专题02 函数解析式的常见求法（专项训练6大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数解析式求法，构建“方法分类-题型对应-综合应用”的三阶训练体系，通过高频重点方法与分层题型设计，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |待定系数法|4题|针对已知函数类型（一次/二次），设解析式列方程求解（高频重点）|从函数类型到系数确定，体现方程思想| |换元法|5题|通过变量代换转化复合函数为简单函数（重点）|映射思想的具体应用，培养转化能力| |配凑法|5题|变形已知式凑出目标函数表达式|代数式变形能力的直接训练| |方程组法|5题|构造方程（组）消元求抽象函数解析式（难点）|方程思想与抽象思维的综合运用| |图像选解析式|5题|结合图像特征（单调性/特殊点）逆向推导解析式（难点）|数形结合思想的逆向应用| |综合问题|5题|解析式与参数/求值结合，需综合运用多种方法（难点）|方法迁移与综合推理能力的拔高|

专题02 函数解析式的常见求法 常考题型·精准突破 考点一 求函数的解析式 题型1 待定系数法求解析式（高频.重点） 题型2 换元法求解析式（重点） 题型3 配凑法求解析式 题型4 方程组法求解析式（难点） 考点二 根据函数图象选择解析式 题型5 根据函数图象选择解析式（难点） 考点三 与函数解析式有关的综合问题 题型6 根据函数解析式求参或求值（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求函数的解析式 ◆题型1 待定系数法求解析式 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 2．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 3．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 4．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. ◆题型2换元法求解析式（重点） 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 5．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. ◆题型3配凑法求解析式 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 3．（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知函数对任意的满足等式，则= ． 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，则 . 5．已知，求的解析式． ◆题型4方程组法求解析式 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 2．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 考点二 根据函数图象选择解析式 ◆题型5根据函数图像选择解析式 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.    (1)写出函数的定义域和值域； (2)求函数的解析式及的值. 考点三 与函数解析式有关的综合问题 ◆题型6根据函数解析式求参或求值（难点） 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）设，其中及都是非零常数．若，则（　　） A． B． C．2 D．7 2．（2026·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（24-25高二上·全国·开学考试）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 4．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，若对一切实数，均有，则___. 5．设，其中，为实数，，，若，则______． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（21-22高三上·海南·阶段检测）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要(    ) 附： A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 5．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 二、多选题 6．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·辽宁·期中）下列说法正确的有（    ）. A．集合，表示同一集合 B．若函数满足，则 C．若是一次函数，满足，则 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 8．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）下列命题中正确的是（ ） A．若函数满足，则4 B．函数且的图象恒过定点 C．命题：“”的否定是“” D．若函数，则 三、填空题 9．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 10．（25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 11．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 四、解答题 12．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 13．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 14．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02函数解析式的常见求法 常考题型精准突破 。考点一求函数的解析式● ◆题型1待定系数法求解析式 1.【答案】D 【详解】由一次增函数f(x),可设f()=ac+b(a>0), 则f(f(x)》=f(ac+b)=a(ar+b)+b=4x-3, 「a2=4 「a=2「a=-2 所以b+6=-3解得6=-或6=3（舍去)， a=2 当b=-时，f(x)=2x-1,此时，f(0)=-1 故选：D 2.【答案】B [3k+b=7 k=-4 【详解】设f(x)=c+b,则5k+b=-1,解得1b=19’ 所以f(x)=-4x+19,f(2)=8+19=11 故选：B. 日.【答家】8()+3 【详解】设8(x)=a2+bx+c(a≠0) 2 根据题意得 [4a+2b+c=-3 4a-2b+c=-7’解得 b=1 c=-3 c=-3 所以8(-+x-3。 故答案为：8()=弓+x-3。 4.【答案】f(x)=2x+3 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意可设f(x)=c+b,所以f(-2)=-2k+b=-1,f(0)+f(2)=b+2k+b=10, 解之得k=2,b=3,即f)=2x+3. 故答案为：f(x)=2x+3. 5.【答案】(1)f(x)=3x+1或f()=-3x-2 (2f(x)=x2+4x+2 【详解】(1)设f()=c+b(k≠0），则f(f(x)》=k(e+b)+b=x+幼+b=9x+4, k2=9 k=3k=-3 h+h=4解得6=1，或6=-2 f()=3x+l或f(x)=-3x-2 (2)由题意设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 因为f(0)=2,所以c=2, 因为f()-f(x-)=2x+3, 所以ar2+bx+c-[a(x-l+b(x-1)+c=2x+3, 所以2ax-a+b=2x+3, 2a=2 所以a+b=3得a=1,b=4 所以f()=x2+4x+2 ◆题型2换元法求解析式（重点） 1.【答案】B 【详解】由已知，令1=1-x,则x=1-1,因为x≠0，则t≠1， 则0=1-0-1 1-y-y), 所F到 2.【答案】A 【详解】令1= x,则1≠0： 2/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由)21，行0-f+1*0 所以f()=x2+1(x≠0). 3.【答案】B 【详解】令1-x=1,则x=1-1,因为x≠0，所以t≠1， 由0-功1子≠0，可行0=10=。1 0-y0-1*. 所以1可0 1 4.【答案】f)=+1 2’x≥0 【详解1设1-2x那么120=公.则 2120, 所以f)=+1 2’x≥0 5.【答案】x2-2x-3(x≥) 【详解】令x+1=1,则1≥1，x=(-, 所以f(0)=(-)-4=-21-3,1≥1. 所以函数解析式为：f(x)=x2-2x-3(x21). 故答案为：x2-2x-3(x≥1). ◆题型3配凑法求解析式 1.【答案】D 【详解】 =11, 所以f(x)=x2(x≠). 3114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.【答案】f(x)=x+2x+2,x≥-1 【详解】f(x2-)=x+1=[x-+了+1，且x-12-, 所以f(x)=(x+°+1=x+2x+2,x≥-1. 故答案为：f(x)=x2+2x+2,x≥1. 3.【答案】x2-2x+2 【详解】因为f(1-)=1+=(1-)-21-)+2, 所以f(x)=x2-2x+2。 故答案为：x2-2x+2. 4.【答案】2 【详解1因为(++0叭.即(+-2。 所以f()=x2-2,故f(2)=22-2=2,所以f(f(2)=f(2)=2 故答案为：2. 5.【答案】f(x)=x2+3 【详解1因为--（+21-(-+3 所以f(x)=x2+3 ◆题型4方程组法求解析式 1.【答案】(1)f(x)=x2+2x+12 a8(子 8 3h()=2x+3或h(x)=-2x-8· 【详解】(1)令1=2x-1则x-生 2 所以0=4告+1=r+2+2.则=+2x+12 (2):g(x)-2g(-x)=2x,① 4114 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g(-x)-2g(x)=-2x,② 由①+②×2得-3g(x)=-2x 解：京 (3)设h(x)=ax+b(a≠0)，则h(h(x)=h(a+b)=a(ar+b)+b=a2x+ab+b. 又h(h(x》=4x+8,所以ax+ab+b=4x+8. a=2 即)口2-4 。,解得6=8，或a=2 ab+b= 3b=-8 所以4()=2x+或=-2x-8 2【容】四)-+：()-2"空 3 【详解】(1)设f(x)=2+bx+c(a≠0)， 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx, 又由f(x+)=f()+x+1, a(x+1)+b(x+1)=ax2+bx+x+1, @x2+(2a+b)x+a+b=@x2+(b+1)x+1, 2a+b=b+1 所以a+h=1，解得a=b=) 21 所以+分 (2)由f(x)+2f()=2,① 得f(x)+2f(-x)=2,② ①×2-②，得3f(x=2-2, 即fx)=2-2 3一 故f(y)的解析式是f)=2,2 3 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【管1儿创2e40且0 3. 【详解1f创+-=1+x,0 特D的，月代接海》)2© 可将0中的，用代换构/)-二。 9-2阳-咀x0 则由 4.【客案1(a山fx+)=6x17:2f=r-e:(a)fe)=号*0. 【详解】(1)因为f(x)=3x+2,所以f(2x+5)=3(2x+5)+2=6x+17 (2)因为f(匠+=x+2E,令1=x+1≥1，则x=(-1, 所以f(0=(-1)+2-1)=2-121),故f(x)=x2-1(x21): (a)因为2/日)-0〈Rx02,所以2r份))-e, 联立0@可得7-号立(x+0叭， 5.【答案】)=x+ 【详解】由3f(x)+2f(-x)=x+3,用-x代替x得3f(-x)+2f(x)=-x+3, 3f(x)+2f(-x)=x+3 3f)+2)=-x+3消去f刘)得f)=x+? 所以了)的解析式为)=x+号 一●考点二根据函数图象选择解析式·—— ◆题型5根据函数图象选择解析式 1.【答案】B 【详解】因为函数f()x-可的定义域为{xx≠： 6114 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数/（四=子+的定义域为R' 函数因可与0)=一的定义域均为到x≠， 由图知(x)的定义域为{xx≠，排除选项A、D, 对于（四=x一，当x=0时，f0)=1,不符合图象f(0)=1,所以排除选项C 故选：B. 2.【答案】B 【详解】由图可知，函数的定义域为(，-U(-l,U(1,+∞)， c项的定义域为(-0，-U(-山，+0)，不合题意； D项的定义域为R,不合题意： 对A选项，因为f(O)=1,不符合函数图象， 故选：B 3.【答案】B 【详解】由函数图象可知，函数定义域x∈(-o,-1)U(-1,3)U(3,+o). 即x2+bx+c≠0的解集为x≠-l,x≠3，也就是即x2+bx+c=0的解为x=-l,x=3, ,(-1)+bx(-1)+c=0,1-b+c=0,b=-2 ∴32+b×3+c=0 ，…9+3b+c=0'1c=-3' :函数图象经过点(0，-2)，f(0)=0-2x03 a -2,a=61 故选：B. 4.【答案】C 【详解】对于A,由图1可得，当x<0时，f(x)<0, 所以当x<0时，xf(x<0,故A错误： 对于B,由图1可得当x<0时，f(x)<0,所以当x<0时， 因<0，故B错误： x2 对于C,由图1可得当x<0时，f(x)<0,当x>0时，f()>0, 所以当x<0时，f()>0;当x>0时，f()>0,选项C正确： 7114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,由图1可得当x<0时，f(x)<0,则当x<0时，f(x)>0,f(x)<0, 选项D错误 故选：C 5.【答案】(1定义域为-2,3]，值域为-2,2]： x+2,-2≤x≤0 2f(-安4r+2,0<x≤3·f(-》=- 【详解】(1)根据函数f(x)的图象，即可知函数f(x)的定义域为-2,3)]， 值域为[-2,2]： (2)设y轴的左侧的线段方程为y=c+m,-2≤x≤0 「-2k+m=0 k=1 由图可知线段过点(-2,0)，(0,2)即可得m=2，解得m=2: 所以y轴的左侧的线段为y=x+2,-2≤x≤0， 设右侧为某抛物线的方程为y=a2+bxr+c(a≠0)，0<x≤3 c=2 a=1 由图象可知抛物线过点 ,即可得 4a+2b+c=-2,解得b=-4, (0,2),(2,-2),(3,-1) 9a+3b+c=-1 c=2 即抛物线方程为y=x2-4x+2,0<x≤3， 所以函数f)的解折式为f)=225x≤0 1x2-4x+2,0<x≤3 可得f(-)=-1+2=1,所以f(f(-1)=f()=1P-4+2=-1, 即f(f(-)=-1. 一●考点三与函数解析式有关的综合问题●一 ◆题型6根据函数解析式求参或求值（难点） 1.【答案】B 【分析】根据条件，即可列式求解 【解17)八3)2,26-吾-3，得g=2 8114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 2.【答案】C 【分折1令f行-小=2x-5=f@)=3,求出x代入解出。 【详解1/位-2-5，且o=3 ,令f行-小2x-5=fa-3,2x-5=3解得4 f2x4-=2x4-5=fo=3,即f0=fo .a=1. 故选：C 3.【答案】C 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解。 【详解】因为f(-x+4)+f(x)=2,取x=1,可得f(3)+f()=2, 即f(3)=2-f(0)=2-(a+1+b)=1-a-b. 因为f(x+2)=f(-x),取x=0,则f(2)=f(0)=4a+2+b, 因为f(3)+f(0)=-3,所以1-a-b+4a+2+b=-3,解得a=-2, 因为f(-x+4)+f(x)=2,取x=2,则f(2)=1, 所以f(2)=4a+2+b=1,解得b=7,则b-a=7+2=9. 故选：C 4.【答案】15 【分析】列方程组解得参数a、b,得到f(x)解析式后，即可求得f(3)的值. 【详解】由对一切实数x,均有f()=f(2-x) ∫f(0)=f(2）n∫0=8(4+2a+b) 「a=-6 可知1f(-1)=f3):即{0-a+b)=159+3a+b)解之得6=8 则f()=(x+2x(x2-6x+8),满足fx)=f(2-x) 故f(3)=(32+2×3)(32-6×3+8)=-15 5.【答案】5 9114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由题意可得f()=f((x》的表达式，结合(x)=128x+381求出a,b的值，即可得答案 【详解】由题意知f(x)=+b,(x)=a2x+ab+b,f(x)=ax+a2b+ab+b, 若a=1,则f()=x+nb,则(x)=x+7b与(x)=128x+381不符： 故a≠1故（创=ax+(a+a2++a+1b=ax+4-xb, a-11 d-lxb=381, 由2(x)=128x+381得a=128'a-1 因此a=2,b=3,故a+b=5, 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.【答案】A 【详解】令1=2x-1ER则x=生 2· 因为2-=2-水房以0=2生-1产+4 所以)-r+xx+-11所以的雀球+四 2.【答案】B 【详解】令t=1-x,则x=1-1,因为x≠0，则t≠1， m-. 所 3.【答案】D 【球解1=1=己 12 f()= -+1=2 f(x)=x2(x≠1). 4.【答案】B 【详解】由题意可知， 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 f0)= 1+261 [k=-2 → 5 f0）=1+2w-2.5 b=2· 故f(x)= 1+22x+2, 由f(x) 1+22m>4.8,解得x>+ +510g23≈3.3， 22 故该果树的高度超过4.8m,至少需要4年. 故选：B. 5.【答案】D 【详解】由、x、y任意性可得f(y)=f(x)=f(y), 当040时型.型.数型处 少，故 所以当x≠0时，f()=x,其中c为常数， 由2f(2)=f(0)+6,得4c=c+6,解得c=2,所以f(x)=2x, 所以f(2027)=2×2027=4054」 二、多选题 6.【答案】AD 【详解】对于A:f)=,则f(2)=2x=2x=2f(x),故A正确： 对于B:()=x2,则f(2x)=(2x}=4x2=4f(x),故B错误： 对于C:fw)=x+1,则f(2)=2x+1,而2f()=2x+2, 所以f(2x)≠2f(x),故C错误： 对于D:f()=-x,则f(2)=-2x=2f(),故D正确 故选：AD 7.【答案】BD 【详解】对于A,集合A=R,集合B={≥，显然不是同一集合，A错误； 对于8，由e+2)x+子可得1a)+2付)-3.》2创-}解得j-=2,8正确 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,设f(x)=a+b,f(f(x)》=a(cr+b)+b=a2x+ab+b=l6x+5. 「a2=16 所以ab+b=5' a=-4 解得a=4或6=-；，所以 b=13 )4红+1度=4，C错误： 对于D,由题意可知2mx2-mx+1>0恒成立，当m=0时，显然成立： m>0 当m≠0时，需要m2-8m<0:解得0<m<8综上可得实数m的取值范围是[0,8)，D正确， 故选：BD 8.【答案】ABD 【详解】对于A,函数fx-)=x中，取x=2,得f0=22=4,A正确： 对于B,当x=4时，f(4)=a°+1=2，函数f(x)的图象恒过定点(4,2)，B正确： 对于C,命题：“x≥0，x20”的否定是“3r≥0，r2<0”,C错误： 对于D,令1=x-1≥-1，则x=+02,则f0=+1)2-3+)=-t-2, 因此f)=x2-x-2(x之-)，D正确 故选：ABD 三、填空题 2 9.【答案】3x 【详解】f(x)-2f(-x)=2x,① :.f(-x)-2f(x)=-2x,② 由①+②×2得-3f()=-2x 解得：1子x 2 故答案为：3. 10.【答案】f()=x-1(不唯一) 【详解】先假设f(x)为一次函数，设f(x)=:+b, 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则f(x+y)=f(x)+f(y)+1→k(x+y)+b=x+b++b+1→b=-1. 所以函数f(x)=a-l都满足条件。 故答案为：f(x)=x-1(不唯一) 11.【答案】2026 【详解]因为多项式()+/但)+中的正次项仅来自了对比右侧正次项仅为x·可知 f(x)最高次为1，因此f(x)为一次多项式， 改=m+6:则+/目=+6+是6=m+是+边=x+ 对比系数得a=1,b=0,所以f(x)=x,因此f(2026)=2026. 四、解答题 12.【答案】1)fg(x)]=x ae[r= 【详解】(1)当x<0时，g()=x2≥0，故f[g(x)]=f(x)=(x2)=x: ax<0时=0，数[(g- 13.【答案】(1)f()=x2-2x+3(x2)(2)f(x)=2x2-2x+1 【详解】(1)令+1=4,121→：=1-1→x=(-12, 由f(Nx+1=x+2→f0=(-+2=2-21+3u≥)， 所以f()的解析式为：f(x)=x2-2x+3(x2): (2)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 因为f(0)=1,所以c=1, f(x+1)-f(x)=4x=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=4x 2a=4.「a=2 →2am+a+b=4x→ a+b=0b=-2 所以f(x)的解析式为(x)=2x2-2x+1, 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.【答案】(1)f)=x2-x+1 「3-2m,m≤1 (2)h(m)=2-m2,1<m<2 6-4m,m≥2 【详解】(1)己知f(x)是二次函数，设f(x)=x2+r+0a≠0，因f0)=c=1 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-x2-bx-c=2ar+a+b=2x 解得a=1,b=-1,故f()=x2-x+1. (2)当x∈l,2]时，g(x)=f(x)+x-2mx+1=x2-2mx+2, 则函数8(x)开口向上，且对称轴的方程为x=m, ①当m≤1时，函数g(x)在区间山，2]上单调递增，则8()的最小值是h(m)=8()=3-2m: ②当1<m<2时，函数8(x)在1，m上单调递减，在[m,2]上单调递增， 则8(x)的最小值是h(m)=g(m)=-m+2: ③当m≥2时，函数8(x)在区间l,2]上单调递减，g(x)的最小值是h(m)=g(2)=6-4m. 3-2m,m≤1 综上，函数 的最小值为h(m)=2-m2,1<m<2」 g(x 6-4m,m≥2 14/14 专题02 函数解析式的常见求法 常考题型·精准突破 考点一 求函数的解析式 题型1 待定系数法求解析式（高频.重点） 题型2 换元法求解析式（重点） 题型3 配凑法求解析式 题型4 方程组法求解析式（难点） 考点二 根据函数图象选择解析式 题型5 根据函数图象选择解析式（难点） 考点三 与函数解析式有关的综合问题 题型6 根据函数解析式求参或求值（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求函数的解析式 ◆题型1 待定系数法求解析式（高频.重点） 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 3．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 4．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 5．（25-26高一上·湖南·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． ◆题型2换元法求解析式（重点） 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由，得. 所以. 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 4．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 5．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 【答案】 【详解】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. ◆题型3配凑法求解析式 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 3．（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知函数对任意的满足等式，则= ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·吉林长春·月考）若，则 . 【答案】2 【详解】因为，即， 所以，故，所以. 故答案为：2. 5．已知，求的解析式． 【答案】 【详解】因为， 所以． ◆题型4方程组法求解析式 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 2．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 4．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【详解】由，用代替得， ，消去得， 所以的解析式为. 考点二 根据函数图象选择解析式 ◆题型5根据函数图象选择解析式（难点） 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 2.（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，函数的定义域为， C项的定义域为，不合题意； D项的定义域为，不合题意； 对A选项，因为，不符合函数图象. 故选：B 3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）函数的部分图象如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】由函数图象可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图象经过点，∴，∴. 故选：B. 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由图1可得，当时，， 所以当时，，故错误； 对于B，由图1可得当时，，所以当时，，故错误； 对于C，由图1可得当时，，当时，， 所以当时，；当时，，选项C正确； 对于D，由图1可得当时，，则当时，，， 选项D错误. 故选：C. 5．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段.    (1)写出函数的定义域和值域； (2)求函数的解析式及的值. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)， 【详解】（1）根据函数的图象，即可知函数的定义域为， 值域为； （2）设y轴的左侧的线段方程为， 由图可知线段过点，即可得，解得， 所以y轴的左侧的线段为； 设右侧为某抛物线的方程为， 由图象可知抛物线过点，即可得，解得， 即抛物线方程为, 所以函数的解析式为； 可得，所以， 即. 考点三 与函数解析式有关的综合问题 ◆题型6根据函数解析式求参或求值（难点） 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）设，其中及都是非零常数．若，则（　　） A． B． C．2 D．7 【答案】B 【分析】根据条件，即可列式求解. 【详解】，得. 故选：B 2．（2026·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·开学考试）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【详解】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知，若对一切实数，均有，则___. 【答案】 【分析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值. 【详解】由对一切实数，均有 可知，即解之得 则，满足 故 5．设，其中，为实数，，，若，则______． 【答案】5 【分析】由题意可得的表达式，结合求出的值，即可得答案. 【详解】由题意知，，， 若，则，则与不符； 故，故, 由得，， 因此，，故, 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，则， ， 所以. 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 4．（21-22高三上·海南·阶段检测）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为(，，)的形式.已知()描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种时该果树的高为，经过一年，该果树的高为，则该果树的高度超过，至少需要(    ) 附： A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【详解】由题意可知， ， 故， 由，解得， 故该果树的高度超过，至少需要4年. 故选：B. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 二、多选题 6．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：AD 7．（25-26高一上·辽宁·期中）下列说法正确的有（    ）. A．集合，表示同一集合 B．若函数满足，则 C．若是一次函数，满足，则 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A，集合，集合，显然不是同一集合，A错误； 对于B，由可得，，解得，B正确； 对于C，设，， 所以， 解得或，所以或，C错误； 对于D，由题意可知恒成立，当时，显然成立； 当时，需要，解得，综上可得实数的取值范围是，D正确. 故选：BD 8．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）下列命题中正确的是（ ） A．若函数满足，则4 B．函数且的图象恒过定点 C．命题：“”的否定是“” D．若函数，则 【答案】ABD 【详解】对于A，函数中，取，得，A正确； 对于B，当时，，函数的图象恒过定点，B正确； 对于C，命题：“”的否定是“”，C错误； 对于D，令，则，则， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 10．（25-26高一上·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 11．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 四、解答题 12．（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 13．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 14．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知是二次函数，设，因 解得，故. （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $