第十五章 轴对称章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过核心知识网络系统梳理轴对称章知识体系，将24个知识点按轴对称性质、图形绘制、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形五大考点分类，以定义、性质、判定、作图的逻辑递进呈现，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于6大题型的典例与变式设计，如“画轴对称图形”强调“垂直+等距”原理培养几何直观，“等腰三角形分类讨论”强化推理意识，配套巩固与强化训练分层提升，助力学生掌握方法，教师实施精准教学。

第十五章 轴对称章末重难点复习 24知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解轴对称及其性质； 2.画轴对称的图形； 3.掌握线段的垂直平分线的性质、判定与作图方法； 4.掌握等腰三角形的性质与判定； 5.掌握等边三角形的性质与判定。 1. 轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2. 两个图形成轴对称的定义 把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。 3. 轴对称的性质 - 性质1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 - 性质2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 - 性质3：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 - 性质4：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 4. 对应点与对应线段 - 对应点：折叠后重合的点叫做对应点（对称点） - 对应线段：折叠后重合的线段叫做对应线段 - 对应角：折叠后重合的角叫做对应角 - 对应线段相等，对应角相等（由全等可得） 5. 画轴对称图形的基本原理 轴对称图形中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即对应点的连线被对称轴垂直平分。因此，画轴对称图形的关键是画出已知点关于对称轴的对应点。 6. 画一个点关于直线的对称点（基本方法） - 步骤一：过已知点 作对称轴 的垂线，垂足为 - 步骤二：延长 到点 ，使 - 步骤三：点 就是点 关于直线 的对称点 - 依据：对称轴垂直平分对应点的连线 7. 画一个图形关于直线的对称图形 - 步骤一：确定原图形的关键点（如顶点、端点、转折点） - 步骤二：分别画出每个关键点关于对称轴的对称点 - 步骤三：按照原图形的连接顺序，依次连接各对称点 - 步骤四：所得图形就是原图形关于该直线的轴对称图形 8. 画轴对称图形的注意事项 - 关键点要找全，尤其是复杂图形的所有转折点 - 作垂线时要用虚线，对称点连线也要用虚线 - 连接对称点时要用实线，与原图形线型一致 - 图形在对称轴上的点，其对称点就是它本身 - 画完后可沿对称轴折叠检验是否重合 9. 在网格中画轴对称图形 - 利用网格的格线作垂线，数格子确定对称点位置 - 点在格线上时，直接数到对称轴的距离，在另一侧等距离处取点 - 点不在格线上时，仍按“垂直+等距”原则确定对称点 10. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 11. 线段垂直平分线的性质定理 - 内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 - 几何语言： 直线 垂直平分 ，点 在 上， - 作用：证明两条线段相等，无需证全等 - 理解：线段垂直平分线上的所有点到线段两端距离都相等 12. 线段垂直平分线的判定定理 - 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 - 几何语言：， 点 在线段 的垂直平分线上 - 作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上，或证明某直线是线段的垂直平分线 - 注意：一个点不能确定一条直线，需要两个到线段两端距离相等的点才能确定垂直平分线 13. 性质定理与判定定理的关系 - 性质：点在垂直平分线上 到两端距离相等（由位置推线段相等） - 判定：到两端距离相等 点在垂直平分线上（由线段相等推位置） - 二者是互逆定理，条件和结论互换 14. 线段垂直平分线的尺规作图 - 步骤一：分别以线段的两个端点 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于两点 、 - 步骤二：作直线 - 步骤三：直线 就是线段 的垂直平分线 - 作图依据：SSS全等（连接 、、、，由半径相等得两组等边+公共边，证全等后得角相等，再由等腰三角形三线合一得垂直平分） - 注意：半径必须大于 ，否则两弧没有交点或只交于一点 15. 三角形三边的垂直平分线 - 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心 - 外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（） - 外心位置： - 锐角三角形：外心在三角形内部 - 直角三角形：外心在斜边的中点处 - 钝角三角形：外心在三角形外部 16. 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 17. 等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 - 内容：等腰三角形的两个底角相等 - 几何语言：， - 作用：由边相等推角相等 性质2：三线合一 - 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 - 几何语言：， 平分 （或 是 边上的中线/高），，， 平分 （三者同时成立） - 理解：等腰三角形中，只要知道一条线段是“顶角平分线”“底边中线”“底边高”中的任意一种，它就同时具备另外两种性质 性质3：对称性 - 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线（即顶角平分线/底边中线/底边高所在直线）是它的对称轴 - 等腰三角形只有一条对称轴 18. 等腰三角形的判定 判定1：定义法 - 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定2：等角对等边 - 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 - 几何语言：， - 作用：由角相等推边相等，是判定等腰三角形最常用的方法 19. 等腰三角形中的分类讨论 - 已知等腰三角形的一个角，求另外两个角： - 若已知角是顶角 底角 - 若已知角是底角 另一底角相等，顶角 - 若未说明是顶角还是底角 分两种情况讨论，但要验证三角形内角和 - 已知等腰三角形的两边，求第三边或周长： - 分哪条是腰、哪条是底两种情况 - 等腰三角形一腰上的高的问题： - 钝角等腰三角形（顶角为钝角）：高在三角形外部 20. 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 21. 等边三角形与等腰三角形的关系 - 等边三角形是特殊的等腰三角形（底边和腰相等的等腰三角形） - 等腰三角形不一定是等边三角形 - 等边三角形具备等腰三角形的所有性质 22. 等边三角形的性质 性质1：三边相等 - 等边三角形的三条边都相等 - 几何语言： 是等边三角形， 性质2：三角相等且都为 - 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 - 几何语言： 是等边三角形， - 推导：由三边相等得三角相等（等边对等角），再由内角和 得每个角 性质3：三线合一（三条边都有） - 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一 - 等边三角形有三条这样的线段，它们交于一点 性质4：对称性 - 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 - 每条边的垂直平分线都是它的对称轴 - 三条对称轴交于一点（中心） 23. 等边三角形的判定 判定1：定义法 - 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定2：三角相等法 - 三个角都相等的三角形是等边三角形 - 几何语言：， 是等边三角形 - 推导：三角相等 三边相等（等角对等边） 等边三角形 判定3：有一个角是 的等腰三角形法 - 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 - 几何语言：，（或 ）， 是等边三角形 - 分两种情况： - 若 角是顶角 两底角 ，三角都为 - 若 角是底角 另一底角也是 ，顶角 ，三角都为 24. 含 角的直角三角形的性质 - 内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 - 几何语言：在 中，，， - 推导：取斜边中点，连接直角顶点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合 角得等边三角形，从而证明 - 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 题型01 轴对称及其性质 【典例】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 抓住”沿直线折叠重合”的本质，利用对应点连线被对称轴垂直平分。 判断轴对称图形： 找一条直线，沿其折叠后直线两旁部分能重合即可。注意对称轴是直线，可能有一条、多条或无数条。 找对应元素： 折叠后重合的点是对应点，重合的边是对应边，重合的角是对应角。对应边相等、对应角相等。 性质应用： · 关于某直线对称的两个图形全等 · 对称轴是对应点连线的垂直平分线 · 对应线段（或延长线）的交点在对称轴上 常见考法： 判断图形是否轴对称及对称轴数量、已知对称求对应点坐标或角度、利用性质证明线段或角相等。 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 【变式1-4】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，把长方形沿折叠，使点，分别落在点，的位置．若，则_________． 题型02 画轴对称的图形 【典例】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到，并写出每个顶点的坐标： 解题梳理 解题核心： 画对称点是基础，“垂直+等距”是准则。 画点的对称点步骤： · 过已知点作对称轴的垂线，标出垂足 · 延长垂线到另一侧，使垂足到新点的距离等于垂足到已知点的距离 · 新点即为对称点 画图形的对称图形步骤： · 确定原图形的所有关键点（顶点、端点、转折点） · 逐个画出各关键点的对称点 · 按原图形顺序连接各对称点 注意事项： 作垂线和对称点连线用虚线，图形轮廓用实线；对称轴上的点对称点是自身；画完可折叠检验。 【变式2-1】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【变式2-2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的四个顶点均在格点上． (1)画出与四边形关于直线对称的四边形； (2)在直线上作点，使得点到点，的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【变式2-4】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 题型03 线段的垂直平分线的性质、判定与作图方法 【典例】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 解题梳理 解题核心： 性质推线段相等，判定推点在中垂线上，二者互逆。 性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。用来证线段相等，无需证全等。 判定定理： 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。用来证点在中垂线上或证垂直平分。注意：需两个这样的点才能确定一条中垂线。 尺规作图： 分别以两端点为圆心，大于 线段长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即为中垂线。半径必须大于 线段长。 三角形外心： 三边中垂线交于一点（外心），到三顶点距离相等。锐角 在内部，直角 在斜边中点，钝角 在外部。 【变式3-1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【变式3-2】（25-26八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式3-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【变式3-4】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 题型04 等腰三角形的性质与判定 【典例】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 解题梳理 解题核心： 等边对等角，等角对等边；三线合一是利器。 性质： · 等边对等角：两腰相等 两底角相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合，知一得三 · 是轴对称图形，底边中垂线为对称轴 判定： · 定义法：两边相等 · 等角对等边：两角相等 对边相等（最常用） 分类讨论（必考点）： · 已知一角求其余角：分该角是顶角还是底角 · 已知两边求周长/第三边：分哪条是腰，用三边关系验证 · 一腰上的高：分锐角等腰（高在内）和钝角等腰（高在外） 辅助线： 有等腰三角形时，优先作底边上的高，利用三线合一得垂直、中点、等角。 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式4-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式4-4】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型05 等边三角形的性质与判定 【典例】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 解题梳理 解题核心： 三边相等、三角 、三线合一、三条对称轴。 性质： · 三边相等，三角都为 · 每条边上都有三线合一 · 有三条对称轴，外心内心重心垂心重合 判定： · 三边相等 · 三角相等 · 等腰三角形 + 一个 角（最常用， 角无论是顶角还是底角都成立） 含 角的直角三角形： 角所对直角边等于斜边的一半。用来求线段长度或证倍分关系。由等边三角形沿高对折派生。 【变式5-1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【变式5-2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式5-4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 题型06 轴对称综合问题 【典例】（24-25八年级上·北京·期中）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 解题梳理 解题核心： 轴对称性质 + 全等/等腰/中垂线综合运用，最短路径是经典题型。 最短路径问题（将军饮马）： · 模型：直线 同侧有两点 、，在 上求一点 使 最小 · 方法：作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ， 即为所求 · 依据：轴对称性质（）+ 两点之间线段最短 · 变式：两动点、角内一点到两边之和最小等，核心都是作对称转化为线段最短 折叠问题： · 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴 · 设未知数，利用勾股定理或相似列方程求解 · 关键：找到折叠后重合的部分，标出相等的线段和角 坐标系中的轴对称： · 关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标取反 · 关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标取反 · 关于直线 或 对称：利用中点在对称轴上、连线垂直于对称轴求解 综合证明题： · 轴对称 全等三角形 对应边/角相等 · 中垂线 线段相等 等腰三角形 等角 · 角平分线 + 平行线 等腰三角形 · 多个等腰/等边组合 手拉手全等 【变式6-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知:在中,,点为线段上一动点（不与､重合）． (1)如图1,若,交延长线于点,当,时,的面积为______; (2)如图2,若,是上的一点,且满足,当时,交于点时,判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若,点､分别为､边上的动点,当周长取最小值时,求的度数． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【变式6-4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 9．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，，都是等腰三角形，，，若，，则的度数是________． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为____________度． 11．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知，在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出向下平移5个单位长度得到的； (3)若点C的坐标为，请写出点C经过两次图形变换的对应点的坐标． 12．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 13．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【强化训练】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 5．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动______时，为直角三角形． 9．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为______，的长为______． 11．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 12．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 13．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 14．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． (1)当，时，直接写出的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称章末重难点复习 24知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解轴对称及其性质； 2.画轴对称的图形； 3.掌握线段的垂直平分线的性质、判定与作图方法； 4.掌握等腰三角形的性质与判定； 5.掌握等边三角形的性质与判定。 1. 轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2. 两个图形成轴对称的定义 把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。 3. 轴对称的性质 - 性质1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 - 性质2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 - 性质3：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 - 性质4：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 4. 对应点与对应线段 - 对应点：折叠后重合的点叫做对应点（对称点） - 对应线段：折叠后重合的线段叫做对应线段 - 对应角：折叠后重合的角叫做对应角 - 对应线段相等，对应角相等（由全等可得） 5. 画轴对称图形的基本原理 轴对称图形中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即对应点的连线被对称轴垂直平分。因此，画轴对称图形的关键是画出已知点关于对称轴的对应点。 6. 画一个点关于直线的对称点（基本方法） - 步骤一：过已知点 作对称轴 的垂线，垂足为 - 步骤二：延长 到点 ，使 - 步骤三：点 就是点 关于直线 的对称点 - 依据：对称轴垂直平分对应点的连线 7. 画一个图形关于直线的对称图形 - 步骤一：确定原图形的关键点（如顶点、端点、转折点） - 步骤二：分别画出每个关键点关于对称轴的对称点 - 步骤三：按照原图形的连接顺序，依次连接各对称点 - 步骤四：所得图形就是原图形关于该直线的轴对称图形 8. 画轴对称图形的注意事项 - 关键点要找全，尤其是复杂图形的所有转折点 - 作垂线时要用虚线，对称点连线也要用虚线 - 连接对称点时要用实线，与原图形线型一致 - 图形在对称轴上的点，其对称点就是它本身 - 画完后可沿对称轴折叠检验是否重合 9. 在网格中画轴对称图形 - 利用网格的格线作垂线，数格子确定对称点位置 - 点在格线上时，直接数到对称轴的距离，在另一侧等距离处取点 - 点不在格线上时，仍按“垂直+等距”原则确定对称点 10. 线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 11. 线段垂直平分线的性质定理 - 内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 - 几何语言： 直线 垂直平分 ，点 在 上， - 作用：证明两条线段相等，无需证全等 - 理解：线段垂直平分线上的所有点到线段两端距离都相等 12. 线段垂直平分线的判定定理 - 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 - 几何语言：， 点 在线段 的垂直平分线上 - 作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上，或证明某直线是线段的垂直平分线 - 注意：一个点不能确定一条直线，需要两个到线段两端距离相等的点才能确定垂直平分线 13. 性质定理与判定定理的关系 - 性质：点在垂直平分线上 到两端距离相等（由位置推线段相等） - 判定：到两端距离相等 点在垂直平分线上（由线段相等推位置） - 二者是互逆定理，条件和结论互换 14. 线段垂直平分线的尺规作图 - 步骤一：分别以线段的两个端点 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于两点 、 - 步骤二：作直线 - 步骤三：直线 就是线段 的垂直平分线 - 作图依据：SSS全等（连接 、、、，由半径相等得两组等边+公共边，证全等后得角相等，再由等腰三角形三线合一得垂直平分） - 注意：半径必须大于 ，否则两弧没有交点或只交于一点 15. 三角形三边的垂直平分线 - 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心 - 外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（） - 外心位置： - 锐角三角形：外心在三角形内部 - 直角三角形：外心在斜边的中点处 - 钝角三角形：外心在三角形外部 16. 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 17. 等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 - 内容：等腰三角形的两个底角相等 - 几何语言：， - 作用：由边相等推角相等 性质2：三线合一 - 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 - 几何语言：， 平分 （或 是 边上的中线/高），，， 平分 （三者同时成立） - 理解：等腰三角形中，只要知道一条线段是“顶角平分线”“底边中线”“底边高”中的任意一种，它就同时具备另外两种性质 性质3：对称性 - 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线（即顶角平分线/底边中线/底边高所在直线）是它的对称轴 - 等腰三角形只有一条对称轴 18. 等腰三角形的判定 判定1：定义法 - 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定2：等角对等边 - 内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 - 几何语言：， - 作用：由角相等推边相等，是判定等腰三角形最常用的方法 19. 等腰三角形中的分类讨论 - 已知等腰三角形的一个角，求另外两个角： - 若已知角是顶角 底角 - 若已知角是底角 另一底角相等，顶角 - 若未说明是顶角还是底角 分两种情况讨论，但要验证三角形内角和 - 已知等腰三角形的两边，求第三边或周长： - 分哪条是腰、哪条是底两种情况 - 等腰三角形一腰上的高的问题： - 钝角等腰三角形（顶角为钝角）：高在三角形外部 20. 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 21. 等边三角形与等腰三角形的关系 - 等边三角形是特殊的等腰三角形（底边和腰相等的等腰三角形） - 等腰三角形不一定是等边三角形 - 等边三角形具备等腰三角形的所有性质 22. 等边三角形的性质 性质1：三边相等 - 等边三角形的三条边都相等 - 几何语言： 是等边三角形， 性质2：三角相等且都为 - 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 - 几何语言： 是等边三角形， - 推导：由三边相等得三角相等（等边对等角），再由内角和 得每个角 性质3：三线合一（三条边都有） - 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一 - 等边三角形有三条这样的线段，它们交于一点 性质4：对称性 - 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 - 每条边的垂直平分线都是它的对称轴 - 三条对称轴交于一点（中心） 23. 等边三角形的判定 判定1：定义法 - 三条边都相等的三角形是等边三角形 判定2：三角相等法 - 三个角都相等的三角形是等边三角形 - 几何语言：， 是等边三角形 - 推导：三角相等 三边相等（等角对等边） 等边三角形 判定3：有一个角是 的等腰三角形法 - 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 - 几何语言：，（或 ）， 是等边三角形 - 分两种情况： - 若 角是顶角 两底角 ，三角都为 - 若 角是底角 另一底角也是 ，顶角 ，三角都为 24. 含 角的直角三角形的性质 - 内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 - 几何语言：在 中，，， - 推导：取斜边中点，连接直角顶点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合 角得等边三角形，从而证明 - 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 题型01 轴对称及其性质 【典例】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 解题梳理 解题核心： 抓住”沿直线折叠重合”的本质，利用对应点连线被对称轴垂直平分。 判断轴对称图形： 找一条直线，沿其折叠后直线两旁部分能重合即可。注意对称轴是直线，可能有一条、多条或无数条。 找对应元素： 折叠后重合的点是对应点，重合的边是对应边，重合的角是对应角。对应边相等、对应角相等。 性质应用： · 关于某直线对称的两个图形全等 · 对称轴是对应点连线的垂直平分线 · 对应线段（或延长线）的交点在对称轴上 常见考法： 判断图形是否轴对称及对称轴数量、已知对称求对应点坐标或角度、利用性质证明线段或角相等。 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，建立方程求解，转化为求代数式的值，求解即可； 【详解】解：∵点和关于轴对称， ，， 解得：， 则的值为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得到，由折叠对称性得到，，继而根据三角形内角和定理得到． 【详解】∵， ∴， ∵折叠后点落在上的点处， ∴，， ∴． 【变式1-4】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，把长方形沿折叠，使点，分别落在点，的位置．若，则_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得的度数，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 题型02 画轴对称的图形 【典例】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到，并写出每个顶点的坐标： 【答案】(1)． (2) ，， 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接，并写出点的坐标； （2）根据平移的规律求解即可． 【详解】（1）解：图略，． （2）解：由（1）可知：，， 把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到， ∴，，， 即，，． 图略. 解题梳理 解题核心： 画对称点是基础，“垂直+等距”是准则。 画点的对称点步骤： · 过已知点作对称轴的垂线，标出垂足 · 延长垂线到另一侧，使垂足到新点的距离等于垂足到已知点的距离 · 新点即为对称点 画图形的对称图形步骤： · 确定原图形的所有关键点（顶点、端点、转折点） · 逐个画出各关键点的对称点 · 按原图形顺序连接各对称点 注意事项： 作垂线和对称点连线用虚线，图形轮廓用实线；对称轴上的点对称点是自身；画完可折叠检验。 【变式2-1】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再由图象写出坐标即可； （2）作点关于对称点，连接，与轴相交于点，由，即可推出点为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-2】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的四个顶点均在格点上． (1)画出与四边形关于直线对称的四边形； (2)在直线上作点，使得点到点，的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)四边形如图所示： (2)点如图所示 【分析】（1）利用轴对称的性质作出四边形； （2）连接交直线于点，此时点到点，的距离之和最小． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 【变式2-4】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示， 为所求： ； (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出，再依次连接，即可作答． （2）设点P关于直线m对称的点的坐标为，运用轴对称的性质，进行列式，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设点P关于直线m对称的点的坐标为， ∵点为的内部一点，且直线m 上各点的横坐标都为1， ∴ ∴， ∴点的坐标为． 题型03 线段的垂直平分线的性质、判定与作图方法 【典例】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 解题梳理 解题核心： 性质推线段相等，判定推点在中垂线上，二者互逆。 性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。用来证线段相等，无需证全等。 判定定理： 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。用来证点在中垂线上或证垂直平分。注意：需两个这样的点才能确定一条中垂线。 尺规作图： 分别以两端点为圆心，大于 线段长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即为中垂线。半径必须大于 线段长。 三角形外心： 三边中垂线交于一点（外心），到三顶点距离相等。锐角 在内部，直角 在斜边中点，钝角 在外部。 【变式3-1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式3-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用尺规作图即可． （2）根据垂直平分线性质和三角形周长的差值计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-4】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 题型04 等腰三角形的性质与判定 【典例】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 解题梳理 解题核心： 等边对等角，等角对等边；三线合一是利器。 性质： · 等边对等角：两腰相等 两底角相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合，知一得三 · 是轴对称图形，底边中垂线为对称轴 判定： · 定义法：两边相等 · 等角对等边：两角相等 对边相等（最常用） 分类讨论（必考点）： · 已知一角求其余角：分该角是顶角还是底角 · 已知两边求周长/第三边：分哪条是腰，用三边关系验证 · 一腰上的高：分锐角等腰（高在内）和钝角等腰（高在外） 辅助线： 有等腰三角形时，优先作底边上的高，利用三线合一得垂直、中点、等角。 【变式4-1】（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在中，，点D是边上一点，，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】由可知，，为等腰三角形，设，则，又由可知，为等腰三角形，则，在中，用内角和定理列方程求解． 【详解】解：， ，， 设， 是的一个外角， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 【变式4-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式4-4】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2)∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型05 等边三角形的性质与判定 【典例】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 解题梳理 解题核心： 三边相等、三角 、三线合一、三条对称轴。 性质： · 三边相等，三角都为 · 每条边上都有三线合一 · 有三条对称轴，外心内心重心垂心重合 判定： · 三边相等 · 三角相等 · 等腰三角形 + 一个 角（最常用， 角无论是顶角还是底角都成立） 含 角的直角三角形： 角所对直角边等于斜边的一半。用来求线段长度或证倍分关系。由等边三角形沿高对折派生。 【变式5-1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【变式5-2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加后，为等边三角形．理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用证明； （2）由得出，进而得出，根据有一个角是60度的等腰三角形为等边三角形，可得添加的条件可以为． 【详解】（1）证明：和是的高， 和是直角三角形， 在和中， ； （2）解：添加后，为等边三角形．理由如下： ， ，即， ， 又， 为等边三角形． 题型06 轴对称综合问题 【典例】（24-25八年级上·北京·期中）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； ； (2) 解：， 证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接， 则有，， 又， ， 设， 则， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 根据角的和与差可得，把和的度数代入计算即可； 根据轴对称的性质可得，根据，等量代换可得； 在的延长线上截取，连接，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据，可证． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； 如下图所示，连接， ，， ， 又， ， 故答案为：； （2）略 解题梳理 解题核心： 轴对称性质 + 全等/等腰/中垂线综合运用，最短路径是经典题型。 最短路径问题（将军饮马）： · 模型：直线 同侧有两点 、，在 上求一点 使 最小 · 方法：作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ， 即为所求 · 依据：轴对称性质（）+ 两点之间线段最短 · 变式：两动点、角内一点到两边之和最小等，核心都是作对称转化为线段最短 折叠问题： · 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴 · 设未知数，利用勾股定理或相似列方程求解 · 关键：找到折叠后重合的部分，标出相等的线段和角 坐标系中的轴对称： · 关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标取反 · 关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标取反 · 关于直线 或 对称：利用中点在对称轴上、连线垂直于对称轴求解 综合证明题： · 轴对称 全等三角形 对应边/角相等 · 中垂线 线段相等 等腰三角形 等角 · 角平分线 + 平行线 等腰三角形 · 多个等腰/等边组合 手拉手全等 【变式6-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1) 解：图形如图所示： (2) 证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知:在中,,点为线段上一动点（不与､重合）． (1)如图1,若,交延长线于点,当,时,的面积为______; (2)如图2,若,是上的一点,且满足,当时,交于点时,判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若,点､分别为､边上的动点,当周长取最小值时,求的度数． 【答案】(1) (2) 判断:, 证明:如图4中,在线段上取一点,使得,连接, ∵,, ∴是等腰三角形,即, ∵,, ∴, 又∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴． (3) 【分析】（1）根据题意利用全等三角形判定及性质,再代入三角形面积公式,即可算出结果; （2）如图在线段上取一点,使得,连接利用全等三角形的判定及性质得到,继而得出结论; （3）如图,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小,继而利用三角形内角和定理及垂直平分线性质可得结论． 【详解】（1）解:∵,,交延长线于点, ∴, ∴,, 在和中, , ∴, ∵,, ∴,, ∴面积为:． （2）略 （3）解:如图5,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小, ∵,,, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形性质及判定,三角形面积公式,等腰三角形性质及判定,三角形内角和定理,轴对称,垂直平分线性质,正确做出辅助线是解出本题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3) 如图所示，点P即为所求． AI 【分析】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． （1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式6-4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 【答案】(1) 证明：设， ， ， 又， 又， ， (2) 证明：连接，设，如图，   点与点D关于对称， ，， 又 ， ， ， 又， (3)8 【分析】（1）根据等边对等角、角度互余和等角对等边即可求证； （2）利用对称性质证明，再利用三角形性内角和定理即可证明； （3）过点B作的平行线，结合可证明，得到对应边相等，再证得，利用全等形性质的边相等即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点B作的平行线，交延长线于T，如图，   ， 又， ， ∵，，， ∴ ，则点E是的中点， ． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 5．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形形状． 【详解】解：在等腰，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ， ， 在中，， 又， ， ， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】8 【分析】连接，先求出的长，再得出，进而可得当三点共线时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得， ∵直线垂直平分， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， ∴周长的最小值为． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a和b的值，再计算即可． 【详解】解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 9．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，，都是等腰三角形，，，若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出，，再根据三角形内角和定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为____________度． 【答案】 【分析】由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）已知，在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出向下平移5个单位长度得到的； (3)若点C的坐标为，请写出点C经过两次图形变换的对应点的坐标． 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)解：如图，为所求； (3)解：点的坐标为． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）分别作出点，，的对应点，，即可； （3）根据所画图形，直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点；连接，与直线的交点即为所求的点；此时，根据“两点之间线段最短”，取得最小值． （2）将点沿垂直河流的方向向下平移2个单位，得到点，连接与，与河流下沿的交点即为天桥的一端；将点沿垂直河流的方向向上平移2个单位，得到点；连接与，与河流上沿的交点即为天桥的一端；则即为天桥位置． 【详解】（1）解：如图，点为所求．（作法不唯一） （2）解：如图，线段为所求． 14．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点、，交的延长线于点；（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：为等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)如图，直线即为所求： (2)证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形 (3) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径在线段两侧画弧，两组弧分别相交于两点，过这两个交点作直线，该直线就是边的垂直平分线，它与边交于点，与边交于点，与的延长线交于点； （2）由垂直平分得，结合直角三角形两锐角互余求出，依据有一个角为的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）连接，由垂直平分线性质得，推出平分，利用角平分线性质得，再推导得，在中由角性质得，最后由即可算出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【答案】(1)①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【详解】（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，因为点是的中点，可得，已知，则题目可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 3．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数． 【详解】解：设网格小正方形的边长为， 由图可知，点、在同一条竖直格线上，且， 网格横向有个格，纵向有个格， 分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ②当时，点在以为圆心，为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有 个格点，除去与、共线的个点（即 中点），剩余个点满足条件， 综上所述，满足条件的点的个数是． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 5．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，，可证明当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长；证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为3． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，， 由对称性可知，，，， 的周长， ∵点P为定点， ∴点是定点， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长； ，， ， ， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ∴的周长的最小值为3． 6．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     【答案】 【分析】过点P作，交的延长线于点E，设，则，，证明为等边三角形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，交的延长线于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴可设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动______时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，先证明是等边三角形，则有，设运动时间为，当，点的运动路程为，的运动路程为，则当点在上，在上运动时，此时，然后分若，若，两种情况分析；当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形；从而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 设运动时间为，当， ∴点的运动路程为，的运动路程为， 当点在上，在上运动时，此时， 如图，若， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图，若， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形； 综上可得：运动或时，为直角三角形， 故答案为：或． 9．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 8 【分析】先根据等边三角形的性质证明，再结合三角形的外角性质求解的度数；在线段上取点，使得，连接，证明，然后导角证明即可． 【详解】解：①如图， ∵是正三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②在线段上取点，使得，连接， ∵，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为______，的长为______． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上截取，连接，则是线段的垂直平分线，由此得，则，由此可证明，进而得，据此依据“”判定得，再根据得，再由三角形外角性质证明，继而得，则，然后根据，，得，由此得，最后根据“”可得的长． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4；6． 11．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】先根据等腰的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用表示出三个内角的度数，再分两种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为或． 12．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 13．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)这个命题不成立，理由如下： 如图，在和中，，，，无法判定和全等， ∴不能得到与相等． 【分析】（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得； （2）同（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得，再利用已知条件，，求得的长； （3）边边角相等无法判定两个三角形全等，从而无法证得与相等． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． （3）略 14．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 【答案】(1)，60 (2) 【分析】（1）根据“”，可得，即可得到，，再根据三角形外角的性质，可得，从而可得； （2）同（1）可得，，根据等量代换，得，再根据中线的定义，可得，从而，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与相交于点， 和均为等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点，，，在同一直线上， ， ， ，， ， 为的中线， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 则的度数为． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． (1)当，时，直接写出的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，所以． 因为，，所以是等边三角形， 所以， 所以， ， 所以，， 所以，． 因为D是边的中点，所以， 所以，在中，由知， 所以，． (3) ， 证明：如图，以为边在的右侧作等边三角形，连接， 延长至点F，使，连接． ∴，． ∵，， ∴是等边三角形． ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∵D是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，（即）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，再由即可求解； （2）由题可知是等边三角形，进而得到，然后根据直角三角形中所对的边等于斜边一半即可求解； （3）以为边在的右侧作等边三角形，连接，延长至点F，使，连接，可得是等边三角形，再证、、，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ； （2）略 （3）略 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $