第十八章 分式章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学分式章末复习讲义通过框架图系统梳理11个核心知识点，涵盖分式定义、基本性质、运算、整数指数幂、分式方程等，用对比表格呈现易混点如分式与整式方程区别，思维导图展示运算顺序与步骤，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于7类分层题型设计，基础题如分式性质判断培养运算能力，材料阅读题（假分式拆分）发展创新意识，实际应用题（工程问题列方程）强化模型意识。每个题型配典例、解题梳理及变式训练，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准分层教学。

第十八章 分式章末重难点复习 11知识点+7题型+巩固训练+强化训练 1.理解分式的定义，掌握分式的基本性质； 2.熟练掌握分式的运算（加法、减法、乘法、除法、混合运算）； 3.熟练掌握分式化简求值； 4.掌握整数指数幂的运算； 5.熟练掌握解分式方程的方法； 6.熟练利用分式方程解决实际应用问题； 1.分式及其基本性质 （1）分式的定义 形如 （、是整式，中含有字母且）的式子叫做分式。叫分子，叫分母。 （2）分式有意义的条件 分母不为0，即。 （3）分式值为0的条件 分子为0且分母不为0，即且。 （4）分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 - （） （5）分式的符号法则 - 分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 - （6）约分 - 把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 - 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 - 约分关键：确定分子分母的公因式（系数最大公约数+相同因式最低次幂） （7）通分 - 把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式，叫做通分 - 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积（系数取最小公倍数） 2.分式的乘法 法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式： 步骤： - 第一步：分子相乘作分子，分母相乘作分母 - 第二步：约去分子分母的公因式，化为最简分式 - 技巧：先约分再相乘，可简化计算 注意： 运算结果必须是最简分式或整式。 3.分式的除法 法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式： 步骤： - 第一步：将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒） - 第二步：按分式乘法法则计算 - 第三步：约分化为最简 注意： 除式不能为0；转化后注意符号。 4.分式的加法 （1）同分母分式相加 - 法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加 - 公式： （2）异分母分式相加 - 法则：先通分，变为同分母分式，再相加 - 公式： （3）步骤： - 确定最简公分母 - 通分（各分式分子分母同乘适当因式） - 按同分母加法法则计算 - 约分化为最简 5.分式的减法 （1）同分母分式相减 - 法则：分母不变，分子相减 - 公式： （2） 异分母分式相减 - 法则：先通分，变为同分母分式，再相减 - 公式： 注意： 分子相减时，减式的分子是多项式时要加括号，去括号时注意变号。 6.分式的混合运算与化简求值 （1）运算顺序： - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的 - 同级运算从左到右 （2）解题步骤： - 第一步：观察式子结构，确定运算顺序 - 第二步：能约分的先约分，能简便运算的用运算律 - 第三步：按顺序进行乘除、加减运算 - 第四步：结果化为最简分式或整式 - 第五步：化简求值题，代入数值计算（注意使原分式有意义的取值） （3）常用技巧： - 除法统一为乘法后约分 - 异分母加减先通分 - 适当运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化 - 结果必须检验是否最简 7.整数指数幂 （1）正整数指数幂的运算性质 - - - - （） - （） （2）零指数幂 - （） （3）负整数指数幂 - （，为正整数） - 即：任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数 （4）整数指数幂的统一性质 - 引入负指数后，上述运算性质对全体整数指数都成立 - （、为任意整数，） - 除法可统一为乘法： （5）科学记数法 - 绝对值大于10的数：（，为正整数） - 绝对值小于1的数：（，为正整数，等于原数第一个非零数字前0的个数） - 示例： 8.分式方程的定义 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 判断标准： - 是方程（含等号） - 分母中含有未知数 与整式方程的区别： - 整式方程：分母不含未知数 - 分式方程：分母含未知数 - 关键看分母中是否有未知数，不是看是否有分母 9.解分式方程 （1）基本思路： 去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 （2）解题步骤： - 第一步：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积） - 第二步：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程 - 第三步：解这个整式方程 - 第四步：检验——将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，必须舍去 - 第五步：写出原方程的解 （3）检验的必要性： 去分母时方程两边同乘了含未知数的整式，可能扩大未知数的取值范围，产生增根，因此必须检验。 （4）检验方法： - 代入最简公分母检验（最常用） - 代入原方程检验（更直接） 10.分式方程无解与增根问题 （1）增根的定义 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使原分式方程的分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。 （2）增根的特征 - 增根是去分母后所得整式方程的根 - 增根使原分式方程的分母为0（最简公分母为0） - 增根不是原分式方程的根，必须舍去 （3）分式方程无解的两种情况 - 情况一：去分母后的整式方程无解 原分式方程无解 - 情况二：整式方程有解，但该解是增根（使最简公分母为0），全部解都是增根 原分式方程无解 （4）已知增根求参数 - 第一步：确定增根的值（使最简公分母为0的未知数的值） - 第二步：将分式方程去分母化为整式方程 - 第三步：将增根代入整式方程，求出参数的值 （5）已知无解求参数 - 分两种情况讨论： - 整式方程本身无解（如非零常数） - 整式方程的解都是增根 - 综合两种情况确定参数 易错提醒： 增根无解，有增根时可能还有其他有效根；无解是指没有任何有效根。 11.分式方程的实际应用 （1）解题步骤： - 第一步：审题，弄清题意，找出已知量和未知量 - 第二步：设未知数（直接设或间接设） - 第三步：找等量关系，根据题意列出分式方程 - 第四步：解分式方程 - 第五步：检验——既要检验是否为增根（数学检验），又要检验是否符合实际意义（实际检验） - 第六步：写出答案 （2）常见题型： - 行程问题：路程=速度时间，常涉及顺水/逆水、提速/减速 - 工程问题：工作总量=工作效率工作时间，常涉及合作完成 - 销售问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本 - 浓度问题：溶质=溶液浓度 - 增长率问题：增长后量=原量增长率 （3）列方程关键： 抓住题目中的等量关系，如”时间差”“工作量和为1”“利润相等”等。 （4）双检验： 分式方程应用题必须检验——① 是否为增根；② 是否符合实际意义（如时间、速度不能为负，人数为正整数等）。 题型01 分式及其基本性质 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 解题梳理 解题核心： 分母不为0是前提，基本性质是运算基础。 分式有意义/无意义： · 有意义：分母≠0，解不等式得字母取值范围 · 无意义：分母=0，解方程得字母值 分式值为0： · 必须同时满足：分子=0 且 分母≠0 · 先解方程求分子为0的值，再代入分母检验排除使分母为0的值 分式基本性质应用： · 约分：确定分子分母公因式（系数最大公约数+相同因式最低次幂），约去 · 通分：确定最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积，系数取最小公倍数） · 符号变换：分子、分母、分式本身三者符号，改变任意两个值不变 【变式1-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 【变式1-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）若代数式的值等于0，则_________． 【答案】 【分析】由分式值为0得出分式分子为0，且分母不为0，列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 【变式1-4】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 题型02 分式的混合运算与化简求值 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】将除法转化为乘法，分解因式后约分，计算分式减法，再代入的值计算． 【详解】 解： 原式 ． 当时， 原式． 解题梳理 解题核心： 严格按运算顺序，能约分先约分，结果化为最简。 运算顺序： · 先乘方，再乘除，最后加减 · 有括号先算括号内 · 同级从左到右 解题步骤： · 第一步：观察结构，确定运算顺序 · 第二步：除法统一为乘法（除式分子分母颠倒） · 第三步：分子分母因式分解，能约分的先约分 · 第四步：乘除运算后，进行加减（异分母先通分） · 第五步：合并后约分化为最简分式 · 第六步：化简求值题，代入数值计算 常用技巧： · 先因式分解再约分，简化计算 · 适当运用运算律（分配律等） · 加减时分子是多项式要加括号，去括号注意变号 · 求值时注意代入的值不能使原分式分母为0 易错提醒： 运算顺序错误；去括号符号错误；通分时漏乘某项；结果未化为最简。 【变式2-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时，原式． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【分析】根据整式的乘法、因式分解和分式的运算法则解题． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式2-3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 值为 【详解】（1）解：原式 ， 将代入得， 原式． （2）解：由得 ， 因此， 由得， ∴， ∴． 【变式2-4】（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）化简求值 (1)先化简，再求值：，其中x满足； (2)先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】(1)， (2)；当时，值为1；当时，值为3 【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出x的值代入计算即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 解，得：， 原式； （2）解： ， 且， 且， 又， 整数x的值可以取0或1， 当时，原式； 当时，原式． 题型03 以分式运算为背景的材料阅读类问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 【答案】(1)①④ (2)3； (3) (4)最大值为，无最小值 【分析】（1）根据题中所给新定义进行排除答案即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）令，则有，然后进行求解即可； （4）由可令，则，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：属于“假分式”的是①④； （2）解：∵ ， ∵， ∴当时，代数式有最大值； （3）解：由可令，则有， ∴原式， ∴； （4）解：由可令， ∴原式， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，无最小值． 解题梳理 解题核心： 读懂材料中的新方法/新规律，模仿迁移应用。 常见类型： · 新定义运算：定义一种新的分式运算规则，按规则计算 · 裂项相消法：材料给出如 的裂项公式，要求求和 · 规律探究：给出一组分式算式，找规律，用含n的式子表示并验证 · 方法迁移：材料介绍一种解题方法（如倒数法、换元法），要求用该方法解题 解题步骤： · 第一步：仔细阅读材料，理解新定义、新公式或新方法 · 第二步：分析材料中的示例，掌握使用方法和关键步骤 · 第三步：将方法迁移到问题中，模仿示例进行计算 · 第四步：对于规律探究题，先归纳猜想，再用分式运算验证 【变式3-1】（25-26八年级下·广东茂名·期末）【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【答案】(1) (2)解：①，； ② ． ，， ， ， ∴食堂采购员、的采购方式中，采购员的方式平均单价更低． 【分析】（1）作差法比较大小即可； （2）①用总价除以数量，求出平均单价即可；②作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：①根据题意，食堂采购员两次采购大米的平均单价为； 食堂采购员两次采购大米的平均单价为． ②略 【变式3-2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． (1)现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 (2)将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 (3)在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 【答案】(1) (2)解：新的不等式：，证明如下： ， ，， ，， ∴， ∴，即． (3)证明：由（2）可得：，，，， ∴， 即． ， ， ． 【分析】（1）根据盐水会变咸可得盐水浓度变大，据此解答即可； （2）先计算，再结合，进行判断即可； （3）得出，，，，据此即可得证． 【详解】（1）解：∵生活经验告诉我们，盐水会变咸， ∴蒸发掉克纯水，盐水浓度变大， ∴． （2）解：略． （3）证明：略． 【变式3-3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为6，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得代数式解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原代数式变形为，由取最小值，即可确定取何值时， 取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40， ∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 【变式3-4】（25-26八年级上·北京·阶段检测）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 题型04 整数指数幂 【典例】（25-26八年级下·海南海口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、负整数指数幂的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、，∴D正确． 解题梳理 解题核心： 熟记运算性质，负指数化为倒数，零指数为1。 核心公式： · · · · （） · （） · （） 常见考法： · 直接计算：按运算性质化简，负指数化为正指数形式 · 科学记数法：绝对值小于1的数表示为 （），n等于第一个非零数字前0的个数 · 已知幂的值求代数式：逆用运算性质，整体代入 解题技巧： · 负指数先转化为正指数（取倒数） · 混合运算先确定顺序，系数与幂分别运算 · 结果一般化为正指数形式 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A： ∵， ∴选项A运算正确； 对选项B： ∵， ∴选项B运算错误； 对选项C： ∵同底数幂相乘，底数不变指数相加，， ∴选项C运算错误； 对选项D： ∵， ∴选项D运算错误． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，先分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ，，， ， 故答案选：D． 【变式4-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若则______． 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-4】（25-26八年级下·河南周口·期中）化简：________． 【答案】（或） 【详解】解：． 题型05 解分式方程 【典例】（25-26八年级上·陕西安康·期末）解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验，时，， ∴分式方程的解为； （2）解：， 两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 解题梳理 解题核心： 去分母化整式方程，解后必须检验。 解题步骤： · 第一步：找最简公分母（各分母因式分解后，所有因式最高次幂的积） · 第二步：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程 · 第三步：解整式方程 · 第四步：检验——将解代入最简公分母，不为0则是原方程的解，为0则是增根舍去 · 第五步：写出原方程的解 常用技巧： · 分母能因式分解的先分解，便于找最简公分母 · 去分母时每一项都要乘最简公分母，包括常数项 · 分子是多项式时，去分母后要加括号 检验的必要性： 去分母时乘了含未知数的整式，可能扩大取值范围产生增根，必须检验。 【变式5-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，是原方程的解． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1） 解： 方程两边同乘，得， 整理得， 解得：； 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘，得， 展开整理得， 解得； 检验：当时，， 故是原方程的增根，舍去， 故原方程无解． 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式5-4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型06 分式方程无解问题与增根问题 【典例】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程有增根时，增根会使原方程分母为零，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：，即增根为， 去分母得：， 把代入得，， 解得：． 解题梳理 解题核心： 增根使分母为0，无解分两种情况。 增根问题： · 增根特征：是去分母后整式方程的根，同时使最简公分母为0 · 已知增根求参数： 第一步：确定增根的值（使最简公分母为0的x值） 第二步：去分母化为整式方程 第三步：将增根代入整式方程，求参数 无解问题： · 分式方程无解有两种情况： 情况一：去分母后的整式方程本身无解（如 非零常数） 情况二：整式方程有解，但所有解都是增根（使最简公分母为0） · 已知无解求参数：需分两种情况讨论，综合确定参数值 增根与无解的区别： · 有增根≠无解：有增根时可能还有其他有效根 · 无解：没有任何有效根 · 增根是无解的一种可能原因，但不是唯一原因 解题步骤： · 第一步：去分母化为整式方程（含参数） · 第二步：分析整式方程的解的情况 · 第三步：若整式方程有解，判断是否为增根 · 第四步：综合”整式方程无解”和”解为增根”两种情况 【变式6-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分类讨论，分别得出答案即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， ． 当时，即，整式方程无解，故原分式方程也无解； 当时，， 故方程的解为增根时，原分式方程无解， 即或， 或， 若，此方程无解； 若，解得，， 综上，或． 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先把分式方程去分母得到整式方程，然后根据方程有增根的问题进行求解即可． 【详解】解：由方程去分母得：， ∵该方程有增根， ∴，即， ∴把代入得：， 解得：． 【变式6-4】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 题型07 分式方程的实际应用问题 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 解题梳理 解题核心： 找准等量关系列方程，解后双检验。 解题步骤： · 第一步：审题，弄清已知量和未知量 · 第二步：设未知数（直接设或间接设） · 第三步：找等量关系，列分式方程 · 第四步：解分式方程 · 第五步：双检验——① 是否为增根（数学检验）；② 是否符合实际意义（实际检验） · 第六步：写出答案 常见题型与等量关系： · 行程问题：路程=速度×时间；常用”时间差”或”时间和”列方程 顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速 · 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；常把总工作量看作1，合作效率=效率和 · 销售问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100% · 浓度问题：溶质=溶液×浓度；混合前后溶质总量不变 · 增长率问题：增长后=原量×(1+增长率) 列方程关键： 抓住题目中的关键词，如”比……快/慢”“提前/推迟”“合作完成”“利润相等”等，建立等量关系。 双检验： · 数学检验：代入最简公分母，不为0才是有效解 · 实际检验：解必须符合实际意义（如时间、速度、人数为正，人数为整数等） 【变式7-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 【答案】(1) 10个零件 (2) 180个零件 【分析】（1）以甲、乙加工零件的时间相等为等量关系，设未知数列方程求解； （2）结合第一问的加工效率，根据合格率的定义列方程求解总加工数. 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 【变式7-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路100米 【分析】设甲工程队每天修路x米，根据两工程队修建这段公路共用50天，列方程解答． 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 【变式7-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【答案】(1)①，；②元； (2)店长的说法是对的，理由是： 设八年级学生总数为人， 则， 解得， 检验当时，， ∴是分式方程的解； ， 解得， ∴不符合题意； ∴店长的说法是对的 【分析】（1）①根据人数和钱数列式即可；②利用分式的减法进行解答即可； （2）设八年级学生总数为人，根据题意列方程并解方程得到，再列不等式组求出，则不符合题意，即可得到结论． 【详解】（1）解：若小明所在学校八年级的学生总数是a人， ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②根据题意可得，， 即一支铅笔的零售价比批发价多元； （2）略 【变式7-4】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； (1)请你补全以上方法的过程； (2)请你列出方法的方程并解出该方程； (3)学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） 【答案】(1)英雄故事类书籍的单价为元；英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量； (2)解：所列方程为； 解得， 经检验是原方程的解； ∴，， 答：英雄故事类书籍单价为元，抗战纪实类书籍单价为元． (3)解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为，则该根为增根，需舍去．（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：设英雄故事类书籍的单价为元； 等量关系：英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量本； 可列方程为． （2）略 （3）略 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 去分母得，步骤①正确. ∵ 去括号得， ∴ 所得结果与步骤②不符，步骤②为首次出错的步骤. 2．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）若，则的值是（     ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用已知等式将三次项降次，代入分式化简求值． 【详解】∵， ∴， 则． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先求出顺流、逆流的实际航速，再根据时间相等的等量关系列方程． 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．3 B． C．0 D．任意实数 【答案】A 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程有增根的条件是未知数的值使得分母为0建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 6．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【分析】设改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨，根据“20吨水改造后比原来多用5天”的等量关系列分式方程求解即可； 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再代入的关系求值． 【详解】解： ，， ， 原式． 8．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算的结果是________． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，再对括号外分式的分子分母分别因式分解，最后将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，得到最简结果． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级上·四川广安·阶段检测）当______时，分式的值等于零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解： 去分母，得， 解得． 检验：当时，． ∴原分式方程的解为． 12．（25-26八年级下·江西吉安·期末）按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 … (1)上面第二步计算中，括号里的变形是______，其依据是______． (2)上面的运算过程中第_____步出现了错误，错误原因是______．请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)通分；分式的基本性质 (2) 三，第三步错误原因为去括号未变号． 完整的解答过程 【分析】（）根据分式的基本性质填写即可． （）结合分式混合运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的；说明各步骤错误原因，再展示正确完整的运算过程． 【详解】（1）解：第二步括号内将异分母分式变形为同分母分式， 这个变形是通分，依据是分式的基本性质； （2）略 13．（25-26八年级上·新疆博尔塔拉·阶段检测）某商场计划购进一批、两种型号的体温测量仪器，每台种仪器价格比每台种仪器价格多60元，花9100元购买种仪器和花万元购买种仪器的数量相同． (1)求、两种仪器每台各多少元？ (2)根据销售情况，需要购进、两种仪器共120台，总费用不超过万元，求种仪器至少要购买多少台？ 【答案】(1)每台种仪器140元，每台种仪器200元． (2)种仪器至少要购买100台． 【分析】（1）根据题意设每台种仪器元，可以列出相应的分式方程，从而可以求得、两种仪器每台各多少元，注意分式方程要检验； （2）根据题意设购买种仪器台，可以得到相应的不等式，从而可以得到种仪器至少要购买多少台． 【详解】（1）解：设每台种仪器元，则每台种仪器元， 万元元， 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． ． 答：每台种仪器140元，每台种仪器200元． （2）解：万元元， 设购买种仪器台， 由题意得， 解得． 答：种仪器至少要购买100台． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简：，再请你在、0、1、2这四个数中选取一个合适的的取值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】根据分式的运算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 解得且且， ∴只能取， 当时，原式． 15．（25-26八年级上·山西大同·期末）小明同学计算的过程如下： 解：原式 第一步   第二步                     第三步                 第四步 ．                     第五步 (1)小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） (2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． (3)请你写出正确的答案_______． 【答案】(1)因式分解 (2)三，去括号时，第二项没有变号 (3) 【分析】（1）根据因式分解的定义，判断即可； （2）第三步去括号时，出现错误； （3）通分后进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，小明同学化简第一步用到的知识是因式分解； （2）解：由题意得，化简过程中第三步出现错误，出现错误的原因是去括号时第二项没有变号； （3）解： ． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元简化表达式，利用作商比较法结合因式分解判断符号，即可比较和的大小． 【详解】解：设 ，可得 则 ， ∵ ，计算 得 展开分子得 展开分母得 分子减分母得 ∵ ，∴ ，即 ∴ ∴ ． 2．（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将分式的分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，可判断①；根据分式值为需满足分子为且分母不为，可判断②；将分式方程去分母整理，根据增根使原分式方程的最简公分母等于0，可判断③；分式方程无解分两种情况：情况1：整式方程无解；情况2：整式方程有解，但解为增根，可判断④． 【详解】解：①∵，分子分母有公因式，可约分， ∴不是最简分式，①错误； ②分式的值为需满足分子为且分母不为， ，且， 解得：，②正确； ③对方程， 两边同乘去分母得：， 整理得， ∵方程有增根， 增根满足，即， 把代入整式方程得：， 解得，③正确. ④将整理得， 分式方程无解分两种情况： 情况1：整式方程无解，此时，即，此时，方程无解； 情况2：整式方程有解，但解为增根，由③可知，，方程也无解， ∴的值为或，④错误， 综上，正确的说法共个． 3．（25-26八年级下·重庆垫江·期末）对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（     ）． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与绝对值的性质，按照分式运算法则对三个说法逐一验证即可． 【详解】验证①：对， 化简： 原式=， ， 当即时，原式， ①错误； 验证②：构造“绝对和差操作”计算： ， 0是常数，因此至少存在一种操作得到常数结果，②正确； 验证③：5个分式，每个分式有2种符号选择，总共有种操作； 对任意一种操作，将所有符号同时取反得到的新操作与原操作结果相同， 必然存在重复结果，因此化简后不可能有32种不同结果，③正确， 综上，正确的说法是②③． 4．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据递推公式找出数列的循环周期，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：首先根据递推公式推导数列周期： ∵，， ∴， ， ， ， ∴这列数每个一循环， 验证①：当时，， ，①正确； 验证②：， 两边平方得， 展开得， 整理得，②正确； 验证③：计算一个周期的乘积： ，即每项乘积为， ， ，③正确； 综上，①②③都正确，正确个数为． 5．（25-26八年级下·重庆大渡口·期末）已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法： ①若，则； ②若方程的解为，则； ③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个． 其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对三个说法逐一计算验证，结合整式乘法、分式方程性质、分式化简与因数概念判断正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①计算， ， ，， 解得，，故①正确． ②对分式方程， 两边同乘（）得： ， 整理得， ∴， 把代入，得 ， 解得， 检验：当，时，，分母为0，是增根，不是原方程的解，故②错误． ③∵，， ， 对任意，分式的值为整数，为整数， 是的整数因数，的因数为，共8个，对应8个符合要求的整数，故③正确． 综上，正确的说法共2个． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________ 【答案】 【分析】先根据已知递推关系计算前几项代数式的值，观察得到这组代数式的循环周期，再计算2025除以周期的结果，根据循环规律得到的值． 【详解】解：已知，根据题意依次计算得： ， ， ， 因此可得这组代数式的循环周期为3． ，即2025能被3整除， ． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 9．（25-26七年级下·广东珠海·阶段检测）艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 【答案】 【分析】设学校预定总资金为元，可得一等奖总价为，根据第一次购买资金比设第一次一、二、三等奖资金分别为，，，根据一等奖总资金占比列方程求出与的关系，再设第二次购买二等奖资金为元，根据二、三等奖总价之比列方程求出，进而得到还需购买的二、三等奖资金比． 【详解】解：设学校预定总资金为元，则预定一等奖总价为元， 设第一次购买一、二、三等奖奖品的资金分别为元，元，元， 则第一次共花费资金元，余下资金为元， 第二次购买一等奖的资金为元， 因此一等奖总资金满足：， 整理得， 解得 ， 第二次用于购买二、三等奖的资金总和为：元， 设第二次还需购买二等奖的资金为元，则购买三等奖的资金为元， 根据预定二、三等奖总价之比为，可得：， 交叉相乘得： ， 整理得：， 解得， 则第二次购买三等奖的资金为， 因此还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）求证：． 【答案】证明：∵ ， ， ， ∴ 左边， ∴ 左边右边，等式成立． 【分析】把左边进行拆分后即可得到左边右边． 【详解】略 12．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论． 现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为． 实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为：． 实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为：________． (1)写出实验二中的不等式：________，并证明该不等式的正确性； (2)请运用以上的结论，完成以下证明：若a，b，c是三边的长，求证：． 【答案】(1)解：； 证明：∵ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． (2)证明：∵是三边的长， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】（1）按照实验二的结论：盐水更咸了，可以得出不等式，通过作差方法即可证明该不等式； （2）利用第一问的不等式，分别放缩三角形三边关系的分式，然后将三个不等式合为一个不等式，化简即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②由（2）①可得，根据和的值均为正整数求出x的值即可求出A的值． 【详解】（1）解：， ∴分式是的“4差分式”； （2）解：①∵分式是分式的“3差分式”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵和的值均为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 15．（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 【答案】(1)不是的“友好分式”，计算如下： ， ∵， ∴C不是D的“友好分式”． (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断； （2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵P是Q的“友好分式”， ∴， ∴， ∴，化简得：， ∴， ∵有意义， ∴， ∵是整数， ∴的值为、， ∴或2或或3， ∵， ∴或2或3， ∴所有符合条件的的值之和为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式章末重难点复习 11知识点+7题型+巩固训练+强化训练 1.理解分式的定义，掌握分式的基本性质； 2.熟练掌握分式的运算（加法、减法、乘法、除法、混合运算）； 3.熟练掌握分式化简求值； 4.掌握整数指数幂的运算； 5.熟练掌握解分式方程的方法； 6.熟练利用分式方程解决实际应用问题； 1.分式及其基本性质 （1）分式的定义 形如 （、是整式，中含有字母且）的式子叫做分式。叫分子，叫分母。 （2）分式有意义的条件 分母不为0，即。 （3）分式值为0的条件 分子为0且分母不为0，即且。 （4）分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 - （） （5）分式的符号法则 - 分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 - （6）约分 - 把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 - 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 - 约分关键：确定分子分母的公因式（系数最大公约数+相同因式最低次幂） （7）通分 - 把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式，叫做通分 - 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积（系数取最小公倍数） 2.分式的乘法 法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式： 步骤： - 第一步：分子相乘作分子，分母相乘作分母 - 第二步：约去分子分母的公因式，化为最简分式 - 技巧：先约分再相乘，可简化计算 注意： 运算结果必须是最简分式或整式。 3.分式的除法 法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式： 步骤： - 第一步：将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒） - 第二步：按分式乘法法则计算 - 第三步：约分化为最简 注意： 除式不能为0；转化后注意符号。 4.分式的加法 （1）同分母分式相加 - 法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加 - 公式： （2）异分母分式相加 - 法则：先通分，变为同分母分式，再相加 - 公式： （3）步骤： - 确定最简公分母 - 通分（各分式分子分母同乘适当因式） - 按同分母加法法则计算 - 约分化为最简 5.分式的减法 （1）同分母分式相减 - 法则：分母不变，分子相减 - 公式： （2） 异分母分式相减 - 法则：先通分，变为同分母分式，再相减 - 公式： 注意： 分子相减时，减式的分子是多项式时要加括号，去括号时注意变号。 6.分式的混合运算与化简求值 （1）运算顺序： - 先乘方，再乘除，最后加减 - 有括号先算括号内的 - 同级运算从左到右 （2）解题步骤： - 第一步：观察式子结构，确定运算顺序 - 第二步：能约分的先约分，能简便运算的用运算律 - 第三步：按顺序进行乘除、加减运算 - 第四步：结果化为最简分式或整式 - 第五步：化简求值题，代入数值计算（注意使原分式有意义的取值） （3）常用技巧： - 除法统一为乘法后约分 - 异分母加减先通分 - 适当运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化 - 结果必须检验是否最简 7.整数指数幂 （1）正整数指数幂的运算性质 - - - - （） - （） （2）零指数幂 - （） （3）负整数指数幂 - （，为正整数） - 即：任何不等于0的数的次幂，等于这个数的次幂的倒数 （4）整数指数幂的统一性质 - 引入负指数后，上述运算性质对全体整数指数都成立 - （、为任意整数，） - 除法可统一为乘法： （5）科学记数法 - 绝对值大于10的数：（，为正整数） - 绝对值小于1的数：（，为正整数，等于原数第一个非零数字前0的个数） - 示例： 8.分式方程的定义 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 判断标准： - 是方程（含等号） - 分母中含有未知数 与整式方程的区别： - 整式方程：分母不含未知数 - 分式方程：分母含未知数 - 关键看分母中是否有未知数，不是看是否有分母 9.解分式方程 （1）基本思路： 去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 （2）解题步骤： - 第一步：找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积） - 第二步：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程 - 第三步：解这个整式方程 - 第四步：检验——将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，必须舍去 - 第五步：写出原方程的解 （3）检验的必要性： 去分母时方程两边同乘了含未知数的整式，可能扩大未知数的取值范围，产生增根，因此必须检验。 （4）检验方法： - 代入最简公分母检验（最常用） - 代入原方程检验（更直接） 10.分式方程无解与增根问题 （1）增根的定义 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使原分式方程的分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。 （2）增根的特征 - 增根是去分母后所得整式方程的根 - 增根使原分式方程的分母为0（最简公分母为0） - 增根不是原分式方程的根，必须舍去 （3）分式方程无解的两种情况 - 情况一：去分母后的整式方程无解 原分式方程无解 - 情况二：整式方程有解，但该解是增根（使最简公分母为0），全部解都是增根 原分式方程无解 （4）已知增根求参数 - 第一步：确定增根的值（使最简公分母为0的未知数的值） - 第二步：将分式方程去分母化为整式方程 - 第三步：将增根代入整式方程，求出参数的值 （5）已知无解求参数 - 分两种情况讨论： - 整式方程本身无解（如非零常数） - 整式方程的解都是增根 - 综合两种情况确定参数 易错提醒： 增根无解，有增根时可能还有其他有效根；无解是指没有任何有效根。 11.分式方程的实际应用 （1）解题步骤： - 第一步：审题，弄清题意，找出已知量和未知量 - 第二步：设未知数（直接设或间接设） - 第三步：找等量关系，根据题意列出分式方程 - 第四步：解分式方程 - 第五步：检验——既要检验是否为增根（数学检验），又要检验是否符合实际意义（实际检验） - 第六步：写出答案 （2）常见题型： - 行程问题：路程=速度时间，常涉及顺水/逆水、提速/减速 - 工程问题：工作总量=工作效率工作时间，常涉及合作完成 - 销售问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本 - 浓度问题：溶质=溶液浓度 - 增长率问题：增长后量=原量增长率 （3）列方程关键： 抓住题目中的等量关系，如”时间差”“工作量和为1”“利润相等”等。 （4）双检验： 分式方程应用题必须检验——① 是否为增根；② 是否符合实际意义（如时间、速度不能为负，人数为正整数等）。 题型01 分式及其基本性质 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 分母不为0是前提，基本性质是运算基础。 分式有意义/无意义： · 有意义：分母≠0，解不等式得字母取值范围 · 无意义：分母=0，解方程得字母值 分式值为0： · 必须同时满足：分子=0 且 分母≠0 · 先解方程求分子为0的值，再代入分母检验排除使分母为0的值 分式基本性质应用： · 约分：确定分子分母公因式（系数最大公约数+相同因式最低次幂），约去 · 通分：确定最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积，系数取最小公倍数） · 符号变换：分子、分母、分式本身三者符号，改变任意两个值不变 【变式1-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）若代数式的值等于0，则_________． 【变式1-4】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 题型02 分式的混合运算与化简求值 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 解题梳理 解题核心： 严格按运算顺序，能约分先约分，结果化为最简。 运算顺序： · 先乘方，再乘除，最后加减 · 有括号先算括号内 · 同级从左到右 解题步骤： · 第一步：观察结构，确定运算顺序 · 第二步：除法统一为乘法（除式分子分母颠倒） · 第三步：分子分母因式分解，能约分的先约分 · 第四步：乘除运算后，进行加减（异分母先通分） · 第五步：合并后约分化为最简分式 · 第六步：化简求值题，代入数值计算 常用技巧： · 先因式分解再约分，简化计算 · 适当运用运算律（分配律等） · 加减时分子是多项式要加括号，去括号注意变号 · 求值时注意代入的值不能使原分式分母为0 易错提醒： 运算顺序错误；去括号符号错误；通分时漏乘某项；结果未化为最简。 【变式2-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 【变式2-4】（25-26八年级下·四川宜宾·阶段检测）化简求值 (1)先化简，再求值：，其中x满足； (2)先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 题型03 以分式运算为背景的材料阅读类问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： (1)下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ①  ②  ③  ④ (2)当________时，代数式有最大值________； (3)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； (4)求分式的最值． 解题梳理 解题核心： 读懂材料中的新方法/新规律，模仿迁移应用。 常见类型： · 新定义运算：定义一种新的分式运算规则，按规则计算 · 裂项相消法：材料给出如 的裂项公式，要求求和 · 规律探究：给出一组分式算式，找规律，用含n的式子表示并验证 · 方法迁移：材料介绍一种解题方法（如倒数法、换元法），要求用该方法解题 解题步骤： · 第一步：仔细阅读材料，理解新定义、新公式或新方法 · 第二步：分析材料中的示例，掌握使用方法和关键步骤 · 第三步：将方法迁移到问题中，模仿示例进行计算 · 第四步：对于规律探究题，先归纳猜想，再用分式运算验证 【变式3-1】（25-26八年级下·广东茂名·期末）【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【变式3-2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． (1)现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 (2)将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 (3)在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 【变式3-3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【变式3-4】（25-26八年级上·北京·阶段检测）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 题型04 整数指数幂 【典例】（25-26八年级下·海南海口·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 熟记运算性质，负指数化为倒数，零指数为1。 核心公式： · · · · （） · （） · （） 常见考法： · 直接计算：按运算性质化简，负指数化为正指数形式 · 科学记数法：绝对值小于1的数表示为 （），n等于第一个非零数字前0的个数 · 已知幂的值求代数式：逆用运算性质，整体代入 解题技巧： · 负指数先转化为正指数（取倒数） · 混合运算先确定顺序，系数与幂分别运算 · 结果一般化为正指数形式 【变式4-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若则______． 【变式4-4】（25-26八年级下·河南周口·期中）化简：________． 题型05 解分式方程 【典例】（25-26八年级上·陕西安康·期末）解分式方程： (1)． (2)． 解题梳理 解题核心： 去分母化整式方程，解后必须检验。 解题步骤： · 第一步：找最简公分母（各分母因式分解后，所有因式最高次幂的积） · 第二步：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程 · 第三步：解整式方程 · 第四步：检验——将解代入最简公分母，不为0则是原方程的解，为0则是增根舍去 · 第五步：写出原方程的解 常用技巧： · 分母能因式分解的先分解，便于找最简公分母 · 去分母时每一项都要乘最简公分母，包括常数项 · 分子是多项式时，去分母后要加括号 检验的必要性： 去分母时乘了含未知数的整式，可能扩大取值范围产生增根，必须检验。 【变式5-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）解方程： (1)； (2) 【变式5-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【变式5-4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 题型06 分式方程无解问题与增根问题 【典例】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 增根使分母为0，无解分两种情况。 增根问题： · 增根特征：是去分母后整式方程的根，同时使最简公分母为0 · 已知增根求参数： 第一步：确定增根的值（使最简公分母为0的x值） 第二步：去分母化为整式方程 第三步：将增根代入整式方程，求参数 无解问题： · 分式方程无解有两种情况： 情况一：去分母后的整式方程本身无解（如 非零常数） 情况二：整式方程有解，但所有解都是增根（使最简公分母为0） · 已知无解求参数：需分两种情况讨论，综合确定参数值 增根与无解的区别： · 有增根≠无解：有增根时可能还有其他有效根 · 无解：没有任何有效根 · 增根是无解的一种可能原因，但不是唯一原因 解题步骤： · 第一步：去分母化为整式方程（含参数） · 第二步：分析整式方程的解的情况 · 第三步：若整式方程有解，判断是否为增根 · 第四步：综合”整式方程无解”和”解为增根”两种情况 【变式6-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）关于x的分式方程无解，则字母a的值是（    ） A．且 B． C． D．或 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【变式6-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）关于的分式方程有增根，则________． 【变式6-4】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 题型07 分式方程的实际应用问题 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 解题梳理 解题核心： 找准等量关系列方程，解后双检验。 解题步骤： · 第一步：审题，弄清已知量和未知量 · 第二步：设未知数（直接设或间接设） · 第三步：找等量关系，列分式方程 · 第四步：解分式方程 · 第五步：双检验——① 是否为增根（数学检验）；② 是否符合实际意义（实际检验） · 第六步：写出答案 常见题型与等量关系： · 行程问题：路程=速度×时间；常用”时间差”或”时间和”列方程 顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速 · 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；常把总工作量看作1，合作效率=效率和 · 销售问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100% · 浓度问题：溶质=溶液×浓度；混合前后溶质总量不变 · 增长率问题：增长后=原量×(1+增长率) 列方程关键： 抓住题目中的关键词，如”比……快/慢”“提前/推迟”“合作完成”“利润相等”等，建立等量关系。 双检验： · 数学检验：代入最简公分母，不为0才是有效解 · 实际检验：解必须符合实际意义（如时间、速度、人数为正，人数为整数等） 【变式7-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 【变式7-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【变式7-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为 元，一支铅笔的批发价为 元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【变式7-4】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； (1)请你补全以上方法的过程； (2)请你列出方法的方程并解出该方程； (3)学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）若，则的值是（     ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．3 B． C．0 D．任意实数 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 6．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）若，则的值为_______． 8．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）计算的结果是________． 9．（25-26八年级上·四川广安·阶段检测）当______时，分式的值等于零． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 11．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 12．（25-26八年级下·江西吉安·期末）按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 … (1)上面第二步计算中，括号里的变形是______，其依据是______． (2)上面的运算过程中第_____步出现了错误，错误原因是______．请你写出完整的解答过程． 13．（25-26八年级上·新疆博尔塔拉·阶段检测）某商场计划购进一批、两种型号的体温测量仪器，每台种仪器价格比每台种仪器价格多60元，花9100元购买种仪器和花万元购买种仪器的数量相同． (1)求、两种仪器每台各多少元？ (2)根据销售情况，需要购进、两种仪器共120台，总费用不超过万元，求种仪器至少要购买多少台？ 14．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简：，再请你在、0、1、2这四个数中选取一个合适的的取值代入求值． 15．（25-26八年级上·山西大同·期末）小明同学计算的过程如下： 解：原式 第一步   第二步                     第三步                 第四步 ．                     第五步 (1)小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） (2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． (3)请你写出正确的答案_______． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·重庆垫江·期末）对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（     ）． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26八年级下·重庆大渡口·期末）已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法： ①若，则； ②若方程的解为，则； ③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个． 其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 7．（25-26八年级下·四川达州·期末）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为_________ 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 9．（25-26七年级下·广东珠海·阶段检测）艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的，二、三等奖奖品的总价之比为．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为____． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）求证：． 12．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论． 现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为． 实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为：． 实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为：________． (1)写出实验二中的不等式：________，并证明该不等式的正确性； (2)请运用以上的结论，完成以下证明：若a，b，c是三边的长，求证：． 14．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． 15．（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $