第十四章 全等三角形章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学全等三角形章末复习讲义通过知识框架系统梳理22个核心知识点，涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理、角平分线及五大全等模型，用思维导图呈现知识内在逻辑，突出判定方法选择和辅助线作法等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如“构造全等模型”专题中倍长中线模型的典例解析与变式训练，培养学生推理能力和模型意识。巩固与强化训练梯度分明，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

第十四章 全等三角形章末重难点复习 22知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.掌握全等三角形的定义、性质； 2.掌握全等三角形的判定定理； 3.全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； 4.三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 5.掌握角平分线的性质、判定、作图方法. 1. 全等形的定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 相关概念 （1）对应顶点：互相重合的顶点 （2）对应边：互相重合的边 （3）对应角：互相重合的角 （4）表示方法：“≌”，读作”全等于”。，表示 与 、 与 、 与 分别是对应顶点 4. 找对应元素的规律 （1）对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 （2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角 （4）两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 （5）书写全等式时，对应顶点字母必须写在对应位置上 5. 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 （2）性质2：全等三角形的对应角相等 （3）推论1：全等三角形的周长相等、面积相等 （4）推论2：全等三角形对应边上的中线、高、角平分线分别相等 6. 全等变换 （1）平移变换：图形沿某方向平行移动 （2）对称变换（翻折）：图形沿某直线翻折 （3）旋转变换：图形绕某点旋转一定角度 （4）以上三种变换都不改变图形的形状和大小，变换前后的图形全等 7. 边边边（SSS） （1）内容：三边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（SSS） 8. 边角边（SAS） （1）内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（SAS） （3）注意：角必须是两边的夹角，“SSA”不能判定全等 9. 角边角（ASA） （1）内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（ASA） 10. 角角边（AAS） （1）内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（AAS） （3）注意：AAS是ASA的推论，由三角形内角和可转化 11. 斜边、直角边（HL） （1）内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，（斜边），（直角边），（HL） （3）适用范围：仅适用于直角三角形 （4）注意：HL是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不能用 12. 不能判定全等的情况 （1） SSA（两边及其中一边的对角）：不能判定，可能出现锐角三角形和钝角三角形两种情况 （2） AAA（三个角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等，大小可能不同 13. 判定方法选择策略 （1）已知两边对应相等：找夹角（SAS）或找第三边（SSS） （2）已知一边一角对应相等：边为角的对边 找另一角（AAS）；边为角的邻边 找夹角的另一边（SAS）或找另一角（ASA/AAS） （3）已知两角对应相等：找夹边（ASA）或找任一对边（AAS） （4）直角三角形：优先考虑HL，也可用一般判定方法 14. 证明三角形全等的一般步骤 - 第一步：读题，明确已知条件和求证结论 - 第二步：确定要证明哪两个三角形全等 - 第三步：分析这两个三角形已有的相等条件，还缺什么条件 - 第四步：通过已知条件推导缺少的条件（利用公共边、公共角、对顶角、平行线性质、等式性质等） - 第五步：按照规范格式书写证明过程 15. 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 16. 角平分线的性质定理 （1）内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等 （2）几何语言： 平分 ， 于 ， 于 ， （3）作用：证明两条线段相等，无需再证三角形全等 17. 角平分线的判定定理 （1）内容：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 （2）几何语言： 于 ， 于 ，， 点 在 的平分线上（或 平分 ） （3）作用：证明一个点在角平分线上，或证明两个角相等 18. 角平分线性质定理与判定定理的关系 （1）性质定理：角平分线 到两边距离相等（由角平分线推线段相等） （2）判定定理：到两边距离相等 角平分线（由线段相等推角平分线） （3）二者是互逆定理，条件和结论互换 19. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 （2）三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 （3）内心性质：内心到三角形三边的距离相等 （4）内心位置：任何三角形的内心都在三角形内部 20. 角平分线的尺规作图 （1）步骤一：以角的顶点 为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于 、 （2）步骤二：分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 （3）步骤三：画射线 ，射线 即为所求的角平分线 21. 角平分线常见辅助线 （1）类型一：角平分线上的点向两边作垂线（利用性质定理，得线段相等） （2）类型二：在角的两边截取相等线段，构造全等三角形（SAS） （3）类型三：角平分线+平行线 等腰三角形（角平分线分得等角，平行得内错角等，从而底角等） （4）类型四：角平分线+垂线 等腰三角形（延长垂线交角的另一边，构成等腰三角形，三线合一） 22.构造全等三角形的常见模型 模型一：旋转模型 （1）特征：两个三角形绕某公共顶点旋转一定角度后重合 （2）典型图形：共顶点的两个等腰三角形（如共顶点的两个等边三角形、两个等腰直角三角形） （3）解题关键：旋转角相等，由”等边+等角+等边”构造SAS全等 （4）经典结论：共顶点的两个等边三角形 和 ，连接 、，则 ，， 与 的夹角为 模型二：倍长中线模型 （1）特征：已知三角形一边上的中线 （2）构造方法：延长中线至两倍，使延长部分等于中线长，连接端点构造全等三角形 （3）具体操作： 是 的中线，延长 到 ，使 ，连接 ，则 （SAS） （4）作用：将 转移到 的位置，将分散的线段集中到一个三角形中，利用三边关系或其他性质解题 （5）适用场景：涉及中线、中点，需要转移线段或角的问题 模型三：截长补短模型 （1）特征：求证一条线段等于另外两条线段之和（或差），即 型 （2）截长法：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段 （3）补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明总长等于长线段 （4）核心思想：通过截取或延长构造相等线段，进而构造全等三角形 （5）适用场景：线段和差关系证明，尤其在角平分线条件下常用 模型四：一线三等角模型（K型全等） （1）特征：一条直线上有三个相等的角，中间角的顶点在直线上，两边分别与直线相交 （2）典型：等腰直角三角形的直角顶点在直线上，过另外两个顶点向直线作垂线 （3）构造：两个直角三角形全等（AAS） （4）原理：利用同角的余角相等，得到一组锐角相等，结合直角和等边证全等 （5）变式：等边三角形的一个顶点在直线上，另外两个顶点与直线构成的三角形也全等 模型五：手拉手模型 （1）特征：两个共顶点的等腰（等边/等腰直角）三角形，顶点重合，像两只手拉在一起 （2）构造：连接非公共顶点，形成一对全等三角形 （3）核心：由”公共顶点处的等角+两组等边”构造SAS全等 （4）常见类型： - 两个等边三角形共顶点 全等三角形，对应边夹角 - 两个等腰直角三角形共顶点 全等三角形，对应边夹角 - 两个正方形共顶点 全等三角形 （5）结论：对应边相等，对应边的夹角等于等腰三角形的顶角 题型01 全等三角形的概念与性质 【典例】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 解题梳理 解题核心： 准确识别对应关系，利用全等性质推导线段或角相等。 对应元素查找方法： - 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 - 对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 - 公共边、公共角、对顶角一定是对应元素 - 最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 - 全等式书写时，对应顶点字母必须在对应位置上，按字母顺序找对应 性质应用要点： - 全等三角形对应边相等、对应角相等——最常用的两个结论 - 周长相等、面积相等——用于整体计算 - 对应边上的中线、高、对应角的平分线分别相等——间接推导线段相等 常见考法： - 已知全等式，指出对应边和对应角 → 按字母位置一一对应 - 已知全等及部分边长/角度，求未知边或角 → 利用对应相等直接代入 - 利用全等性质证明线段或角相等 → 先证全等，再写对应元素相等 易错提醒： 对应关系不能搞反，尤其是非标准位置的全等图形；全等式中字母顺序是找对应的唯一依据。 【变式1-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1-4】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 题型02 灵活选用判定方法证明全等 【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由等式的性质可得，由可得，进而可通过角角边的判定定理证明． 【详解】略 解题梳理 解题核心： 根据已知条件类型，快速匹配最合适的判定定理。 判定方法选择速查： 已知两边对应相等时： - 找夹角相等 → 用SAS - 找第三边相等 → 用SSS - 若是直角三角形，找斜边或另一条直角边 → 用HL 已知一边一角对应相等时： - 边是角的对边 → 找另一角相等 → 用AAS - 边是角的邻边，找夹角的另一边相等 → 用SAS - 边是角的邻边，找另一角相等 → 用ASA或AAS 已知两角对应相等时： - 找夹边相等 → 用ASA - 找任一对应边相等 → 用AAS 隐含条件挖掘： - 公共边 → 天然的一组等边 - 公共角 → 天然的一组等角 - 对顶角 → 天然的一组等角 - 平行线 → 同位角相等、内错角相等 - 中点 → 线段被分成相等的两段 - 角平分线 → 角被分成相等的两个角 - 等式性质 → 等量加/减等量仍相等（公共部分线段或角的加减） 证明书写规范： - 第一步：指明在哪两个三角形中 - 第二步：按判定方法顺序用大括号列出三个条件 - 第三步：写出全等结论，括号注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS/HL） - 第四步：由全等性质推出所需结论 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏徐州·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 【变式2-4】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 题型03 添加条件使三角形全等 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)①③或③④ (2)解：添加2个条件：①③，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴； 添加2个条件：③④，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可； （2）添加①③利用证明；添加③④利用证明． 【详解】（1）略 （2）略 解题梳理 解题核心： 逆向思维，从已有条件出发，分析还缺什么条件能凑齐某个判定方法。 解题步骤： - 第一步：从图中找出已知条件（含隐含条件如公共边、公共角、对顶角） - 第二步：列出已有条件的类型（边还是角，位置关系如何） - 第三步：对照五种判定方法，看已有条件能凑成哪种，还差什么 - 第四步：写出缺少的条件，注意可能有多种答案 常见情形分析： - 已知一边一角 → 可加：另一边（夹边邻边用SAS）、另一角（AAS/ASA） - 已知两边 → 可加：夹角（SAS）、第三边（SSS） - 已知两角 → 可加：任一对应边（ASA/AAS） - 已知直角三角形一边 → 可加：另一边（HL或SAS） 答案不唯一时的处理： - 题目通常要求”添加一个条件”，写出一个即可 - 优先选择最直接、最明显的条件 - 注意所加条件不能与已知条件重复或矛盾 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) ①或②；                         选①证明：， ， 即， ，， ； 选②证明：， ，即， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）选择①或②，利用或证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ，， ． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 选①， 证明：因为， 所以， 又，， 所以； 选②， 证明：因为， 所以， 即， 又，， 所以．（选择其中一种即可） 【分析】选①，可利用证明； 选②，可利用证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了两直线平行同位角相等，用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【变式3-4】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件： ；；． (1)请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 解：情况一：选择为条件，为结论， 证明：在和中， ， ， ； 情况二：选择为条件，为结论， 证明：在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）情况一：选择为条件，为结论；情况二：选择为条件，为结论；根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ，， 在中，， ． 题型04 全等三角形的判定与性质综合应用 【典例】（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． (3)旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为． 解题梳理 解题核心： 先证全等，再用全等性质推导线段/角相等，有时需要多次全等。 基本解题流程： - 第一步：明确最终要证明的结论（线段相等、角相等、平行、垂直等） - 第二步：分析结论需要什么条件（如证平行需要内错角相等，证角相等需要全等） - 第三步：确定需要证明哪两个三角形全等 - 第四步：寻找全等的三个条件，不足的通过已知推导 - 第五步：证明全等后，利用对应边/角相等得到中间结论 - 第六步：由中间结论推出最终结论 常见结论转化路径： - 证线段相等 → 证所在三角形全等 → 对应边相等 - 证角相等 → 证所在三角形全等 → 对应角相等 - 证两直线平行 → 证内错角/同位角相等 → 证角相等 → 可能需要全等 - 证两直线垂直 → 证夹角为 → 利用全等转移角 - 证线段和差关系 → 截长补短构造全等 → 转移线段 多次全等问题： - 有些题目需要先证第一对三角形全等，得到中间条件 - 再用中间条件证第二对三角形全等，最终得到结论 - 关键是找到”桥梁”——第一对全等的结论恰好是第二对全等的条件 【变式4-1】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． (2) ．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在同一条直线上，若，则线段和的数量关系为_________． (2)如图2，若，点D、A、E在同一条直线上，，试判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)如图3，在中，，已知，，D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】(1) (2) 解：成立． 理由：， ， ， 在和中，， ， ，， ； (3)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）先证，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）分两种情况：①，②进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：， ， 是的中点， ． 分两种情况： ①当时， 则，， ， 点Q的运动速度为； ②当时，则， 点Q的运动速度为． 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）； （）； （）解：， 理由如下： 如图，作，交的延长线于，   ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线性质，同角的补角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“偏等积三角形”定义可得； （）根据“偏等积三角形”定义可得，然后证明，所以，，又，通过的长度为正整数，求得，从而求得；    （）作，交的延长线于， 证明，则，，又，所以，因为，，所以，证明，所以，因为，从而可得． 【详解】解：（）∵与为偏等积三角形， ∴当为中点时，， ∴， 故答案为：；     （）∵与为偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的长度为正整数， ∴， ∴； （）略 【变式4-4】（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 【答案】（1）解：第一步错误，正确的证明过程如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：这两个三角形全等，理由： 如图所示，过点作于点，过点作于点， ． ∴， 又， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据等边对等角得到，，则，得到，运用边角边即可求证，由全等三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，证明，得，则，运用边角边即可求证． 【详解】解：（1）∵不能运用“边边角”证明两个三角形全等， ∴证明中第一步错误， （2）略 题型05 角平分线的判定、性质与作图问题 【典例】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 解题梳理 解题核心： 性质定理推线段相等，判定定理推角平分线，二者互逆。 性质定理应用： - 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等 - 使用前提：点在角平分线上 + 该点到两边有垂线段 - 作用：直接证明两条垂线段相等，无需证全等 判定定理应用： - 内容：角内部到两边距离相等的点在角平分线上 - 使用前提：点到两边有垂线段 + 两条垂线段相等 - 作用：证明一个点在角平分线上，或证明某射线是角平分线 性质与判定的区别： - 性质：已知角平分线 → 得线段相等（用来证线段相等） - 判定：已知线段相等 → 得角平分线（用来证角相等或点在平分线上） - 条件和结论互换，是互逆定理 尺规作图步骤： - 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交两边于两点 - 分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于角内一点 - 过顶点和交点画射线，即为角平分线 - 作图依据：SSS全等（连接交点后，两组半径相等+公共边） 【变式5-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为， ∴ 即， 解得：． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 【变式5-4】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1) 如图即为所求； (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法即可作图； （2）先根据角平分线得到，，由外角得到，代入即可得到，再由三角形的外角性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 题型06 构造全等三角形的常见模型 【典例】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 解题梳理 解题核心： 识别图形特征，匹配对应模型，按固定套路添加辅助线构造全等。 模型一：倍长中线模型 - 识别特征：题目中出现”中线”或”中点”条件 - 构造方法：延长中线至两倍，使延长部分等于中线，连接端点 - 全等类型：SAS（中线被分成相等两段+对顶角+已知边） - 作用：将三角形的一边转移到新位置，把分散的线段集中到一个三角形中 - 适用场景：涉及中线的线段关系证明、三边关系判断、角度推导 模型二：截长补短模型 - 识别特征：求证线段和差关系（ 型） - 截长法：在长线段上截取一段等于一条短线段，证剩余部分等于另一条 - 补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证总长等于长线段 - 全等类型：通常为SAS或AAS - 适用场景：角平分线条件下的线段和差证明最常用 模型三：角平分线+垂线模型 - 识别特征：角平分线上有垂线（或某线与角平分线垂直） - 构造方法：延长垂线与角的另一边相交 - 核心结论：构成等腰三角形，角平分线同时是高和中线（三线合一） - 作用：得到等腰三角形，转移线段和角，构造全等 - 适用场景：角平分线与垂直同时出现，需要等腰三角形性质 模型四：手拉手模型 - 识别特征：两个共顶点的等腰三角形（等边、等腰直角、正方形） - 构造方法：连接两个三角形的非公共顶点 - 全等类型：SAS（公共顶点处等角+两组等边） - 核心结论：连接线段相等，且夹角等于等腰三角形的顶角 - 常见类型：双等边共顶点（夹角 ）、双等腰直角共顶点（夹角 ） 模型五：一线三等角模型（K型全等） - 识别特征：一条直线上有三个相等的角，中间角顶点在直线上 - 典型图形：等腰直角三角形直角顶点在直线上，另外两顶点向直线作垂线 - 全等类型：AAS（直角+同角的余角相等+等边） - 作用：证明两个直角三角形全等，得到线段关系 - 变式：等边三角形顶点在直线上也可构造类似全等 【变式6-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式6-2】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【答案】（1）证明：△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2）8 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）由（1）可进一步推出为直角三角形，且，从而由求解即可． 【详解】（1）略 （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，，, ， ， 则在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，及含角的直角三角形的性质，根据“手拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键． 【变式6-3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； (2) 成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 【变式6-4】（25-26八年级上·天津宁河·阶段检测）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (2) 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 2．（25-26八年级上八年级下·贵州毕节·期中）如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 3．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知，且． 选项A中，根据可判定，不符合题意； 选项B中，根据可判定，不符合题意； 选项C中，此时为边边角（），不能判定，符合题意； 选项D中，根据可判定，不符合题意． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，，，，则______________． 【答案】20 【分析】先由三角形内角和为求解，再由，可得，由此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 【答案】①②③ 【分析】由“”可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， 又， ， ，，， 平分，故①②③正确． 9．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ∴，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明． 【详解】略． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．求证：． 【答案】证明：， ， ． 又， ． 在和中， ． 【分析】由两边同时加上推导出；由推导出；最后根据证明两个三角形全等即可． 【详解】见答案 11．（25-26八年级上·广东佛山·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 13．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)证明：连接、，如图， 由作法得，， 而， ， ， 即平分； (2) (3)证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． 【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线、，利用证明与全等，通过全等三角形对应角相等，直接证出平分； （2）已知，同旁内角互补，可先由算出的度数；再结合第一问结论是角平分线，所求就是的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到，结合角平分线推出，等角对等边得；又垂直，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用即可证明两个直角三角形全等． 【详解】（1）略 （2）， ， ， 平分， ； （3）略 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，在中，，D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点O在线段上由点C向点A运动； (1)设运动时间为t，则有：___________；____________；___________； (2)当点O运动在某一时刻使与全等，求点O运动的速度？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据中点定义可得，再根据点P的速度及可得答案； （2）先说明，再设点O的运动速度为，可得，然后分两种情况：当时，，可得，求出解即可；当时，，可得，求出解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点，且， ∴． ∵点P在线段上以的速度由点B向点C运动，且， ∴； （2）解：∵， ∴． 设点O的运动速度为，则， 当时，， ∴， 解得， 则点O的运动速度是； 当时，， ∴， 解得， 则点O的运动速度是， 所以点O的运动速度是或． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判断①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判断②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； 综上，其中正确的有①②③． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论中错误的是（     ） A． B．当时，，分别是，的中点 C． D．若，，则 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故C正确；再利用三角形的三边关系可判断B选项；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到的距离等于，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到，判断出D正确． 【详解】解：在中，， ∵和的平分线相交于点， ∴ ∴， 在中，，故A正确，不符合题意； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 当时，在中，，即, ∴，即和不能同时成立， ∴，不是，的中点，即选项B错误； ∵和的平分线相交于点， ∴O在的平分线上， ∴点O到的距离等于， ∴ ，故选项D正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，求得，即；过作于点，根据全等三角形的判定和性质继续进行判断即可． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ， ，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点， ∵为的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． 综上可得，正确的是①②③④． 7．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 【答案】 4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度． （1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度； （2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，相交于． （1）的度数为_____； （2）过点作于，若，则的长为_____． 【答案】 /120度 / 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）连接，过点作于点，证明，得，证明，得，然后通过恒等变形可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 【答案】(1) (2) 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， O为的中点， ， ，， ， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即，则是等腰直角三角形， ， ，即， 是等腰直角三角形； (3) 点O即为所作： 由（2）可知，，故点在线段的垂直平分线上，分别以点、为圆心，大于为半径，作圆弧交于两点，作过这两点的直线，即是线段的垂直平分线， 点O在的下方， 在的下方的垂直平分线上取一点，即为点． 【分析】（1）根据“倍长”中线法，构造，再根据三角形三边关系即可求解； （2）根据“倍长”中线法，构造，再根据角之间的关系，证明，从而，易证是等腰直角三角形，最后利用“三线合一”即可求证； （3）根据题意，易得点在线段的垂直平分线上，作垂直平分线的尺规作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长至点M，使，连接， O是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 则， ，即O是中点， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的尺规作图等知识点，读懂材料，理解倍长中线法是解题的关键． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：①和都是等腰三角形， ，， ，， ， 在和中 ， ， ； ②数量关系：，理由如下： 由（1）得， ， ，是等腰三角形，G为中点， ，，即， 和都是等腰直角三角形， ， ， ； (2) 【分析】（1）①利用“”，证明即可；②由（1）易得，再证，根据线段之间的关系和等量代换，即可求解； （2）延长相交于点M，过点C作，垂足为N，先利用“”证，利用“”证，再证，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长相交于点M，过点C作，垂足为N， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设为x，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得（负值舍去）， ， 在中，由勾股定理得，, ∵ 的值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识点，掌握相关知识和“手拉手模型”是解题的关键． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形章末重难点复习 22知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.掌握全等三角形的定义、性质； 2.掌握全等三角形的判定定理； 3.全等三角形的重要模型（截长补短、倍长中线、一线三等角、手拉手、半角等）； 4.三角形的各类辅助线作法（构造全等、角平分线、垂直平分线、三线合一等）。 5.掌握角平分线的性质、判定、作图方法. 1. 全等形的定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 相关概念 （1）对应顶点：互相重合的顶点 （2）对应边：互相重合的边 （3）对应角：互相重合的角 （4）表示方法：“≌”，读作”全等于”。，表示 与 、 与 、 与 分别是对应顶点 4. 找对应元素的规律 （1）对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 （2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角 （4）两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 （5）书写全等式时，对应顶点字母必须写在对应位置上 5. 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 （2）性质2：全等三角形的对应角相等 （3）推论1：全等三角形的周长相等、面积相等 （4）推论2：全等三角形对应边上的中线、高、角平分线分别相等 6. 全等变换 （1）平移变换：图形沿某方向平行移动 （2）对称变换（翻折）：图形沿某直线翻折 （3）旋转变换：图形绕某点旋转一定角度 （4）以上三种变换都不改变图形的形状和大小，变换前后的图形全等 7. 边边边（SSS） （1）内容：三边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（SSS） 8. 边角边（SAS） （1）内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（SAS） （3）注意：角必须是两边的夹角，“SSA”不能判定全等 9. 角边角（ASA） （1）内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（ASA） 10. 角角边（AAS） （1）内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，，，，（AAS） （3）注意：AAS是ASA的推论，由三角形内角和可转化 11. 斜边、直角边（HL） （1）内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （2）书写格式：在 和 中，（斜边），（直角边），（HL） （3）适用范围：仅适用于直角三角形 （4）注意：HL是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不能用 12. 不能判定全等的情况 （1） SSA（两边及其中一边的对角）：不能判定，可能出现锐角三角形和钝角三角形两种情况 （2） AAA（三个角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等，大小可能不同 13. 判定方法选择策略 （1）已知两边对应相等：找夹角（SAS）或找第三边（SSS） （2）已知一边一角对应相等：边为角的对边 找另一角（AAS）；边为角的邻边 找夹角的另一边（SAS）或找另一角（ASA/AAS） （3）已知两角对应相等：找夹边（ASA）或找任一对边（AAS） （4）直角三角形：优先考虑HL，也可用一般判定方法 14. 证明三角形全等的一般步骤 - 第一步：读题，明确已知条件和求证结论 - 第二步：确定要证明哪两个三角形全等 - 第三步：分析这两个三角形已有的相等条件，还缺什么条件 - 第四步：通过已知条件推导缺少的条件（利用公共边、公共角、对顶角、平行线性质、等式性质等） - 第五步：按照规范格式书写证明过程 15. 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 16. 角平分线的性质定理 （1）内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等 （2）几何语言： 平分 ， 于 ， 于 ， （3）作用：证明两条线段相等，无需再证三角形全等 17. 角平分线的判定定理 （1）内容：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 （2）几何语言： 于 ， 于 ，， 点 在 的平分线上（或 平分 ） （3）作用：证明一个点在角平分线上，或证明两个角相等 18. 角平分线性质定理与判定定理的关系 （1）性质定理：角平分线 到两边距离相等（由角平分线推线段相等） （2）判定定理：到两边距离相等 角平分线（由线段相等推角平分线） （3）二者是互逆定理，条件和结论互换 19. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 （2）三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 （3）内心性质：内心到三角形三边的距离相等 （4）内心位置：任何三角形的内心都在三角形内部 20. 角平分线的尺规作图 （1）步骤一：以角的顶点 为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于 、 （2）步骤二：分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 （3）步骤三：画射线 ，射线 即为所求的角平分线 21. 角平分线常见辅助线 （1）类型一：角平分线上的点向两边作垂线（利用性质定理，得线段相等） （2）类型二：在角的两边截取相等线段，构造全等三角形（SAS） （3）类型三：角平分线+平行线 等腰三角形（角平分线分得等角，平行得内错角等，从而底角等） （4）类型四：角平分线+垂线 等腰三角形（延长垂线交角的另一边，构成等腰三角形，三线合一） 22.构造全等三角形的常见模型 模型一：旋转模型 （1）特征：两个三角形绕某公共顶点旋转一定角度后重合 （2）典型图形：共顶点的两个等腰三角形（如共顶点的两个等边三角形、两个等腰直角三角形） （3）解题关键：旋转角相等，由”等边+等角+等边”构造SAS全等 （4）经典结论：共顶点的两个等边三角形 和 ，连接 、，则 ，， 与 的夹角为 模型二：倍长中线模型 （1）特征：已知三角形一边上的中线 （2）构造方法：延长中线至两倍，使延长部分等于中线长，连接端点构造全等三角形 （3）具体操作： 是 的中线，延长 到 ，使 ，连接 ，则 （SAS） （4）作用：将 转移到 的位置，将分散的线段集中到一个三角形中，利用三边关系或其他性质解题 （5）适用场景：涉及中线、中点，需要转移线段或角的问题 模型三：截长补短模型 （1）特征：求证一条线段等于另外两条线段之和（或差），即 型 （2）截长法：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段 （3）补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明总长等于长线段 （4）核心思想：通过截取或延长构造相等线段，进而构造全等三角形 （5）适用场景：线段和差关系证明，尤其在角平分线条件下常用 模型四：一线三等角模型（K型全等） （1）特征：一条直线上有三个相等的角，中间角的顶点在直线上，两边分别与直线相交 （2）典型：等腰直角三角形的直角顶点在直线上，过另外两个顶点向直线作垂线 （3）构造：两个直角三角形全等（AAS） （4）原理：利用同角的余角相等，得到一组锐角相等，结合直角和等边证全等 （5）变式：等边三角形的一个顶点在直线上，另外两个顶点与直线构成的三角形也全等 模型五：手拉手模型 （1）特征：两个共顶点的等腰（等边/等腰直角）三角形，顶点重合，像两只手拉在一起 （2）构造：连接非公共顶点，形成一对全等三角形 （3）核心：由”公共顶点处的等角+两组等边”构造SAS全等 （4）常见类型： - 两个等边三角形共顶点 全等三角形，对应边夹角 - 两个等腰直角三角形共顶点 全等三角形，对应边夹角 - 两个正方形共顶点 全等三角形 （5）结论：对应边相等，对应边的夹角等于等腰三角形的顶角 题型01 全等三角形的概念与性质 【典例】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 解题梳理 解题核心： 准确识别对应关系，利用全等性质推导线段或角相等。 对应元素查找方法： - 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 - 对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 - 公共边、公共角、对顶角一定是对应元素 - 最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 - 全等式书写时，对应顶点字母必须在对应位置上，按字母顺序找对应 性质应用要点： - 全等三角形对应边相等、对应角相等——最常用的两个结论 - 周长相等、面积相等——用于整体计算 - 对应边上的中线、高、对应角的平分线分别相等——间接推导线段相等 常见考法： - 已知全等式，指出对应边和对应角 → 按字母位置一一对应 - 已知全等及部分边长/角度，求未知边或角 → 利用对应相等直接代入 - 利用全等性质证明线段或角相等 → 先证全等，再写对应元素相等 易错提醒： 对应关系不能搞反，尤其是非标准位置的全等图形；全等式中字母顺序是找对应的唯一依据。 【变式1-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-4】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 题型02 灵活选用判定方法证明全等 【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 解题梳理 解题核心： 根据已知条件类型，快速匹配最合适的判定定理。 判定方法选择速查： 已知两边对应相等时： - 找夹角相等 → 用SAS - 找第三边相等 → 用SSS - 若是直角三角形，找斜边或另一条直角边 → 用HL 已知一边一角对应相等时： - 边是角的对边 → 找另一角相等 → 用AAS - 边是角的邻边，找夹角的另一边相等 → 用SAS - 边是角的邻边，找另一角相等 → 用ASA或AAS 已知两角对应相等时： - 找夹边相等 → 用ASA - 找任一对应边相等 → 用AAS 隐含条件挖掘： - 公共边 → 天然的一组等边 - 公共角 → 天然的一组等角 - 对顶角 → 天然的一组等角 - 平行线 → 同位角相等、内错角相等 - 中点 → 线段被分成相等的两段 - 角平分线 → 角被分成相等的两个角 - 等式性质 → 等量加/减等量仍相等（公共部分线段或角的加减） 证明书写规范： - 第一步：指明在哪两个三角形中 - 第二步：按判定方法顺序用大括号列出三个条件 - 第三步：写出全等结论，括号注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS/HL） - 第四步：由全等性质推出所需结论 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏徐州·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2-4】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型03 添加条件使三角形全等 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 解题梳理 解题核心： 逆向思维，从已有条件出发，分析还缺什么条件能凑齐某个判定方法。 解题步骤： - 第一步：从图中找出已知条件（含隐含条件如公共边、公共角、对顶角） - 第二步：列出已有条件的类型（边还是角，位置关系如何） - 第三步：对照五种判定方法，看已有条件能凑成哪种，还差什么 - 第四步：写出缺少的条件，注意可能有多种答案 常见情形分析： - 已知一边一角 → 可加：另一边（夹边邻边用SAS）、另一角（AAS/ASA） - 已知两边 → 可加：夹角（SAS）、第三边（SSS） - 已知两角 → 可加：任一对应边（ASA/AAS） - 已知直角三角形一边 → 可加：另一边（HL或SAS） 答案不唯一时的处理： - 题目通常要求”添加一个条件”，写出一个即可 - 优先选择最直接、最明显的条件 - 注意所加条件不能与已知条件重复或矛盾 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式3-4】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件： ；；． (1)请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 题型04 全等三角形的判定与性质综合应用 【典例】（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； (3)如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 解题梳理 解题核心： 先证全等，再用全等性质推导线段/角相等，有时需要多次全等。 基本解题流程： - 第一步：明确最终要证明的结论（线段相等、角相等、平行、垂直等） - 第二步：分析结论需要什么条件（如证平行需要内错角相等，证角相等需要全等） - 第三步：确定需要证明哪两个三角形全等 - 第四步：寻找全等的三个条件，不足的通过已知推导 - 第五步：证明全等后，利用对应边/角相等得到中间结论 - 第六步：由中间结论推出最终结论 常见结论转化路径： - 证线段相等 → 证所在三角形全等 → 对应边相等 - 证角相等 → 证所在三角形全等 → 对应角相等 - 证两直线平行 → 证内错角/同位角相等 → 证角相等 → 可能需要全等 - 证两直线垂直 → 证夹角为 → 利用全等转移角 - 证线段和差关系 → 截长补短构造全等 → 转移线段 多次全等问题： - 有些题目需要先证第一对三角形全等，得到中间条件 - 再用中间条件证第二对三角形全等，最终得到结论 - 关键是找到”桥梁”——第一对全等的结论恰好是第二对全等的条件 【变式4-1】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在同一条直线上，若，则线段和的数量关系为_________． (2)如图2，若，点D、A、E在同一条直线上，，试判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)如图3，在中，，已知，，D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与全等？ 【变式4-3】（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【变式4-4】（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 题型05 角平分线的判定、性质与作图问题 【典例】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 解题梳理 解题核心： 性质定理推线段相等，判定定理推角平分线，二者互逆。 性质定理应用： - 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等 - 使用前提：点在角平分线上 + 该点到两边有垂线段 - 作用：直接证明两条垂线段相等，无需证全等 判定定理应用： - 内容：角内部到两边距离相等的点在角平分线上 - 使用前提：点到两边有垂线段 + 两条垂线段相等 - 作用：证明一个点在角平分线上，或证明某射线是角平分线 性质与判定的区别： - 性质：已知角平分线 → 得线段相等（用来证线段相等） - 判定：已知线段相等 → 得角平分线（用来证角相等或点在平分线上） - 条件和结论互换，是互逆定理 尺规作图步骤： - 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交两边于两点 - 分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于角内一点 - 过顶点和交点画射线，即为角平分线 - 作图依据：SSS全等（连接交点后，两组半径相等+公共边） 【变式5-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【变式5-2】（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式5-4】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 题型06 构造全等三角形的常见模型 【典例】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 解题梳理 解题核心： 识别图形特征，匹配对应模型，按固定套路添加辅助线构造全等。 模型一：倍长中线模型 - 识别特征：题目中出现”中线”或”中点”条件 - 构造方法：延长中线至两倍，使延长部分等于中线，连接端点 - 全等类型：SAS（中线被分成相等两段+对顶角+已知边） - 作用：将三角形的一边转移到新位置，把分散的线段集中到一个三角形中 - 适用场景：涉及中线的线段关系证明、三边关系判断、角度推导 模型二：截长补短模型 - 识别特征：求证线段和差关系（ 型） - 截长法：在长线段上截取一段等于一条短线段，证剩余部分等于另一条 - 补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证总长等于长线段 - 全等类型：通常为SAS或AAS - 适用场景：角平分线条件下的线段和差证明最常用 模型三：角平分线+垂线模型 - 识别特征：角平分线上有垂线（或某线与角平分线垂直） - 构造方法：延长垂线与角的另一边相交 - 核心结论：构成等腰三角形，角平分线同时是高和中线（三线合一） - 作用：得到等腰三角形，转移线段和角，构造全等 - 适用场景：角平分线与垂直同时出现，需要等腰三角形性质 模型四：手拉手模型 - 识别特征：两个共顶点的等腰三角形（等边、等腰直角、正方形） - 构造方法：连接两个三角形的非公共顶点 - 全等类型：SAS（公共顶点处等角+两组等边） - 核心结论：连接线段相等，且夹角等于等腰三角形的顶角 - 常见类型：双等边共顶点（夹角 ）、双等腰直角共顶点（夹角 ） 模型五：一线三等角模型（K型全等） - 识别特征：一条直线上有三个相等的角，中间角顶点在直线上 - 典型图形：等腰直角三角形直角顶点在直线上，另外两顶点向直线作垂线 - 全等类型：AAS（直角+同角的余角相等+等边） - 作用：证明两个直角三角形全等，得到线段关系 - 变式：等边三角形顶点在直线上也可构造类似全等 【变式6-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式6-2】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【变式6-3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【变式6-4】（25-26八年级上·天津宁河·阶段检测）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 2．（25-26八年级上八年级下·贵州毕节·期中）如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 3．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 7．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，，，，则______________． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中成立的有______（填写正确结论的序号）． ①；②；③平分． 9．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知，，．求证：． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．求证：． 11．（25-26八年级上·广东佛山·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 13．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 14．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图所示，在中，，D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点O在线段上由点C向点A运动； (1)设运动时间为t，则有：___________；____________；___________； (2)当点O运动在某一时刻使与全等，求点O运动的速度？ 【强化训练】 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论中错误的是（     ） A． B．当时，，分别是，的中点 C． D．若，，则 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 7．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，相交于． （1）的度数为_____； （2）过点作于，若，则的长为_____． 10．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 12．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； (1)的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； (2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； (3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）(1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，． ①求证：； ②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $