专题03 数学归纳法（竞赛培优专项训练，6大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 聚焦数学归纳法的概念理解与应用，通过分层训练构建从基础到竞赛的完整逻辑体系，培养推理意识与创新思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组考点专项过关练|约18题|涵盖概念理解、恒等式/不等式/整除证明等基础应用|从归纳奠基与递推的原理理解，到不同场景的证明方法迁移，形成“概念-应用-变式”递进链条| |B组选拔真题冲奖练|12题竞赛强基真题|探究性问题与综合证明|对接竞赛高频考点，强化复杂情境下的逻辑推理与创新意识，深化数学思维的严谨性|

专题03 数学归纳法 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数学归纳法的理解 题型04利用数学归纳法证明整除问题 题型02 利用数学归纳法证明恒等式 题型05 利用数学归纳法证明探究性问题 题型03 利用数学归纳法证明不等式 题型06 利用数学归纳法证明其它问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题12道） 考点一 对数学归纳法的理解 1．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 2．24-25高二下·辽宁沈阳·阶段检测）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 3．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【解析】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 4．设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式． 【答案】 【分析】先求出的值，通过观察发现，猜想，再利用数学归纳法即可求出结果. 【详解】因为， ， 又，所以， 而进一步，有， 观察到， 猜测，下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立； （2）假设当时，有，其中， 则时，， 结论仍成立． 由（1）（2）知，. 5．已知数列满足，且，其前n项和为，则（    ） A．196 B．225 C．256 D．289 【答案】B 【分析】利用数学归纳法可求数列的通项，从而可求，也可以利用三角换元来求通项. 【详解】法1：因为，故，故，同理， 下面用数学归纳法证明：. 当时，，符合； 设当时，， 则当时，有， 故， 故由数学归纳法可得. 法2：根据题意，有， 设，且，则有 ， 进而， 因此， 因此． 故选：B. 6．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 考点三 利用数学归纳法证明不等式 7．已知正数数列满足：．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先用数学归纳法证明：对恒成立，令即可； （2）在第一问的基础上得到，再用累乘法化简即可 【详解】（1）． 下面用数学归纳法证明：对恒成立． 时，，结论成立；假设时结论成立， 即． 则时， 且， 于是，即时结论也成立． 综上，对恒成立，且等号成立时当且仅当． 所以． （2）由（1）知时， 因为对恒成立，故, 设， 则 整理得 所以 又，代入得 得证. 8．对于数列：，，有以下结论：①若，则；②若，则；③对，均有；④对于任意正整数，均有.则 A．仅①②正确 B．仅②③正确 C．仅①③④正确 D．①②③④均正确 选：D.【分析】 根据递推式，分类讨论，结合二次函数的性质，基本不等式，数列单调性的判断方法，放缩法，数学归纳法，即可判断各结论的真假． 【解析】 若时，， 若时，， 显然，故③正确； 若时，，故，所以①正确； 若时，易知， 当时，，假设时，， 则时，，所以， 因此，即，故②正确； 当时，； 当时，， 综上可得.故④正确. 故选：D. 9．已知首项为的数列满足，若对任意正整数恒成立，则实数的最大值为___________________． 答案 【分析】 推导出，利用不等式的基本性质以及累加法可得出，结合已知条件可得出对任意的且恒成立，结合参变量分离法可求得实数的最大值，再利用数学归纳法说明当时，恒成立，由此可得出结果. 【解析】 且，对任意的，， 所以，， 可得出，，，， 上述不等式全加得，， 当时，； 当且时，若恒成立，则， 所以，， 由于，. 当时，则且，可得，，，进而可知，对任意的，， ，即，可得， 假设当时，，则当时，， 由上可知，对任意的，恒成立. 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 10．求证：当，且时，能被整除. 【答案】证明见解析； 【分析】利用数学归纳法证明即可． 【详解】证明：当时，原式为， 显然能被整除， 假设当时能被整除， 设上式除以所得的商为，则 因而 ， 当时命题成立， 当，且时，能被整除． 11．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【解析】由，得，， ，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9， 由此猜想最小的正整数的值为9，即. 下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立. （2）假设时，能被36整除，即能被36整除. 当时，， 由于是2的倍数，故能被36整除. 这就是说，当时，也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9. 12．斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 【答案】BCD 【分析】A:直接法写出第8项即可;B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律,用数学归纳法证明即可;C:只需证明即可,用数学归纳法证明;D:用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可. 【详解】解:由题知,关于选项A, , 故选项A错误; 关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足为偶数,为奇数, ③当时, ,为奇数,为偶数, ,为奇数,为偶数,为奇数, ,为奇数,为偶数,为奇数, 故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证, 2023项是非3的倍数项,故选项B正确; 关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时满足成立, ③当时, 成立,满足规律, 故, 令, 则有成立, 故选项C正确; 关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下: ①当时,,满足规律, ②假设当时,满足 ③当时, 能被4整除得证, ,能被4整除得证, 故选项D正确. 故选:BCD 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 13．设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【答案】(1)，（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当时，. 又令，，则； 令，则； 令，，则. 猜测：当为负整数时，亦有：.（数学归纳法证明略） 综上：，. (2)（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，则. 当时，，，命题成立； 假设时，命题成立，即. 当时，， 所以 . 所以当时，命题也成立. 综上可知：，成立. (3) 【详解】（1）令得：. 又， 令，则； 令，，则. 猜测：当时，. （2）略 （3）因为，， 所以. 所以，，，，，. 各式相加得：. 因为在区间上严格递增，所以函数的对称轴， 所以. 14．，则等于多少？比较与. 【答案】，. 【分析】由数列递推公式列出前几项，找规律假设，并用数学归纳法证明，再求，通过求极限得，故可判断与的大小. 【详解】由题意可知，， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 猜想：. 证：当时，，表达式成立， 当时，表达式成立，即， 则当时， ， 表达式成立. 综上所述，. 所以， 故， 所以. 15．，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【分析】求出，，用归纳法证明，从而求出. 【详解】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 16．已知数列满足，则下列错误的是（ ） A．若时，则数列单调递增 B．存在时，使数列为常数列 C．若时，则单调递减数列 D．若时，则 答案C 【分析】 利用单调性的定义证明A，C，举例说B，再根据 【解析】 （1）∵， ∴， 由数学归纳法思想， (i)时，时，，， (ii)假设时，，则由得， 综合(i)(ii)得对所有，， ∴数列是递增数列，A正确， （2）若，则，依次得到，数列是常数列，B正确； （3）设，，当或时，，当时，，∴在上递增，在上递减．在是递增，极小值为，极大值为，所以有唯一零点，且零点在上，进一步，，即零点在上，设其为，若，则，，，，数列不是递减数列，C错； （4）时，， 由（3）知此方程有唯一解，， 又由（3）当时，，而，所以，，…，， ∵，∴由，可得，， 而，所以， 综上．D正确． 故选：C． 17．设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 【分析】依次用数学归纳法证明：和即可. 【答案】先用数学归纳法证明：． 当时，因为，则，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则时，由得， 则， 于是， 则，即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 下面用数学归纳法证明：， 当时，由得，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则时，由， 于是， 则， 则，即时命题也成立． 综上，对任意都成立， 即对任意都成立，命题证毕. 18．设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ） A．c∈[0,1]是的充分必要条件 B．当c>1时，一定是递减数列 C．当c<0时，不存在c使是周期数列 D．当时， 答案C 【分析】 利用条件以及数学归纳法说明A成立；结合类推思想说明B成立；利用零点存在定理说明存在c使是周期数列，即C错误；利用放缩法说明D成立. 【解析】 若，则，即必要性成立； 若c∈[0,1]，则 假设时， 则时， 因此c∈[0,1] 时，，即充分性成立；故A成立； 单调递增， 同理，依次类推可得，即一定是递减数列，故B成立； 当c<0时， 由，令存在零点，即存在c使是周期数列，即C错误； 当时， 由A得，所以 因为时，，所以，即D成立； 故选：C 1．（2025高二下·山东青岛·竞赛）现有n个袋子，每袋有a个白球和b个黑球，先从第一个袋中随机摸出一球，记下颜色后把它放到第二个袋中，再从第二个袋中随机摸出一球，记下颜色后把它放到第三个袋中，依此进行，最后从第n个袋子中随机摸出一球并记下颜色，记在这n次摸球中摸出白球的总数为，则______. 附：若是离散型随机变量，则. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，利用全概率公式求出，再利用数学归纳法推理证得，进而利用期望公式及给定公式求解. 【详解】令，， 依题意，， ，， 同理，假设， 则 ，， 由数学归纳法得，， 因此， 所以. 故答案为： 2．（2024·北京大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 3．（2024·中国科技大学创新营数学考试），求所有的，使得中有无穷多项为正整数. 【答案】 【解析】由题可知， 若，则，即； 若，则，即； ①当时，可用数学归纳法证， 若，则， 则数列递减，不存在无穷多项为正整数. ②当时，同①可用数学归纳法证：且递增. 则不存在无穷多项为正整数. ③当时，，同②可用数学归纳法证：且递增， 则不存在无穷多项为正整数. ④当时， 为常数列，符合要求. 综上，时，存在无穷多项为正整数. 4．（2026江苏盐城·竞赛）已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解 （1）必要条件：，解得，此时. 设时，， 则当时，， 因为，，故， 由数学归纳法可知时，有. （2）由题意有，，，则，. 因为，故， 若，则，则恒成立，这不可能成立， 故， 猜想：，下面利用数学归纳法证明. 当时， 设当时，有， 则当时， ； 另一方面： . 由数学归纳法可得猜想成立. 因为对任意大于1的正整数，有恒成立， 故，故对任意大于1的正整数，有恒成立， 取，则， 取，则，故， 而，故. 下证：, 当时，由的取值范围的来源可得不等式成立， 设当时，， 则当时， 而 ()， 所以， 又 而 ， 故成立， 由数学归纳法得到对任意的恒成立， 故的最小值为： 5．（24-25高三下·山东·强基计划）已知，，满足对，有恒成立，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由数学归纳法进行证明，结合切比雪夫多项式的性质进行证明. 【详解】证明：数学归纳法，当时，方程对恒成立， 取，则，得，成立， 假设命题对成立，即对成立， 则有. 考虑的情形：设对恒成立. 令，则，其中为第一型切比雪夫多项式： ，设，则， 代入得对所有成立，左侧为关于的多项式， 且在区间上有无穷多个点为零，故该多项式恒为零，即所有系数为零. （若多项式在定区间内存在无穷多个零点，则该多项式必为零多项式，所有系数为0）， 在多项式中，项仅出现在时，， 故的系数为，令其为零，因， 故，代入原方程得，对， 由归纳假设有，综上. 由数学归纳法，命题对任意正整数成立. 6．（2025高三下·重庆·竞赛）已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）假设，利用和分别表示出，使其相等，辨析规律，得到的取值，即可得到的通项公式. （2）假设所有可能的，使用归纳演绎法，说明时命题成立，假设时命题成立，得出时，命题也成立. 【详解】（1）若，则， 设，其中，则，故只能是，所以. （2）我们归纳证明，所有可能的. 时，，命题成立； 假设时命题成立，即，则当时， ，即或，， 即.故时，命题也成立. 7．（2024年全国第四届章鱼杯联赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 【解析】（1）依题意得 设， 则   又因为，则 从而为常数， 由的任意性知 ，于是，又由于等比数列中不能有， 故， 于是， 此时恒为 ，满足等比数列的要求. （2）记   注意到是关于的一元二次方程的两根，故 下面归纳证明：， 当时，结论显然成立； 对，假设结论对成立， 注意到，故 从而结论对也成立，完成归纳. 综上. 8．(全国高中数学联赛模拟试题)设数列满足.求证：. 【解析】令，得，则. 令，得，则.① 令，得.② 根据①得：，于是，.③ 另一方面，由②､①得 .④ 由③､④得递推关系式 . 由此可得，猜测. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 对于，结论显然成立； 假定，则有， 所以当时等式成立.因此，成立. 对于，有. 所以. 9．(全国高中数学联赛模拟试题)已知.证明：当时，. 【解析】（1）当时，左边；右边； 因为，所以，所证不等式成立. （2）假设时不等式成立，即成立. 当时， ， 所以，当时，不等式也成立. 由（1）､（2）可知，当时，所证不等式成立. 10．．(全国高中数学联赛模拟试题)求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 【解析】令，得，即 .① 令，得，所以或2. 若，由①，. 令，得.但不成立，矛盾. 若，由条件，对任意的整数，有. 令，得，即. 所以，为偶函数. 根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数，有. 再由为偶函数知对于任意的整数，有. 经验证，满足条件. 综上，满足条件的函数只有一个：. 11．（高三下·浙江·强基计划）设是正数数列，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】放缩证明：先证，再利用导数法证明当时，，再令，则有，由裂项相消法求和可得结论. 【详解】证明：由题意可知，，解得， 下面用数学归纳法证明：当，时，， ①当时，，上述结论成立； ②设 时，假设成立， 则当时， ， 所以当时，结论也成立． 综合①②得，对任意的，，都有． 当时，； 当时，． 下面证明：，即证明． 设函数，则， 所以在上是增函数，所以恒成立，即． 令，则有． 故，所以． 综上可得． 12．（24-25高二下·青岛·竞赛）（1）证明：； （2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，； （3）利用（2）的结论判断是否为有理数？ 【解析】（1） 所以原式得证. （2）为奇数时， 时，，其中，成立 时， ，其中，成立 时， ，其中，成立， 则当时， 所以得到 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 为偶数时， 时，，其中， 时， ， 其中，成立， 时， ， 其中，成立， 则当时， 所以得到 其中， 因为均为整数，所以也均为整数， 故原式成立； 综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，； （3）由（2）可得 其中均为有理数， 因为为无理数，所以均为无理数， 故为无理数， 所以不是有理数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数学归纳法 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 对数学归纳法的理解 题型04利用数学归纳法证明整除问题 题型02 利用数学归纳法证明恒等式 题型05 利用数学归纳法证明探究性问题 题型03 利用数学归纳法证明不等式 题型06 利用数学归纳法证明其它问题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题12道） 考点一 对数学归纳法的理解 1．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 2．24-25高二下·辽宁沈阳·阶段检测）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 考点二 利用数学归纳法证明恒等式 4．设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式． 5．已知数列满足，且，其前n项和为，则（    ） A．196 B．225 C．256 D．289 6．（多选）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 考点三 利用数学归纳法证明不等式 7．已知正数数列满足：．求证： (1)； (2)． 8．对于数列：，，有以下结论：①若，则；②若，则；③对，均有；④对于任意正整数，均有.则 A．仅①②正确 B．仅②③正确 C．仅①③④正确 D．①②③④均正确 9．已知首项为的数列满足，若对任意正整数恒成立，则实数的最大值为___________________． 考点四 利用数学归纳法证明整除问题 10．求证：当，且时，能被整除. 11．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由. 12．斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 考点五 利用数学归纳法证明探究性问题 13．设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 14．，则等于多少？比较与. 15．，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . . 考点六 利用数学归纳法证明其它问题 16．已知数列满足，则下列错误的是（ ） A．若时，则数列单调递增 B．存在时，使数列为常数列 C．若时，则单调递减数列 D．若时，则 17．设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 18．设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ） A．c∈[0,1]是的充分必要条件 B．当c>1时，一定是递减数列 C．当c<0时，不存在c使是周期数列 D．当时， 1．（2025高二下·山东青岛·竞赛）现有n个袋子，每袋有a个白球和b个黑球，先从第一个袋中随机摸出一球，记下颜色后把它放到第二个袋中，再从第二个袋中随机摸出一球，记下颜色后把它放到第三个袋中，依此进行，最后从第n个袋子中随机摸出一球并记下颜色，记在这n次摸球中摸出白球的总数为，则______. 附：若是离散型随机变量，则. 2．（2024·北京大学强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 3．（2024·中国科技大学创新营数学考试），求所有的，使得中有无穷多项为正整数. 4．（2026江苏盐城·竞赛）已知数列满足，，. （1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围； （2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值. 5．（24-25高三下·山东·强基计划）已知，，满足对，有恒成立，证明：. 6．（2025高三下·重庆·竞赛）已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 7．（2024年全国第四届章鱼杯联赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 8．(全国高中数学联赛模拟试题)设数列满足.求证：. 9．(全国高中数学联赛模拟试题)已知.证明：当时，. 10．．(全国高中数学联赛模拟试题)求所有的函数，满足，且对于所有整数，有. 11．（高三下·浙江·强基计划）设是正数数列，，且．求证：． 12．（24-25高二下·青岛·竞赛）（1）证明：； （2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，； （3）利用（2）的结论判断是否为有理数？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $