专题04 导数的概念及运算（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版全国通用

专题04 导数的概念及运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平均变化率及瞬时变化率 3 考点二 对导数概念的理解 5 考点三 导数的运算 8 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 10 考点五 利用导数研究切线条数 13 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 15 考点七 利用导数研究距离的最值问题 17 考点八 利用导数研究公切线 18 考点九 利用导数研究抽象函数 22 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点 导数的概念及运算 1．导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或即．称函数为的导函数． 2．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 4．导数的运算法则 （1）； （2）； （3）． 5.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量. (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝[f(φ(x))]'＝f'(u)φ'(x)，其中u＝φ(x). 【易错警示】(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.(2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 【熟记重要结论（二级结论）】 1．代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且． 2．． 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 4．函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5．区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 6．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 7．可导函数y＝f(x)的导数为f'(x)，若f'(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f'(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 考点一 平均变化率及瞬时变化率 1．已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】由函数，可得，则，即该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2．如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为10m时，这水波面的圆面积的膨胀率为（ ） A．40 m2/s B．20 m2/s C．40π m2/s D．20π m2/s 【答案】C 【解析】由题可知水波的半径， 圆的面积，则圆的面积的膨胀率. 当半径为10m时，即，则=. 故选：C 3．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 4．(多选)一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【解析】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为，故B错误； 对于C，质点运动的速度为，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为，故D正确. 故选：AD. 考点二 对导数概念的理解 5．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 6．已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意有：， 故选：D. 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 8．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 9．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，， 所以， 故选：D． 10．已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为 ， 所以. 故选：C. 11．已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 考点三 导数的运算 12．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题知，则， 所以， 故选：C． 13．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 14．（多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 15．(多选)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 16．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 17．过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意知，设切点为，所以切线方程为， 又切线过点， 所以，解得， 所以或，两点关于轴对称，则， ∴切线为或， 则以为直径的圆为或均交轴于， 所以到的距离. 故选：B． 18．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【解析】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 19．（多选）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【解析】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 20．已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 21．写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【解析】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 22．已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 考点五 利用导数研究切线条数 23．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 24．已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是. 故选：B. 25．已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设切点为，的导数，故切线斜率. 设切线方程为 将，代入切线方程得 化简得 令，，即与有两个交点. ，令得. 时，单调递减；时，单调递增. 所以极小值， 的图象如图， 要使与有两个交点，则 解得. 故答案为： 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 26．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 27．若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A．-5 B． C．3 D．5 【答案】D 【解析】设直线与曲线相切于点， 由 所以，整理得 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 28．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【解析】由，求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 依题意，，所以. 故选：A 29．已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 30．设函数，若曲线在处的切线方程为，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由知，理由：当时，， 此时函数图象在处为尖锐点，不存在导数， 当时，在上，，此时，矛盾． 当时，在上，，此时，而， 故曲线在处的切线方程为， 即，故，由得， 故选：B． 31．已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，得． 所以． 所以． 所以切线方程为，即． （2）因为的图象在点处的切线都与直线垂直， 所以在点处的切线的斜率为， 则有两个不同的解． 所以，，得，又． 所以，，且． 考点七 利用导数研究距离的最值问题 32．已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在直线上，点在曲线上， 又因为，， 令，解得，可得， 的最小值即为点到直线的距离. 故选：D. 33．已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意的几何意义为抛物线上一点到直线距离的5倍， 如图，把直线平移至与抛物线相切时，切点即为到直线距离最小的点， 设切点，，令，得，把代入抛物线得， 即切点，此时， 所以的最小值为. 故选：C    考点八 利用导数研究公切线 34．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 35．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【解析】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 36．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 37．若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设. (1)判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若时，函数的最大值为0，求的取值范围； (3)当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程. 【解析】（1）不存在，理由如下， 令函数， 求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，不存在且，使得， 所以函数不存在“自公切线”. （2）函数，，求导得， 而， 当时，，不符合题意，则， 当时，，函数在上递减，则， 当时，， 函数的图象连续不断，则使得当时，， 函数在上递增，当时，，不符合题意， 所以的取值范围为. （3）函数，求导得， 设，曲线在点处的切线方程为，， 直线的方程为，即， 由直线重合，得①， 且②， 即，则，，， （ⅰ）当， ， 时，，由②得，不符合题意； （ⅱ）当，，中至少有一个成立时， 不妨设，代入②得，而，则， 则，即，此时， 由，得， 直线重合，方程为， 当且时，取，有无穷多个切点，对应切线为； 同理当且时，得切线， 所以函数存在至少三个切点的自公切线，且切线方程为. 38．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． (1)已知，求函数的零点； (2)求函数与函数的“合一切线”方程； (3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 【解析】（1）中，令，解得， 故定义域为， ，令，则恒成立， 故函数，即在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，又， 故有且只有1个零点，零点为0； （2）由（1）知，函数与函数的公共点仅有1个， 即横坐标为0，则，故公共点为， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， ，故在处的切线斜率为， 切线方程为，即， 综上，与函数的“合一切线”方程为； （3）， 设函数与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则， 因为，所以， 所以， 不妨设，则， 因为， 由“合一切线”的定义可知，， 又，故，， 故，， 由“合一切线”的定义可知，， 又，，，代入上式，可得， 当，，时，此时， 而，故为偶函数，而也为偶函数， 故， 综上，，. 考点九 利用导数研究抽象函数 39．函数的定义域为，函数是函数的导函数，若函数和均为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数为奇函数，则， 可得，， 取则，得，即，进一步得①， 因为函数为奇函数，则， 所以②， 由①②得，即，进而， 所以， 故函数是以12为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 又是以12为周期的周期函数，故，其它三个选项未知. 故选：D. 40．已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（     ） A．74 B．72 C．70 D．68 【答案】C 【解析】由函数为偶函数，所以 ，所以， 可得是奇函数，所以， 因为，所以 ，所以， 令，可得， 因为，可得， 用代替，可得， 又因为，两式相加得， 令，可得；令，可得，所以， 因为，用代换，可得，即， 又因为函数是奇函数，可得 由，所以， 所以函数是周期为4的一个周期函数，则， 所以， 则. 故选：C. 41．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】在A选项中，由题意可得，，， 令，得，解得或， 若，令，则，即， 又因为，所以，选项A错误， 在B选项中，因为，则函数关于对称， 对两边求导，得，即， 令，得，所以，选项B正确， 在C选项中，因为， 令，得，所以，即为偶函数， 由和偶函数可得，， 所以是周期为6的函数， 令，得，所以， 由于周期为6，，所以，所以选项C正确， 在D选项中，由于为偶函数，故，求导可得，故，故为奇函数，因此又，故，在中，令,则，不满足要求，所以选项D错误. 故选：BC. 42．（多选）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【解析】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. 43．（多选）已知函数是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C． D．函数的周期为 【答案】BCD 【解析】由可得，则的对称轴为. 即为的一个极值点，所以，故A错误. 由为奇函数，得即， 所以，因为为的导函数，则有， 即为偶函数，故B正确. 由和，可得， 则，即周期为. 因为是上的奇函数，所以， 又的对称轴为，则， 所以，故C正确. 由得，即， 所以周期为，故D正确. 故选：BCD. 44．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，，，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．是的一个周期 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，， 对于A：令，可得，即， 显然，所以，故A正确； 对于B：因为数的定义域为，关于原点对称， 令，可得， 即，可得，且不为常函数，不恒为0， 所以为偶函数，故B错误； 对于C：令，可得， 即，可知为的一个周期，故C正确； 对于D：由C可知为的一个周期，则（）是函数的周期， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD 45．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：因为为奇函数，所以，即， 即，所以的图象关于点对称且定义域为R，所以，A正确； B：由，两边求导得，即， 又的图象关于点对称，得，所以，B正确； C：因为为奇函数，即为奇函数，则， 所以，则（为常数）， 当时，，即，故为偶函数， 所以的图象关于直线对称，则，又， 所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以，C错误； D：由得，， 所以，又， 所以，D正确． 故选：ABD 1．（2024·厦门大学强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，故在处可导； 即“是在处可导”的充分条件； 若在处可导，当时，，则， 当时，，则， 故，， 于是，故得. 即在处可导；即“是在处可导”的必要条件. 故选：A. 2．（2024·厦门大学强基计划），则是在处可导的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】充分性： 若， 所以，因此在处是否可导，还需要看在处是否可导，因此不具备充分性； 必要性： ，在处可导只能代表有意义，不能得出，因此不具备必要性； 故选：D. 3．（2024·厦门大学强基计划），的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】CD选项，两边求导得， 故，，C错误，D正确， AB选项，可令，满足， ，即，可以得到，，AB错误. 故选：D 4．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（   ） A．3mm/s B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有，所以， 当时，， 故选：B. 5．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）若直线是曲线的切线，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切于点， 由题知，，直线的斜率为1， 所以，解得. 故选：B 6．（2024·河南灵宝精英对抗赛）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 7．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 8．（2024·第二届“鱼塘杯”竞赛）如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】解：切线方程的斜截式为，斜率， 所以. 故选：C 9．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）已知实数，满足，且，则函数图像的对称中心为 . 【答案】 【解析】由可得，故， 故，则， 故对称中心的横坐标为，， 故对称中心为， 故答案为： 10．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于，则， 在上存在（）， 满足， 得， 即关于的一元二次方程在上有两个不同的根， 令，则等价于. 所以实数a的取值范围是， 故答案是：. 11．（2024·南京大学强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【解析】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 12．（2025·中国科技大学强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，求圆的半径． 【答案】或 【解析】设圆的圆心为，依题意可知，其半径， 在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为：，即， 由于圆心到此切线的距离等于半径，故：， 即或， 又因为圆心到切线的直线的斜率为，故：， 即， 联立解得； 联立解得； 故半径为或. 13．（2024·重庆高中数学联赛初赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且.过作的切线，取左边的切点为.过作的切线，取右边的切点为.当时，求点的横坐标. 【解析】 设，， 注意， 从而当时，，所以， 因为，所以， 可得切线的方程为， 即，同理可得切线的方程为， 由题设中，的要求，可设，， 将代入切线的方程，得， 即， 可求得， 这里取较小的根是因为为左边的切点， 同理可求得， 于是， 所以， 整理得，所以， 故点的横坐标为0. 14．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 【解析】（1）依题意，，由求导得，，则过点的切线为， 由消去得，即，解得或， 于是，，则过的切线为， 由消去得，，解得或，于是， 所以，． （2）由（1）知，曲线上点处的切线的斜率， 则直线的方程为， 由消去得，， 化简得，解得或，点的坐标， 因此，即数列是首项为1公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知：点，， 于是直线的方程为：，化简得：， 则，即， 所以. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数的概念及运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平均变化率及瞬时变化率 3 考点二 对导数概念的理解 5 考点三 导数的运算 8 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 10 考点五 利用导数研究切线条数 13 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 15 考点七 利用导数研究距离的最值问题 17 考点八 利用导数研究公切线 18 考点九 利用导数研究抽象函数 22 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点 导数的概念及运算 1．导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或即．称函数为的导函数． 2．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 4．导数的运算法则 （1）； （2）； （3）． 5.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量. (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝[f(φ(x))]'＝f'(u)φ'(x)，其中u＝φ(x). 【易错警示】(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.(2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 【熟记重要结论（二级结论）】 1．代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且． 2．． 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 4．函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5．区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 6．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 7．可导函数y＝f(x)的导数为f'(x)，若f'(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f'(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 考点一 平均变化率及瞬时变化率 1．已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为10m时，这水波面的圆面积的膨胀率为（ ） A．40 m2/s B．20 m2/s C．40π m2/s D．20π m2/s 3．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 4．(多选)一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 考点二 对导数概念的理解 5．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 7．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 9．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 11．已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 考点三 导数的运算 12．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 13．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 14．（多选）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 15．(多选)设，则（    ） A． B． C． D． 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 16．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 17．过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（    ） A． B． C．1 D． 18．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 19．（多选）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 20．已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 21．写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 22．已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 考点五 利用导数研究切线条数 23．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 24．已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 26．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 27．若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A．-5 B． C．3 D．5 28．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 29．已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 30．设函数，若曲线在处的切线方程为，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 考点七 利用导数研究距离的最值问题 32．已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 33．已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点八 利用导数研究公切线 34．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 35．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 36．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 37．若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设. (1)判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若时，函数的最大值为0，求的取值范围； (3)当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程. 38．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”． (1)已知，求函数的零点； (2)求函数与函数的“合一切线”方程； (3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值． 考点九 利用导数研究抽象函数 39．函数的定义域为，函数是函数的导函数，若函数和均为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 40．已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（     ） A．74 B．72 C．70 D．68 41．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（多选）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 43．（多选）已知函数是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C． D．函数的周期为 44．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，，，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．是的一个周期 D． 45．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为.且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 1．（2024·厦门大学强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·厦门大学强基计划），则是在处可导的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·厦门大学强基计划），的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（   ） A．3mm/s B． C． D． 5．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）若直线是曲线的切线，则（   ） A． B． C．3 D．4 6．（2024·河南灵宝精英对抗赛）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 8．（2024·第二届“鱼塘杯”竞赛）如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）已知实数，满足，且，则函数图像的对称中心为 . 10．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 11．（2024·南京大学强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 12．（2025·中国科技大学强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，求圆的半径． 13．（2024·重庆高中数学联赛初赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且.过作的切线，取左边的切点为.过作的切线，取右边的切点为.当时，求点的横坐标. 14．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $