专题02 等比数列、数列求和（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版全国通用

专题02 等比数列、数列求和 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对等比数列概念的理解 4 考点二 判断或证明等比数列 4 考点三 等比数列基本量的计算 5 考点四 等比中项 5 考点五 等比数列性质及应用 5 考点六 等比数列前n项和性质及应用 6 考点七 等比数列与等差数列的综合 7 考点八 裂项相消法求和 8 考点九 分组求和法与并项求和法 9 考点十 错位相减法求和 9 考点十一 倒序相加法 10 考点十二 等比数列的实际应用 10 考点十三 与等比数列有关的数学文化题 12 考点十四 等比数列的综合应用 12 考点十五 与等比数列有关的创新题 14 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题23道） 【归纳重点知识】 知识点01 等比数列及前n项和 1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2、等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 3、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 4、等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 5、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 知识点02 数列求和 1.公式法 ①等差数列的前项和公式 ．推导方法：倒序相加法； ②等比数列的前项和公式 推导方法：乘公比，错位相减法． 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4.倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5.错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6.并项求和法 一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 4．常见的裂项技巧： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 5．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝. (5)1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. 考点一 对等比数列概念的理解 1．下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 2．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 考点二 判断或证明等比数列 3．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 4．(多选)下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 6.已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 考点三 等比数列基本量的计算 7．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 8．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 9．已知数列是递增的等比数列，若，则 . 10．设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 考点四 等比中项 11．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 考点五 等比数列性质及应用 13．在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 14．已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 15．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 16．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 17．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 考点六 等比数列前n项和性质及应用 18．已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是等差数列；其中正确的个数是（   ） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 19．已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 20．设等比数列的前项和为，若，，则（   ） A．40 B．32 C．24 D．18 21．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 考点七 等比数列与等差数列的综合 23．对于无穷数列，给出下列命题： ①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列； ②若等差数列满足，则是常数列； ③若等比数列满足，则是常数列； ④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列． 其中正确的命题个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 24．已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（    ） A． B． C． D． 25．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为 A． B．2 C． D． 26．（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 27.（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 28．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 考点八 裂项相消法求和 29．已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 30．已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求． 考点九 分组求和法与并项求和法 31．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 32．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 考点十 错位相减法求和 33．已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 34．已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 35．已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； 考点十一 倒序相加法 36．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 37．已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则 . 38．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 考点十二 等比数列的实际应用 39．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 40．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 41．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2025年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2026年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 42．京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)求数列的通项公式. (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 考点十三 与等比数列有关的数学文化题 43．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 44．谢尔宾斯基垫片（Sierpinski  Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为． 下列结论错误的是（   ） A．经过n次操作，可以使得 B．经过n次操作，可以使得 C．经过n次操作，可以使得 D．经过n次操作，可以使得 考点十四 等比数列的综合应用 45．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ）. A．8 B．9 C．11 D．10 46．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 47．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 48．已知是首项为1的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求数列和的通项公式： (2)设数列的前项和为，求； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 49．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 50．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． (1)求t的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)记，求数列的前n项和． 考点十五 与等比数列有关的创新题 51．已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 52．在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·全国集英苑冬季竞赛）已知等比数列满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·湖南岳阳高二上竞赛）在数列中，，，则为（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·全国“加速杯”竞赛）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 4．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 5．（多选）（2024·湖南长沙一中竞赛）已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）2024九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 7．（2024·全国高中数学联赛四川预赛）若，则的末尾数字0的个数为 . 8．（第十四届全国枫叶新希望杯”数学竞赛）在等比数列中，已知，则 . 9．（2024·海南省海口实验中学高一竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为 10．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 11.（2024·全国集英苑冬季竞赛）若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是 ． 12．（2023·全国中学生数学能力测评）已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 13．（2023·安徽太和中学竞赛）在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 14．（2023·安徽太和中学竞赛）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为 . 15．（2025·山东大学强基计划）已知数列，有，，求通项. 16．（2025·山东大学强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 17．（2024·第四届英才杯竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 18．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 19．（2024·全国极光杯数学竞赛）已知等比数列的公比，成公差为的等差数列． (1)求的最小值； (2)当取最小值时，求集合中所有元素之和． 20．（2024·四川宜宾初赛）已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 21．（2024·安徽“校长杯”数学竞赛）记正项数列的前项积为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 22．（2024·山东泰安冬季竞赛）西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里). (1)确定与的递推关系(即把，用表示) (2)证明:数列是等比数列，并求； (3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？ (参考数据:) 23．（2023·全国“加速杯”数学竞赛）已知数列满足，，，其中为数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列、数列求和 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对等比数列概念的理解 4 考点二 判断或证明等比数列 5 考点三 等比数列基本量的计算 6 考点四 等比中项 7 考点五 等比数列性质及应用 8 考点六 等比数列前n项和性质及应用 10 考点七 等比数列与等差数列的综合 12 考点八 裂项相消法求和 17 考点九 分组求和法与并项求和法 19 考点十 错位相减法求和 20 考点十一 倒序相加法 22 考点十二 等比数列的实际应用 24 考点十三 与等比数列有关的数学文化题 27 考点十四 等比数列的综合应用 29 考点十五 与等比数列有关的创新题 34 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题23道） 【归纳重点知识】 知识点01 等比数列及前n项和 1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2、等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 3、等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 4、等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 5、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 知识点02 数列求和 1.公式法 ①等差数列的前项和公式 ．推导方法：倒序相加法； ②等比数列的前项和公式 推导方法：乘公比，错位相减法． 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4.倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5.错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6.并项求和法 一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 4．常见的裂项技巧： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 5．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝. (5)1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. 考点一 对等比数列概念的理解 1．下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 【答案】C 【解析】等比数列的项和公比都不能为0，故AB错误；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错． 故选：AC 2．下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【解析】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 考点二 判断或证明等比数列 3．若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 【答案】C 【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为. 故选：C 4．(多选)下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A：，则不为定值，不满足； B：，则不为定值，不满足； C：，则为定值，且，满足； D：，则为定值，且，满足. 故选：CD 5．（多选）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【解析】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 6.已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 考点三 等比数列基本量的计算 7．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列为，其公比为，且前项和为， 若，则，所以，又，故不符合题意， 若，则根据题意可知，且， 解得，，故. 故选：D. 8．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（    ） A．62 B．66 C．56 D．46 【解析】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 9．已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【解析】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 10．设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 【答案】/0.5 【解析】等比数列的前8项和， 即：； 因为，，代入上式得：， 所以. 又因为，，，， 因此，，即，. 考点四 等比中项 11．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 12．设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 考点五 等比数列性质及应用 13．在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 【答案】C 【解析】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 14．已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 【答案】B 【解析】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得， ∵，∴，∴，解得，故B正确，C错误. 所以，所以，A错误. ∵，，∴当或时，，当时，. ∴当时，，当时，，当时，， ∴当最小时，或，故D错误. 故选：B. 15．对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， A，当时，，不成等比数列，A错误； B，对于任意公比，，成等比数列，B正确. C，当时，，不成等比数列，C错误； D，当时，，不成等比数列，D错误. 故选：B 16．等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 17．在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 考点六 等比数列前n项和性质及应用 18．已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是等差数列；其中正确的个数是（   ） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】数列是等比数列，设公比为， 对于①，可得，故数列是等比数列，①正确； 对于②，因为，即，解得，则，②错误； 对于③，因为，当时，， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时，也满足上式， 即，所以，故③正确； 对于④，若，则为常数， 所以数列是等差数列，故④正确； 故选：C 19．已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】设的公比为q，， ， ， ，， ，，， 解得，或（舍去）， . 故选：A. 20．设等比数列的前项和为，若，，则（   ） A．40 B．32 C．24 D．18 【答案】D 【解析】因为数列为等比数列，且，，则， 又因为，，成等比数列，即2，6，成等比数列， 则，所以. 故选：D. 21．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 22．记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 考点七 等比数列与等差数列的综合 23．对于无穷数列，给出下列命题： ①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列； ②若等差数列满足，则是常数列； ③若等比数列满足，则是常数列； ④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列． 其中正确的命题个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①因为既是等差数列，设的公差为， 则相邻的三项为， 因为又是等比数列，则，设公比为， 则相邻的三项为， 所以①， ②， 两式相减得：③， 将③代入①中，， 因为， 所以， 解得：，则， 所以是常数列，①正确； ②因为等差数列为无穷数列，假设，则无最大值，不满足， 所以假设不成立，即，所以是常数列，②正确； ③考虑，能够满足，而不是常数列，③错误； ④设各项为正数的等比数列的公比为， 因为， 所以，则， 若，则无最大值，不合题意， 所以，进而是常数列，④正确． 故选：C 24．已知等差数列的公差不为0，设，若，，，数列为等比数列，则下列选项中一定是数列中的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知：，，，数列为等比数列，故， 故，化简得到， 故，. ，无整数解，排除； ，无整数解，排除； ，，满足； ，无整数解，排除； 故选：. 【点睛】， 本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列知识的灵活运用. 25．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为 A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵成等比数列， ∴，解得：， ∴， 令，令，其中的整数， ∵函数在递减，在递增， ∴当时，；当时，， ∴. 故选：A. 26．（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 27.（多选）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】CD 【解析】对于A，由，得， 又数列为等比数列，则，解得，经验证符合题意，A正确； 对于B，等比数列中，由，得，则，B正确； 对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误； 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于，D错误. 故选：CD 28．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. （3）由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 考点八 裂项相消法求和 29．已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 【解析】（1）因为时，，又， 所以（）， 即数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，. （2）因为，所以, 所以 , 所以. 30．已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求的通项公式； (2)对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求． 【解析】（1）设公比为， 因为数列是各项都为正数的等比数列，且， 所以，， 因为是，的等差中项， 所以，即，解得（舍）或， 所以. （2）（ⅰ）由题意， 因为存在，，使得对任意的，恒成立， 所以，则， 所以，则恒成立， 因为，则数列单调递增， 当时，，， 所以存在正整数，使得当时，，与恒成立矛盾 所以； 同理当时， 存在正整数，使得当时，，与恒成立矛盾 所以； 综上； （ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，，， 所以， 所以. 考点九 分组求和法与并项求和法 31．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【解析】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 32．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【解析】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 考点十 错位相减法求和 33．已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）因为． 所以， 若数列是等比数列，又，则，解得． 此时． 由，得， 所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 即数列为等差数列，且公差为2，所以， 即．则， ， 所以 ， 所以． 34．已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）∵，∴， 即，又， ∴， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，∴， ∴， 则 . 35．已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； 【解析】（1）在数列中，，当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得，由数列是公比为2的等比数列，得，， 则，， 两式相减得， 所以. 考点十一 倒序相加法 36．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 37．已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则 . 【答案】2646 【解析】因为，所以前项和. 所以当时， 因为， 所以，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即. 当时，， 又满足上式，所以. 新数列中从到共有项. 当时，；当时，. 所以 . 故答案为：2646. 38．已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 【答案】6078 【解析】因为是正项等比数列，所以，， 即， 由，则， 故， 故 ， 所以. 故答案为：. 考点十二 等比数列的实际应用 39．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【解析】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 40．李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 41．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2025年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2026年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】设每年偿还的金额为x元，则， 则，解得， 所以该学生家长每年的偿还金额是元. 故选：D 42．京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． (1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； (2)求数列的通项公式. (3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【解析】（1）（万立方米）， 又即. （2），设存在非零常数，使得， 整理得到，而，故即. 所以，而， 故即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故即； （3）由（2）知. ， 所以为递增数列， 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 考点十三 与等比数列有关的数学文化题 43．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 44．谢尔宾斯基垫片（Sierpinski  Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为． 下列结论错误的是（   ） A．经过n次操作，可以使得 B．经过n次操作，可以使得 C．经过n次操作，可以使得 D．经过n次操作，可以使得 【答案】C 【解析】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为； 第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形， 这3个三角形的周长之和为，面积为； 第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形， 这个三角形的周长之和为，面积为； 以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和， 面积，其中. 对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小， 且时，，所以当足够大时，会有，故A正确； 对于B，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且时，，所以当足够大时，会有，故B正确； 对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且，所以，故C错误； 对于D，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且时，，所以当足够大时，会有，故D正确； 故选：C. 考点十四 等比数列的综合应用 45．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（    ）. A．8 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【解析】解：由题意可知：， 即， 即， 又， ， 即数列是以首项为9，公比为的等比数列， ， 即， ， ， 则， 即， 又， 满足不等式的最小整数， 即. 故选：D. 46．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 47．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AB 【解析】由可得，， 由，可得，故A错误； 又因为，且，所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，故D正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，则是数列中的最大值，故C正确； 而，则，故B错误. 故选：AB 48．已知是首项为1的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求数列和的通项公式： (2)设数列的前项和为，求； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以， 设的公比为，因为，，所以，所以， 所以，所以. （2）设， 所以① ② 所以①②，错位相减可得， ， 解得. （3）因为，，所以，所以，，令， 则，当，，即， 当时，，即，所以数列的最大项为，因为恒成立，所以，，所以实数的取值范围为. 49．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； （2）（ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； （ⅱ）由可得：， 由对任意恒成立，则， 令，则函数在上单调递减， 即当时，，所以， 即的取值范围是. 50．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为． (1)求t的值； (2)求证：数列是等差数列，并求； (3)记，求数列的前n项和． 【解析】（1）∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）由（1）知，即， 当时，∵点在抛物线上，则，且， 过，且斜率为的直线， 联立方程组，得， 解得或， ∴，可得， ∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列， ∴. （3）， ， ， 两式相减得： ， 所以. 考点十五 与等比数列有关的创新题 51．已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【解析】（1）该数列的所有完美子列如下：；；；. （2）数列的完美子列 按首项分类，有如下情况： 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；，共4个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；，共2个完美子列. 因此，. （3）设等比数列的公比为，易知， ①当时，若，则为非零常数列，即，取出3项后， 由于，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列； 若，则为，易知其亦不存在完美子列； ②当时 ，假设存在完美子列. （i）若，当时，设的一个完美子列为， 则，且， 但事实上，所以上述等式不可能成立，此时不存在完美子列； 当时，此时中项的绝对值随的增大逐渐增大，同理不存在完美子列. （ii）若，由①知不需要讨论的子列中的项全为正数或全为负数的子列， 当的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为， 其中，（点拨：当时，无论的首项是正是负， 数列中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系） 此时应有，则，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）. 若，则， 若，则， 所以等式不可能成立； 同理两负一正的情况也不成立。所以不存在完美子列. 综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 52．在一个数列的每相邻两项之间插入这两项的和的倍（），形成新的数列，我们把这个新的数列称为该数列的“扩展”数列，例如：数列2，4的“扩展”数列为2，12，4． (1)已知数列1，4，16，写出该数列的“3﹣扩展”数列和“扩展”数列； (2)公比为q的等比数列，若数列的“扩展”数列仍为等比数列，求实数的值（用表示）； (3)是否存在一个无限项的正实数列及实数，使得数列的“扩展”数列是一个周期数列，且最小正周期是一个大于1的奇数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）该数列的“扩展”数列为：1，15，4，60，16； 该数列的“扩展”数列为：1，2，4，8，16； （2）若等比数列的“扩展”数列仍为等比数列， 则对任意的，是，的等比中项， 故，    可得，又，， 所以，  可得 ； （3）假设存在，设数列的“扩展”数列的最小正周期为， ，根据“扩展”的定义有，， ，故， 因为数列的最小正周期为， 故也是数列的周期， 所以 ， 因为；故， 所以， 设，则， 故， 得， 故数列为常数列，则数列也为常数列，最小正周期为1，与题设矛盾， 故不存在满足题设的数列及． 1．（2024·全国集英苑冬季竞赛）已知等比数列满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，由，得，解得， 而，则，又，因此数列是递减数列，又， 所以. 故选：C 2．（2024·湖南岳阳高二上竞赛）在数列中，，，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 又因为，所以， 故为首项为3，公比为2的等比数列， 所以，故. 故选：B. 3．（2023·全国“加速杯”竞赛）已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】D 【解析】由，故由累加法得：当时，，因此，由此得，由于当时，，故, 由得以此类推可得，因此进而，由于，所以，综上可知，故满足条件的所有可能取值有， 故选：D 4．（多选）（2024·清华大学强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 【答案】ABD 【解析】由题可知， 于是可求得． 故，A选项正确； 数列中，不是等比数列，C选项错误； 于是单调递增且有极限，故．D选项正确； 又因为,所以B选项正确. 故选：ABD. 5．（多选）（2024·湖南长沙一中竞赛）已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】解：对于选项A、B，因为，，所以， 设， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则， 所以， 当时，，， 当时，，， 因为，所以这种情况不存在， 则数列满足当时，，为单调递减数列， 故A选项正确，B选项错误； 对于选项C， 令，设 则， 所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大， 所以，即，所以C选项正确， 对于选项D，由前面得， 下面证明，只需证明， 令，则，所以， 令，则， 成立，则 所以 所以D选项正确； 故选：ACD. 6．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）2024九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ． 【答案】 341 【解析】由题意可知，， 则当为奇数时，，，，……， ， 所以 ， 所以； 当为偶数时，，，，……， ， 所以 ， 所以， 所以 7．（2024·全国高中数学联赛四川预赛）若，则的末尾数字0的个数为 . 【答案】3 【解析】由于， 故， 由于 ， 由于，末尾有3个0，且大小远远超过1000， 因此的末尾数字0的个数为3， 故答案为：3 8．（第十四届全国枫叶新希望杯”数学竞赛）在等比数列中，已知，则 . 【答案】/ 【解析】由， 由和分别为方程的根得 或，则. 9．（2024·海南省海口实验中学高一竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为 【答案】 【解析】设小虫的起点为A，第秒爬回初始位置的概率为，第秒位于点之一的概率为，位于点的概率为，    则，且， 可得，则， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，可得， 所以小虫在第八秒爬回初始位置的概率为. 故答案为：. 10．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 11.（2024·全国集英苑冬季竞赛）若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为为的数列，故的前项至少有项大于，即， 所以，故即. 构造如下数列：， 对于任意，,,, 其中， 则数列的前项比大的有，共个， 满足题设条件. 下证：满足恒成立. 证明：对任意，存在，使得， 当时， 若，则 ， 若，则 ， 当， . 所以恒成立. 综上，的最小值为. 12．（2023·全国中学生数学能力测评）已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 所以， 则在上恒成立， 要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为. 故答案为： 13．（2023·安徽太和中学竞赛）在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】5或6 【解析】因为数列是递减数列，所以. 又，是方程的两根，解得. 所以，解得或（舍去），得， 则， 则当或6时，最大． 14．（2023·安徽太和中学竞赛）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】设等比数列的公比为，则， 而，故，故，所以即， 故，故， 由可得即，所以， 因为， 且当时，， 故使得成立的最小值为4， 故答案为：4. 15．（2025·山东大学强基计划）已知数列，有，，求通项. 【答案】 【解析】将两边同时取倒数，得， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，解得. 16．（2025·山东大学强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 【解析】设公差为,由已知得,解得或, ，得， 相减得,其中为数列的前项和. ∵,∴① ∴  当时 ②, ①②两式相减得③, ,,, , , ∴③式对于都成立. 当时，,代入①得. 当时,代入③得, , 为首项为，公比为的等比数列， , 代入①得. 17．（2024·第四届英才杯竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 【解析】（1）设常数满足：数列， 则常数满足如下条件：， 由韦达定理知，常数为方程的两个根，令， 当时，有，即， 上式共个式子，累乘得， 将直到，按照上述递推关系式进行展开有： ， 可见是首项为，公比为，末项为的等比数列， 根据等比数列通项公式有， 将常数代入得， ， 当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． （2）数列满足，且， ，数列单调递增， 所以，即， 根据数列极限定义知，若对给定的任意正数，总存在正整数，使时有． （3）当时，， 当，且， 都有，此时不是“柯西列”． 当时，， 对任意给定的，存在，使，且， 都有，则为“柯西列”． 18．（2024·全国“鱼塘杯”竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 【解析】（1）移项得到，， 相加得，所以， 因为，所以是首项为5，公比为的等比数列； （2），，所以对成立， 解得，对成立， 故和. 19．（2024·全国极光杯数学竞赛）已知等比数列的公比，成公差为的等差数列． (1)求的最小值； (2)当取最小值时，求集合中所有元素之和． 【解析】（1）由题设知，即，化简得：； 而． 于是当时，，当且仅当，即时等号成立． 故的最小值为3． （2）由，令，． ，令得，当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，则时，取最小值， 从而取最小值时，．代入中，解得：， 又则，． 因不是偶数，故，则，因此当时，． 所以当取最小值时，A中所有元素之和为． 20．（2024·四川宜宾初赛）已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (2)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (3)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 21．（2024·安徽“校长杯”数学竞赛）记正项数列的前项积为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【解析】（1）证明：由题意得，当时，可得，可得， 因为，所以，即， 即， 当时，可得，所以，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）解：由（1）可得， 所以， 所以 . 22．（2024·山东泰安冬季竞赛）西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里). (1)确定与的递推关系(即把，用表示) (2)证明:数列是等比数列，并求； (3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？ (参考数据:) 【解析】（1） . （2）， ， ， 所以数列 是等比数列. 解得 . （3）由（2）知 ， 解得 , 是递减的指数函数， 当 时 , 当 时 . 经过 5 年, 该地当年末的林区面积首次超过 1.2 千平方公里. 23．（2023·全国“加速杯”数学竞赛）已知数列满足，，，其中为数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 【解析】（1）由，可得． 当时，有     于是     又，所以， 整理得，即，则为等比数列． 在中令，由于，得．因为，解得． 则的公比，所以． （2）证明： 故 ， 证毕． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $