专题04 导数的概念及运算（竞赛培优专项训练，9大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

**基本信息** 专题04 导数的概念及运算，竞赛专项训练，以概念生成→运算应用→综合拓展为逻辑链，覆盖导数核心题型与竞赛真题。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均变化率及瞬时变化率|3题|结合图像分析速度、排放量变化|从平均变化率过渡到瞬时变化率，建立导数概念直观认知| |导数概念理解|3题|实际背景（气球膨胀、放射性衰变）|深化导数定义，理解瞬时变化率的物理意义| |导数运算|3题|含新定义“中值点”及导控函数|巩固求导法则，拓展运算应用场景| |切线问题（方程、斜率、条数等）|6题|切线方程、含参问题、公切线|从基础切线求法到多切线、参数讨论，体现导数几何意义应用| |距离最值与抽象函数|5题|点到直线距离、导函数性质应用|综合导数工具性，提升数学思维与问题转化能力| |竞赛真题|15题|强基、联赛试题，综合性强|对接竞赛命题趋势，强化知识迁移与逻辑推理|

专题04 导数的概念及运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 平均变化率及瞬时变化率 题型06 利用导数解决切线中的含参问题 题型02 对导数概念的理解 题型07 利用导数研究距离的最值问题 题型03 导数的运算 题型08 利用导数研究距离的最值问题 题型04利用导数求切线方程或切线斜率 题型09 利用导数研究抽象函数 题型05 利用导数研究切线条数 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 平均变化率及瞬时变化率 1．物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 2．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 3．某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 考点二 对导数概念的理解 4．吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 5．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（   ） A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克 6．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 考点三 导数的运算 7．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 8．已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 9．若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则___________ 11．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．切线： C． D． 12．已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 考点五 利用导数研究切线条数 13．已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 14．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 16．已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 17．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 考点七 利用导数研究距离的最值问题 19．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 20．（    ） A．1 B．2 C． D． 21．已知实数，满足，，则的最小值为_______ 考点八 利用导数研究公切线 22．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 23．直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 24．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 考点九 利用导数研究抽象函数 30．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 31．已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 33．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（    ） A． B． C． D．2 1．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（   ） A．3mm/s B． C． D． 2．（2024·厦门大学强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024高二下·重庆·竞赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证:. 4．（2024·河南灵宝精英对抗赛）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二下·吉林·竞赛）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 6．（2025·厦门大学强基计划）设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则（　　） A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 7．（26高二下·安徽六安·竞赛）（多选）设定义在上，若对任意实数t，存在实数，使得成立，则称满足“性质T”，下列函数不满足“性质T的有（    ） A． B． C． D． 8．（2025·南京大学强基计划）已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标满足，且对于，都有，则k的取值范围是__________. 9．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 10. （2025·中国科技大学强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，圆的半径是_______ 11. （2025·高二山东青岛·竞赛）．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________． 12. （第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为______； ②计算______. 13．（2024·重庆高中数学联赛初赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且.过作的切线，取左边的切点为.过作的切线，取右边的切点为.当时，求点的横坐标. 14．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 15．（2026高二·广东揭阳·竞赛）已知函数． (1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数的概念及运算 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 平均变化率及瞬时变化率 题型06 利用导数解决切线中的含参问题 题型02 对导数概念的理解 题型07 利用导数研究距离的最值问题 题型03 导数的运算 题型08 利用导数研究距离的最值问题 题型04利用导数求切线方程或切线斜率 题型09 利用导数研究抽象函数 题型05 利用导数研究切线条数 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 平均变化率及瞬时变化率 1．物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 2．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 3．某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】D 【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 考点二 对导数概念的理解 4．吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大，当时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为___________． 【答案】 【分析】求出半径关于容量的导函数，再利用导数的几何意义即可得出时，气球的瞬时膨胀率. 【详解】利用球的体积公式直接可得， 所以，即， 所以， 当时，， 即时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）为. 5．放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（   ） A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克 【答案】C 【分析】求导，由求得，再计算即可． 【详解】求导得：， 因为， 所以，所以 所以， 故选：C 6．已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 考点三 导数的运算 7．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 8．已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到，对其求导并研究导函数的性质求出对应自变量，从而确定切线，将问题化为求与的距离问题，即可得. 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 9．若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． (1)试问函数是否为函数的“导控函数”？ (2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； (3)若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明：充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【详解】（1）由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； （2）由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为 ； （3）略 考点四 利用导数求切线方程或切线斜率 10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则___________ 【答案】 【分析】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得 ，进而通过等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以， ， 所以， 所以， 即：，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 故答案为：. 11．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ） A． B．切线： C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数零点的存在性定理和，得到，可判定A正确；求得，设切点，求得切线方程，令，求得，可判定D正确；当时，求得，得出切线方程，可判定B正确；计算求得的值，可得判定C错误. 【详解】由，可得，即， 根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确； 又由，设切点，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 令，可得，所以D正确； 当时，可得，则， 所以的方程为，即，所以B正确； 由，可得，，此时， 所以C错误； 故选：ABD 12．已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘 得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： 考点五 利用导数研究切线条数 13．已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 【答案】0 【分析】对求导得到切线斜率的表达式，设两条互相垂直切线的斜率分别为、，根据两直线垂直的条件，可得；结合导数的值域，分析满足时的取值. 【详解】，； 曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率的取值范围为. 要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得. 区间内必须同时包含正数和负数，即，得. 设，则. ，即； ，得； ，； ，解得，得. 当时，斜率的取值范围为，可取，，符合题意. . 14．若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解. 【详解】设切点为， 由函数，可得，则 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 设，所以， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使得过点可作曲线的三条切线， 则满足，解得，即的取值范围是． 故选：C． 15．若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分析可得，然后得出，化简即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 设函数的图象在、两点处的切线斜率分别为、， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，即， 所以 . 故答案为：. 考点六 利用导数解决切线中的含参问题 16．已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，使得的图象在点处的切线都与直线垂直，求非零实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，得． 所以． 所以． 所以切线方程为，即． （2）因为的图象在点处的切线都与直线垂直， 所以在点处的切线的斜率为， 则有两个不同的解． 所以，，得，又． 所以，，且． 17．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围. 【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离， 将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，Q到直线的距离，故， 所以． 故选：B 18．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 考点七 利用导数研究距离的最值问题 19．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 20．（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为使得的图象在直线l下方的直线的最小截距，画出图象后可得正确的选项. 【详解】根据题意，有， 于是问题转化为使得的图象在直线l下方的直线的最小截距． 如图，取函数在处的切线l，其中， 则， 其截距为，其中， 因此最小截距为2． 故选：B. 21．已知实数，满足，，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方，利用导数求切点，由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：所求表达式的几何意义为点与点之间距离的平方. 由可知点在曲线上；点的坐标满足，故该点在直线上 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则，解得（负根已舍去）， 切点为，点到直线的距离， 则的最小值为. 故答案为： 考点八 利用导数研究公切线 22．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 23．直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【答案】B 【分析】令，，由题意可得，结合计算可求得的最大值. 【详解】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即， 此时，所以，所以. 24．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 考点九 利用导数研究抽象函数 30．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】由，得，所以可构造函数 ，利用导数分析函数的单调性，结合，利用单调性求得不等式的解集 【详解】构造函数 ，其定义域为， 而， 由，且 ，得 ， 所以 在 上单调递增. 由 ，得 ， 则不等式 等价于， 所以，解得 ， 即不等式的解集为. 31．已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 不等式，因为，所以化简可得， ，， 即可转化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为． 33．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用题设等式和函数值，对进行赋值，依次求出，…，推得是以0为首项，为公差的等差数列，即可计算；再由条件推出，依次赋值求出，…，计算，即得答案. 【详解】由求导得， 又，两式相减可得， 令，可得， 在中，取，可得，解得， 在中，取，可得，所以， 在中，取，可得， 所以，再取，可得， 则得，…，故是以0为首项，为公差的等差数列， 所以； 由得，则， 取，可得，故，即， 又，所以，则， 因为，，则，， ，， ，，， 即， 所以． 1．（2024·山东青岛尖子生选拔考试）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（   ） A．3mm/s B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有，所以， 当时，， 故选：B. 2．（2024·厦门大学强基计划）若可导，，则“是在处可导”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，故在处可导； 即“是在处可导”的充分条件； 若在处可导，当时，，则， 当时，，则， 故，， 于是，故得. 即在处可导；即“是在处可导”的必要条件. 故选：A. 3．（2024高二下·重庆·竞赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证:. 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，利用导数证明对，有.由变形，结合引理和和差化积可得，然后可证. 【详解】先证一个引理：对，有. 引理的证明:令，故为减函数， 所以当时，，引理得证. 回到原题:，由题知. 不妨设，则，于是由并结合引理可得： ， 即，则，所以. 所以. 4．（2024·河南灵宝精英对抗赛）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 5．（2026高二下·吉林·竞赛）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据已知分别写出、在、处的切线方程判断A，应用导数分析、的单调性，结合复合函数的单调性判断B，问题化为恒成立，应用导数研究左侧的最小值判断C，根据已知得、，进而化简目标式得，再应用导数求其最小值判断D. 【详解】由，则，且，则在处的切线为， 由，则，且，则在处的切线为， 综上，和的图象存在公切线，A错； 在上，则单调递增，且， 在上，则单调递增， 综上，结合复合函数的单调性知，在上是增函数，B对； 由，令且， 显然在上单调递增，且， 所以，使，即， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又在上单调递减， 所以，而恒成立，则整数的最大值为2，C对； 由，则，故， 由，则， 又及在上单调递增，则，即， 所以，则， 综上，， 令且，则， 所以在上单调递增，则，D对. 6．（2025·厦门大学强基计划）设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则（　　） A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 【答案】D 【详解】根据题意得，…， ，又曲线的最低点为，则当时 当时，当时 …，则，，，，： ，   则 所以是递减数列，故选 7．（26高二下·安徽六安·竞赛）（多选）设定义在上，若对任意实数t，存在实数，使得成立，则称满足“性质T”，下列函数不满足“性质T的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题干信息分析出在上都不是单调函数，则称函数具有“性质T”，对四个选项分别进行分析， A选项，当时，在上单调递减， B选项，当时，在上单调递增； C选项，可证明出不单调； D选项，当时，二次求导，求出一阶导函数大于等于0，从而得到其单调. 【详解】由得：， 由题设条件可知，对于任意的实数， 使得函数在上都不是单调函数， 则称函数具有“性质T”． 对于A，由题得，当时，，此时， 即在上单调递减，所以函数不具有“性质T”，所以A正确； 对于B，由题得， 当时，，此时， 即在上单调递增，所以函数不具有“性质T”，所以B正确． 对于C，由题得，此时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数具有“性质T”，所以C错误． 对于D，由题得， 当时，，此时， 令， 又，, 所以在区间和上递增，在区间递减． 又当时，，所以的最小值为，即在上单调递增， 所以函数不具有“性质T”， 所以D正确． 故选：ABD． 8．（2025·南京大学强基计划）已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标满足，且对于，都有，则k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先确定点的轨迹方程，再转化为求直线上的点与曲线上点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】设，，则， 由，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值1， 所以，而条件中， 所以，，即点的轨迹方程为， 表示和点的距离的平方， 点在曲线上， 所以若不等式成立，则， 所以问题转化为直线上的点与曲线上点的距离的平方的最小值， ，得，即， 点到直线的距离， 所以，所以. 故答案为： 9．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）定义：如果函数在上存在（），满足，，则称函数是上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于，则， 在上存在（）， 满足， 得， 即关于的一元二次方程在上有两个不同的根， 令，则等价于. 所以实数a的取值范围是， 故答案是：. 10. （2025·中国科技大学强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，圆的半径是_______ 【答案】或 【解析】设圆的圆心为，依题意可知，其半径， 在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为：，即， 由于圆心到此切线的距离等于半径，故：， 即或， 又因为圆心到切线的直线的斜率为，故：， 即， 联立解得； 联立解得； 故半径为或. 11. （2025·高二山东青岛·竞赛）．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________． 【答案】4050 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求导，进而求出函数值的和. 【详解】由，求导得， 则，即当时，， 所以. 12. （第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为______； ②计算______. 【答案】 2023 【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果. 【详解】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 13．（2024·重庆高中数学联赛初赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且.过作的切线，取左边的切点为.过作的切线，取右边的切点为.当时，求点的横坐标. 【解析】 设，， 注意， 从而当时，，所以， 因为，所以， 可得切线的方程为， 即，同理可得切线的方程为， 由题设中，的要求，可设，， 将代入切线的方程，得， 即， 可求得， 这里取较小的根是因为为左边的切点， 同理可求得， 于是， 所以， 整理得，所以， 故点的横坐标为0. 14．（第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 【解析】（1）依题意，，由求导得，，则过点的切线为， 由消去得，即，解得或， 于是，，则过的切线为， 由消去得，，解得或，于是， 所以，． （2）由（1）知，曲线上点处的切线的斜率， 则直线的方程为， 由消去得，， 化简得，解得或，点的坐标， 因此，即数列是首项为1公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知：点，， 于是直线的方程为：，化简得：， 则，即， 所以. 15．（2026高二·广东揭阳·竞赛）已知函数． (1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【分析】（1）将单调递增转化为导函数不小于零恒成立，通过参变分离转化为最值求解即可； （2）设在点的切线平行于轴，根据为零点，切线平行于轴列方程组，变形整理，构造函数，利用导数找出矛盾即可. 【详解】（1），， 由题意知恒成立，即恒成立，所以， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以； （2）设在点的切线平行于轴，其中， 则， 由题意有， ①－②得，所以， 由④得，所以 即⑤ 设，则⑤式变为， 令，， 所以函数在上单调递增， 因此，即，也就是，此式与⑤矛盾， 所以在点的切线不可能平行于轴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $