足，且， ，数列单调递增， 所以，即， 根据数列极限定义知，若对给定的任意正数，总存在正整数，使时有． （3）当时，， 当，且， 都有，此时不是“柯西列”． 当时，， 对任意给定的，存在，使，且， 都有，则为“柯西列”． 15．（2024·四川宜宾初赛）已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (2)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (3)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $