第十三章 三角形章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理三角形章末知识体系，涵盖14个核心知识点，从概念、分类到线段性质、内角外角定理，按“概念-性质-应用”逻辑呈现，突出三边关系、三线性质等重难点及内在联系。 讲义亮点在于8类题型分层设置典例与变式，如三边关系“判三角看短边和”技巧口诀，通过“露出一个锐角判断三角形形状”等题目培养推理意识与几何直观，巩固与强化训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

第1章 三角形章末重难点复习 14知识点+8题型+巩固训练+强化训练 1.理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2.知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； 3.熟练利用三角形的中线、高线、角平分线的性质进行计算； 4.理解三角形的内角和定理并平行线的性质、角平分线的性质进行计算； 5.理解三角形的外角和定理并进行计算. 1. 定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 构成要素 （1）三条边：组成三角形的三条线段 （2）三个顶点：相邻两边的公共端点 （3）三个内角：相邻两边所组成的角 3. 表示方法 三角形用符号”△“表示，顶点为A、B、C的三角形记作”△ABC”。 4. 分类 （1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 （2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 5. 三角形的稳定性 三角形三边长度确定后，形状和大小就完全确定，这一性质称为三角形的稳定性。 6. 三角形的边 （1）三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边 （2）推论：三角形任意两边之差小于第三边 （3）应用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边求第三边取值范围 7. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 （2）锐角三角形：三条高都在三角形内部 （3）直角三角形：两条高恰好是两条直角边，第三条高在内部 （4）钝角三角形：两条高在三角形外部，一条在内部 （5）三条高所在直线交于一点（垂心） 8. 三角形的中线 （1）定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 （2）性质：三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点（重心） （3）重心性质：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍 （4）中线将三角形分成面积相等的两部分 9. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 （2）性质：三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心） （3）内心性质：内心到三角形三边的距离相等 10. 三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段 （2）中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 11. 三角形内角和定理 （1）定理：三角形三个内角的和等于180° （2）推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°） 12. 三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 （2）性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （3）性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （4）性质3：三角形的外角与相邻的内角互补（和为180°） 13. 三角形外角和定理 三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角） 14. 重要结论 （1）三角形中至少有2个锐角 （2）三角形中至多有1个直角或钝角 （3）三角形的三个外角中，钝角至少有2个 题型01 三角形的概念与分类 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 解题梳理 解题核心： 紧扣定义要素，按角或按边准确归类。 判断要点： - 三条线段必须”不在同一直线上”且”首尾顺次相接” - 按角分类看最大角：最大角 锐角； 直角； 钝角 - 按边分类：三边都不等 不等边；至少两边相等 等腰；三边都等 等边（特殊等腰） 常见考法： - 数图形中三角形的个数 按顶点顺序有序枚举，不重不漏 - 判断三角形类型 先求各角或各边，再对照分类标准 - 等腰三角形分类讨论 已知两边时，分”腰”和”底”两种情况 【变式1-1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】（25-26八年级上·山东临沂·开学考试）如图所示，图中共有三角形______个． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【变式1-4】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 题型02 三角形的三边关系 【典例】（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解题梳理 解题核心： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 基本方法： - 判断三条线段能否组成三角形：只需验证 较短两边之和 > 最长边 - 已知两边 、，求第三边 范围： - 等腰三角形已知两边求周长：分类讨论哪条是腰，再用三边关系验证 - 化简含绝对值的边长表达式：利用两边差 第三边判断正负，去绝对值 技巧口诀： 判三角，看短边和；求范围，夹在差和间；等腰题，必分类验证。 【变式2-1】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【变式2-3】（2026·吉林长春·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【变式2-4】（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 题型03 三角形的稳定性 【典例】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 解题梳理 解题核心： 三角形具有稳定性，四边形及以上不具有稳定性。 常见考法： - 判断哪个图形具有稳定性 只要图形被分割成三角形结构就稳定 - 实际应用举例 自行车三角架、屋顶桁架、桥梁斜拉索、电线杆固定 - 使不稳定图形变稳定 添加对角线将多边形分割成三角形 解题要点： - 只要图形中含有四边形（未被对角线分割），整体就不具有稳定性 - 边形要稳定，至少需要添加 条对角线将其全部分割为三角形 - “具有稳定性”指形状和大小固定不变，不是指”结实” 【变式3-1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【变式3-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【变式3-3】（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【变式3-4】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 题型04 三角形中线的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 解题梳理 解题核心： 中线平分对边，分三角形为等积两部分。 核心性质： - 中线将对边分成相等的两段： - 中线分得的两个三角形面积相等（等底同高） - 重心分中线比为 2:1（顶点到重心 : 重心到中点 = 2:1） 常见计算类型： - 求线段长度：利用中点性质， - 求周长差： 与 周长差 （ 公共，） - 求面积：中线分三角形为面积相等的两部分 - 重心相关：重心到顶点距离 中线长；到中点距离 中线长 【变式4-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【变式4-2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【变式4-3】（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）如图已知：是的中线，，，的周长是，求的长． 【变式4-4】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 题型05 三角形角平分线的定义相关计算 【典例】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 解题梳理 解题核心： 角平分线将角分成两个相等的角。 核心性质： - 角平分线分得的两个角相等： - 三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等 常见计算类型： - 求角度：利用角平分线性质，被分角各等于原角一半 - 两内角平分线夹角：（ 为两内角平分线交点） - 一内一外平分线夹角： - 两外角平分线夹角： 重要公式推导： - 内心 ： - 旁心（一内一外）： 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【变式5-4】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ________．    题型06 三角形高的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 解题梳理 解题核心： 高垂直于对边（或对边延长线），产生直角。 核心性质： - 高与对边（或延长线）垂直，夹角为 - 面积公式： - 同一三角形中，底与高的乘积相等（面积法） 常见计算类型： - 求角度：高产生直角，利用直角三角形两锐角互余 - 求高的长度：面积法， - 判断高的位置：锐角 三高在内；直角 两高即直角边；钝角 两高在外 - 求面积：，注意底和高必须对应 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【变式6-2】（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【变式6-4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 题型07 三角形内角的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 三角形内角和为 ，直角三角形两锐角互余。 核心公式： - - 直角三角形中：两锐角和 常见计算类型： - 已知两角求第三角： - 已知角的比例关系：设每份为 ，列方程求解 - 已知角的和差关系：用一个角表示其他角，代入内角和 - 直角三角形求锐角：另一锐角 - 判断三角形类型：求出最大角，按角分类 【变式7-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）直角三角形两锐角的差是，则较大的锐角度数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·湖南张家界·模拟预测）如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【变式7-3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【变式7-4】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 题型08 三角形外角的定义相关计算 【典例】（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 外角等于不相邻两内角之和，外角和为 。 核心性质： - 外角 = 与它不相邻的两个内角之和 - 外角 > 任何一个与它不相邻的内角 - 外角与相邻内角互补（和为 ） - 三角形外角和 常见计算类型： - 已知两内角求外角：外角 = 两不相邻内角之和 - 已知外角和一内角求另一内角：另一内角 = 外角 - 已知不相邻内角 - 求多个外角之和：外角和恒为 - 内外角综合题：结合内角和 与外角性质联立 - 角度比较大小：利用外角 > 不相邻内角 重要模型——“飞镖”模型（箭头模型）： 凹四边形中，（通过延长 交 于 ，两次用外角性质推导） 易错提醒： 外角是”一边与另一边延长线”的夹角，不是三角形外面任意的角；计算外角和时每个顶点只取一个外角。 【变式8-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【变式8-2】（24-25七年级下·河北唐山·期末）在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【变式8-4】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 4．（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 7．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 8．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 9．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 11．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 12．（25-26八年级上·福建泉州·开学考试）已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 13．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 14．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 15．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 4．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 6．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，若，则________． 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 9．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 12．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 14．（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形章末重难点复习 14知识点+8题型+巩固训练+强化训练 1.理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； 2.知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、高线、角平分线； 3.熟练利用三角形的中线、高线、角平分线的性质进行计算； 4.理解三角形的内角和定理并平行线的性质、角平分线的性质进行计算； 5.理解三角形的外角和定理并进行计算. 1. 定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 构成要素 （1）三条边：组成三角形的三条线段 （2）三个顶点：相邻两边的公共端点 （3）三个内角：相邻两边所组成的角 3. 表示方法 三角形用符号”△“表示，顶点为A、B、C的三角形记作”△ABC”。 4. 分类 （1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 （2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 5. 三角形的稳定性 三角形三边长度确定后，形状和大小就完全确定，这一性质称为三角形的稳定性。 6. 三角形的边 （1）三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边 （2）推论：三角形任意两边之差小于第三边 （3）应用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边求第三边取值范围 7. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 （2）锐角三角形：三条高都在三角形内部 （3）直角三角形：两条高恰好是两条直角边，第三条高在内部 （4）钝角三角形：两条高在三角形外部，一条在内部 （5）三条高所在直线交于一点（垂心） 8. 三角形的中线 （1）定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 （2）性质：三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点（重心） （3）重心性质：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍 （4）中线将三角形分成面积相等的两部分 9. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 （2）性质：三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心） （3）内心性质：内心到三角形三边的距离相等 10. 三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段 （2）中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 11. 三角形内角和定理 （1）定理：三角形三个内角的和等于180° （2）推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°） 12. 三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 （2）性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （3）性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （4）性质3：三角形的外角与相邻的内角互补（和为180°） 13. 三角形外角和定理 三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角） 14. 重要结论 （1）三角形中至少有2个锐角 （2）三角形中至多有1个直角或钝角 （3）三角形的三个外角中，钝角至少有2个 题型01 三角形的概念与分类 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义要素，按角或按边准确归类。 判断要点： - 三条线段必须”不在同一直线上”且”首尾顺次相接” - 按角分类看最大角：最大角 锐角； 直角； 钝角 - 按边分类：三边都不等 不等边；至少两边相等 等腰；三边都等 等边（特殊等腰） 常见考法： - 数图形中三角形的个数 按顶点顺序有序枚举，不重不漏 - 判断三角形类型 先求各角或各边，再对照分类标准 - 等腰三角形分类讨论 已知两边时，分”腰”和”底”两种情况 【变式1-1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东临沂·开学考试）如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的分类，根据一个直角三角形中有1个直角和2个锐角，一个钝角三角形中有1个钝角和2个锐角，一个锐角三角形中有3个锐角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这些三角形中有2个直角三角形和1个钝角三角形，这3个三角形中共有个锐角， 故锐角三角形的个数为（个）； 故答案为：3． 题型02 三角形的三边关系 【典例】（25-26八年级上·陕西安康·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 解题梳理 解题核心： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 基本方法： - 判断三条线段能否组成三角形：只需验证 较短两边之和 > 最长边 - 已知两边 、，求第三边 范围： - 等腰三角形已知两边求周长：分类讨论哪条是腰，再用三边关系验证 - 化简含绝对值的边长表达式：利用两边差 第三边判断正负，去绝对值 技巧口诀： 判三角，看短边和；求范围，夹在差和间；等腰题，必分类验证。 【变式2-1】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 【变式2-3】（2022·吉林长春·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 【变式2-4】（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 题型03 三角形的稳定性 【典例】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 解题梳理 解题核心： 三角形具有稳定性，四边形及以上不具有稳定性。 常见考法： - 判断哪个图形具有稳定性 只要图形被分割成三角形结构就稳定 - 实际应用举例 自行车三角架、屋顶桁架、桥梁斜拉索、电线杆固定 - 使不稳定图形变稳定 添加对角线将多边形分割成三角形 解题要点： - 只要图形中含有四边形（未被对角线分割），整体就不具有稳定性 - 边形要稳定，至少需要添加 条对角线将其全部分割为三角形 - “具有稳定性”指形状和大小固定不变，不是指”结实” 【变式3-1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 【变式3-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特点，三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性． 【详解】解：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，都是三角形，具有稳定性； 梯形不具有稳定性， 故选：C． 【变式3-4】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 题型04 三角形中线的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 解题梳理 解题核心： 中线平分对边，分三角形为等积两部分。 核心性质： - 中线将对边分成相等的两段： - 中线分得的两个三角形面积相等（等底同高） - 重心分中线比为 2:1（顶点到重心 : 重心到中点 = 2:1） 常见计算类型： - 求线段长度：利用中点性质， - 求周长差： 与 周长差 （ 公共，） - 求面积：中线分三角形为面积相等的两部分 - 重心相关：重心到顶点距离 中线长；到中点距离 中线长 【变式4-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 【变式4-2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【分析】根据中线得到，根据三角形周长的计算，结合题意得到，则，再根据与的和为，由此列式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长，的周长比的周长多， ∴，即， ∴， ∵与的和为，即， ∴， 解得，． 【变式4-3】（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）如图已知：是的中线，，，的周长是，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段的运算，容易求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：因为的周长是，，， 所以． 因为是的中线， 所以． 【变式4-4】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 题型05 三角形角平分线的定义相关计算 【典例】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 解题梳理 解题核心： 角平分线将角分成两个相等的角。 核心性质： - 角平分线分得的两个角相等： - 三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等 常见计算类型： - 求角度：利用角平分线性质，被分角各等于原角一半 - 两内角平分线夹角：（ 为两内角平分线交点） - 一内一外平分线夹角： - 两外角平分线夹角： 重要公式推导： - 内心 ： - 旁心（一内一外）： 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式5-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 【变式5-4】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，是的高线，是的角平分线．，，则的度数为 ________．    【答案】 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，即可求． 【详解】解：是的高线， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 题型06 三角形高的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 解题梳理 解题核心： 高垂直于对边（或对边延长线），产生直角。 核心性质： - 高与对边（或延长线）垂直，夹角为 - 面积公式： - 同一三角形中，底与高的乘积相等（面积法） 常见计算类型： - 求角度：高产生直角，利用直角三角形两锐角互余 - 求高的长度：面积法， - 判断高的位置：锐角 三高在内；直角 两高即直角边；钝角 两高在外 - 求面积：，注意底和高必须对应 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 【变式6-2】（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 【答案】(1)如图所示，为所作； (2) 如图所示，点为所作； 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1） 略 （2） 略 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【变式6-4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 三角形内角的定义相关计算 【典例】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 解题梳理 解题核心： 三角形内角和为 ，直角三角形两锐角互余。 核心公式： - - 直角三角形中：两锐角和 常见计算类型： - 已知两角求第三角： - 已知角的比例关系：设每份为 ，列方程求解 - 已知角的和差关系：用一个角表示其他角，代入内角和 - 直角三角形求锐角：另一锐角 - 判断三角形类型：求出最大角，按角分类 【变式7-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）直角三角形两锐角的差是，则较大的锐角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理，结合两锐角的差设未知数列方程求解． 【详解】解：设较大的锐角度数为，则较小锐角度数为， 根据三角形内角和定理得到，， ∴， 解得，，即较大的锐角度数为． 【变式7-2】（2026·湖南张家界·模拟预测）如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 【变式7-4】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】 【分析】点D在内部，且到三边的距离相等，得到平分，平分，根据三角形内角和求解即可； 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； 题型08 三角形外角的定义相关计算 【典例】（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 解题梳理 解题核心： 外角等于不相邻两内角之和，外角和为 。 核心性质： - 外角 = 与它不相邻的两个内角之和 - 外角 > 任何一个与它不相邻的内角 - 外角与相邻内角互补（和为 ） - 三角形外角和 常见计算类型： - 已知两内角求外角：外角 = 两不相邻内角之和 - 已知外角和一内角求另一内角：另一内角 = 外角 - 已知不相邻内角 - 求多个外角之和：外角和恒为 - 内外角综合题：结合内角和 与外角性质联立 - 角度比较大小：利用外角 > 不相邻内角 重要模型——“飞镖”模型（箭头模型）： 凹四边形中，（通过延长 交 于 ，两次用外角性质推导） 易错提醒： 外角是”一边与另一边延长线”的夹角，不是三角形外面任意的角；计算外角和时每个顶点只取一个外角。 【变式8-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 【变式8-2】（24-25七年级下·河北唐山·期末）在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵三角形的外角和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式8-4】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导与的数量关系，再结合已知倍数关系列方程求解． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵平分， ∴． 由三角形外角性质可知，，, ∴, ∴, ∵， ∴, 又∵, ∴，即, ∵， ∴, 在 中，∵， ∴， ∴． 【巩固训练】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 2．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 3．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 4．（25-26七年级下·江西吉安·期末）一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 6．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．若，，，则t的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先根据和化简，得到与的关系式，再利用三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：，， ， ， ， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，可得，代入已知条件得，整理得， 拆分为不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 验证： ， ，恒成立， 因此， 代入， 可得． 7．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【答案】 【分析】设交于点G，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 12．（25-26八年级上·福建泉州·开学考试）已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【分析】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【详解】略 13．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 15．（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵和分别是与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． (2)解：，理由如下： ∵和分别是外角与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）先得出，，则，再根据即可得； （2）先得出，，则，再得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （3）同（1）的方法分别求出，，，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：同（1）可知，， ， ， 归纳类推得：（为正整数）， ∴， ∵， ∴． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 4．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 5．（2026·宁夏银川·一模）一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（     ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】分情况讨论：①；②，③，由垂线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当时，则， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，则， ∴， ∴，即； ③当时，则， ∴, ∴, ∴，即； 综上所述，的度数为或或。 6．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，若，则________． 【答案】 【分析】先求出，根据三角形中线的性质可得出，进而求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 8．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 9．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 14．（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $