第13章 三角形 单元复习（暑假预习讲义）（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13章 三角形 知识点1：三角形的概念与分类 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边组成的角是三角形的内角。 2.三角形的分类 分类依据 类别 说明 按边的大小关系 三边都不相等的三角形 三条边长度均不相等 等腰三角形 有两条边相等；等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等） 按角的大小 锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 知识点2：三角形的三边关系 1.核心定理：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2.快速判定方法：若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段能组成三角形。 3.取值范围：已知三角形两边长为、（），则第三边长的取值范围是。 知识点3：三角形的三条重要线段 对比呈现中线、角平分线、高的定义与性质： 线段名称 定义 交点名称 交点位置 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 重心 三角形内部 角平分线 三角形一个角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 内心 三角形内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 垂心 锐角三角形：内部；直角三角形：直角顶点；钝角三角形：外部 知识点4：三角形内角和定理 1.定理内容：三角形三个内角的和等于。 2.直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点5：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.核心性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角和等于。 知识点6：三角形的稳定性与重心 1.稳定性：三角形具有稳定性，四边形及以上多边形不具有稳定性，生活中常利用三角形结构加固物体。 2.重心：三角形三条中线的交点叫做重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍；每条中线都将三角形分成面积相等的两部分。 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念识别与分类判断 1.核心知识点: 三角形的定义与基本元素 三角形按边、按角的分类标准 2.解题方法技巧: 判断分类时明确：等边三角形是特殊的等腰三角形，避免分类遗漏 按角分类只需看最大内角：最大角是锐角则为锐角三角形，以此类推 【例题1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·福建宁德·阶段检测）在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）下列命题中为假命题的是（　　） A．等腰三角形的两腰相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合 D．等腰三角形不是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的定义和性质，A、B、C选项均为真命题，D选项与等腰三角形是轴对称图形的事实不符． 【详解】解：∵ 等腰三角形两腰相等（定义）， ∴ A是真命题；   ∵ 等腰三角形两底角相等（性质）， ∴ B是真命题；   ∵ 等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线三线合一， ∴ C是真命题； ∵ 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（底边上的高所在直线）， ∴ D是假命题．   故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 【题型2】三角形三边关系的应用 1.核心知识点: 三角形三边关系定理 第三边的取值范围求解 2.解题方法技巧: 判断能否构成三角形：只需验证两短边之和大于最长边，无需三组逐一验证 求第三边范围：直接用“两边之差<第三边<两边之和”快速求解 【例题2】.（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：连接， 在中， ∴，即， 解得， 只有在范围内． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰长和底边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到符合条件的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ，不满足三角形三边关系， 这种情况不成立，舍去； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ，满足三角形三边关系， 此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用三角形大角对大边的性质和三角形三边关系，求出边长a的取值范围，再结合选项得到答案． 【详解】解：∵在中，是最大内角，对的边为， ∴根据大角对大边，可得是最长边， 又∵，，， ∴， 三角形任意两边之和大于第三边， ， 的取值范围为，选项中只有C选项6符合该范围． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】先理解题意，得出，根据线段的和差关系得，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点是这根吸管的中点， ∴， 观察图，得， 即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边． 故点A不能作为第一刀的切点． 【题型3】三角形稳定性的实际应用 1.核心知识点: 三角形的稳定性 多边形不稳定性的加固方法 2.解题方法技巧: 图形中包含三角形结构则具有稳定性，全为四边形则不具有 边形木架保持不变形，至少需要钉根木条转化为三角形结构 【例题3】.（2026·河南开封·模拟预测）下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 【变式题3-2】.（2026·吉林松原·模拟预测）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：由题意可知：所运用的几何知识是三角形的稳定性． 【题型4】三角形中线与周长、面积的计算 1.核心知识点: 三角形中线的定义 中线等分三角形面积的性质 2.解题方法技巧: 周长差问题：中线分对边相等，两个三角形的周长差等于两邻边的长度差 面积问题：一条中线将三角形分成面积相等的两部分，多组中线可逐级推导 【例题4】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【答案】12 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，中，，E为的中点，与相交于P，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为，记针尖落在区域内的概率为，则_______． 【答案】 【分析】连接，设，再分别表示出各区域的面积，进而得到，然后计算出即可求解． 【详解】解：连接，设， ， ， ∴， E为的中点， ， ， ， ， ， E为的中点， ， ，则， ，， ， ． 【题型5】三角形内角和与直角三角形判定 1.核心知识点: 三角形内角和定理 直角三角形两锐角互余的性质与判定 2.解题方法技巧: 角度计算可设未知数列方程，利用内角和为建立等量关系 判定直角三角形可通过“两锐角互余”直接推导，无需计算第三个角 【例题5】.（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 【变式题5-1】.（22-23七年级下·山西太原·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【题型6】三角形外角的角度计算 1.核心知识点: 三角形外角的定义 外角等于不相邻两内角和的性质 2.解题方法技巧: 利用外角性质可实现角度快速转化，避免多次使用内角和定理 涉及多个外角时，可结合外角和为简化计算 【例题6】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，如果，，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】，， （两直线平行，同位角相等）， 是 的外角， ， ， ， ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 【答案】140 【分析】先根据，，，求出，再根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故． 【培优高频题型】 【题型7】三边关系综合：绝对值化简与等腰三角形分类讨论 1.核心知识点: 三角形三边关系 绝对值的化简规则 等腰三角形的分类讨论 2.解题方法技巧: 化简含边长的绝对值：先根据三边关系判断式子正负，再去绝对值符号 等腰三角形边长问题：分已知边为腰、为底两种情况讨论，最后必须用三边关系验证能否构成三角形 【例题7】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 【题型8】平行线与三角形结合的角度计算 1.核心知识点: 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角） 三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧: 先利用平行线找到相等或互补的角，再将角度转化到同一个三角形中 出现“八字形”结构时，可直接利用“对顶三角形两内角和相等”的结论 【例题8】.（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 【变式题8-1】.（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． （2）证明：∵，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． ， 分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ； ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：， 图②和④关系式： ． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． （2）解：如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，点为上方一点. (1)如图1所示，为上一动点，交于点，求证：； (2)如图2，的延长线交直线于点，和的平分线相交于点，若，请用含的式子表示并证明你的结论； (3)如图3，平分，若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，直接写出对应的与的数量关系. 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)，证明如下： 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，几何图形即可证明； （2）过点F作，得出，利用平行线的性质确定，，得出，设，推出，即可求解； （3）分两种情况分析：当点H在点D左侧时，当点H在点D右侧时，结合角平分线及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当点H在点D左侧时，如图所示： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 整理得：； 当点H在点D右侧时，如图所示： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上得：或 【题型9】三角形翻折问题中的角度计算 1.核心知识点: 翻折的性质（对应角、对应边相等） 三角形内角和与平角性质 2.解题方法技巧: 翻折前后对应角相等，标记相等的角，结合平角、内角和建立等式 多个翻折叠加时，从内到外逐步推导，注意折叠后角的位置变化 【例题9】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）在数学课上，同学们将一块含角的直角三角尺（顶点、、逆时针方向排列）摆放在两条平行线，上，顶点始终在直线上．其中，． (1)如图（1），当时，则的度数为 °． (2)如图（2），将三角尺绕着顶点旋转，当顶点在下方，顶点在两平行线之间时，延长线交直线于点，，分别在，内部且交于点，且，，请探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的顶点在直线上，边交直线于点，将三角形沿翻折，顶点落在点处，在下方，且．点为线段延长线上一动点，连接，的平分线所在直线交直线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)解：是定值，理由如下： ∵， ∴ 设交于点，交于点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 故是定值； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）设交于点，交于点，设，则，，，则，再根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可求解； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，根据平行线得到，，则，设，则，，再由角平分线的定义结合角度的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 （3）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交直线于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型10】重心与面积综合应用（重心探究情境） 1.核心知识点: 三角形重心的性质 中线等分三角形面积的规律 组合图形面积推导 2.解题方法技巧: 重心分中线为2:1两段，对应同高三角形的面积比也为2:1 多中点问题中，逐级利用“中线分面积为两半”的性质，推导小面积与大面积的比例关系 【例题10】.（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【详解】（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏南通·期末）【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． (1)如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； (2)求证：； (3)若的面积为20，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，，，，，如图， ∴轴，，，， ∴， ∴，， ∴， 设点A到的距离为h， ∵，， ∴； (3)5 【分析】（1）利用题干中的三角形重心G的坐标公式列方程求解即可； （2）设点A到的距离为h，利用中点坐标公式和坐标与图形性质推导出，，进而可求解； （3）由（2）可得，故当时，最短，此时最短，利用三角形的中线平分该三角形的面积得到，进而求得 即可求解． 【详解】（1）解：∵的中线，，交于点G， ∴点G为的重心， ∵，，，， ∴，即 解得； （2）略 （3）解：由（2）知，则， 当时，最短，此时最短， ∵是的中线，的面积为20， ∴，又， ∴， ∴的最小值为． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】(1)＝ (2) (3)2 (4)27 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 【变式题10-3】.（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 【答案】(1)的重心坐标是 (2) 如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． (3)四边形重心坐标为 (4)四边形重心的坐标为 【分析】（1）依据公式进行计算即可； （2）连接，在上取点，使； （3）设四边形重心的坐标为，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可； （4）连接对角线，分四边形为和，记它们的重心和面积分别是、和、．可得、的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求． 【详解】（1）解： 三个顶点分别是，，， 根据公式得，． 的重心坐标是． （2）解：如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． 因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以、分别是小矩形和大矩形的几何中心． 以组合体重心G为支点，根据力的杠杆平衡原理 (其中、分别为两个物体的重力，、分别为两个物体重心到支点的距离)． 由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2倍，即． 连接，在上取点使． 则点G即为组合体重心． （3）解：四边形重心的坐标为，由（2）杠杆平衡原理得： 同理可得 四边形重心坐标为 （4）解：如图，连接对角线，分四边形为和， 记它们的重心和面积分别是、和、． 四边形的顶点分别是，，，， 的重心坐标是， 面积， 的重心坐标是， 面积． 根据（3）中四边形重心坐标公式： ，， 四边形重心的坐标为． 【题型11】三角形新定义题型（素养创新） 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 三角形三边、角度相关核心知识 2.解题方法技巧: 先精读新定义，圈出核心限制条件，明确新定义的判定标准 将新定义问题转化为熟悉的三边关系、角度计算、分类讨论等常规问题求解 【例题11】.（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【变式题11-2】.（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 【变式题11-3】.（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接，根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解； （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ． （2）解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴， ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵，， ∴， 同理得到：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （4）解：直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【题型12】三角形角度综合：多模型叠加与辅助线构造 1.核心知识点: 三角形内角和、外角性质 飞镖模型、八字模型等常用角度模型 辅助线的构造方法 【例题12】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点． (1)若，_______； (2)若，_______； (3)如图，若再分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，试求的度数； (4)在（3）的条件下，如图，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若、和满足的数量关系为（、为常数），请直接写出、的值：________，________． 【答案】(1) (2) (3) (4)4， 【分析】（1）根据三角形内角和可求解与的度数，根据角平分线的定义可得与的度数，再由三角形内角和为计算即可； （2）根据三角形内角和可表示与的度数，根据角平分线的定义可得与的度数，再由三角形内角和为计算即可； （3）设，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和的关系求解即可； （4）设，先得到，再根据，列出角度的关系，列关于、的二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中，，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， 在中，，， ； （2）解：如图， 在中，，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， 在中，，， ； （3）解：设， 平分，平分， ， ， ①， ， ②， 由①②得， 解得，即； （4）解：如图，设， ， ， ①， ， 又，， ②， 将①代入②得， ， ， ，解得． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是第二象限一点，轴于点，且是轴正半轴上一点，是轴负半轴上一点，且， (1)求点坐标； (2)如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)如图3，当点在线段上运动时，作交于，，的平分线交于，则点运动的过程中的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的大小不变， 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解点坐标，再由梯形面积公式求解，即可求解点坐标； （2）延长，根据角平分线以及互余的性质进行等量代换求解即可； （3）连接，先由互余性质可得，由角平分线可得，即，故，在△中，，则，最后在△中，由求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， ，即， ， 轴于点， 点坐标为； （2）解：延长，如图2所示： 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 轴， ， ， 是的角平分线， ， ， 在△中，， ， 在△中， ， 点在运动过程中，的大小不变，其值为 【变式题12-2】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】 (1)如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 (2)如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 (3)如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 【答案】(1)，   理由如下：如图1，作直线为过点且平行于直线的直线： ，， ， ，， ， 即； (2)；理由如下：如图2， 设，， 平分，平分， ，， 由（1）得， 即， ， ， ，， ， ； 即； (3) 【分析】（1）①作直线为过点且平行于直线的直线，根据平行线的性质即可求解； （2）设，，证明即可得到结论； （3）设，，由（1），， ，根据已知条件求出，，根据三角形外角定理得到，，根据即可求出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，， 由（1）得， ∴，， ， ∵、、、分别是、、、的三等分线，且， ∴，， ，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图①，在中，点是延长线上一点，点是内部一点．若平分，平分．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ，， ，，． 平分，平分，，． ，，． (1)如图②，若，．求证：． (2)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针或逆时针旋转，点是线段上的一点，点是射线上的一点（不与点重合）．连接，在内部作射线，使得，在内部作射线，使得，射线的反向延长线与射线交于点．设射线旋转的时间为秒，且）： ①当秒，求的度数； ②当时，______（直接写出答案，用含字母的代数式表示） 【答案】(1)证明：，， ，， ； ∵，，， ， ； (2)①或；②或 【分析】（1）仿照题意证明即可； （2）①仿照（1）可证明，再分两种情况：射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转15秒和射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转15秒，两种情况求出的度数即可得到答案；②可证明，再分两种情况：射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转和射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，两种情况求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转15秒时， 则， ∴； 当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转15秒时， 则， ∴； 综上所述，的度数为或； ②如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转时， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转时， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 易错点 1.三角形分类概念混淆：误认为等腰三角形不包含等边三角形，或按角分类时忽略直角三角形、钝角三角形的判定标准。 2.等腰三角形边长问题漏验证：讨论腰和底的两种情况后，忘记用三边关系验证能否构成三角形，导致出现错误答案。 3.高的位置忽略分类：题目未说明三角形类型时，默认高在三角形内部，遗漏钝角三角形高在外部的情况，造成漏解。 4.外角性质理解错误：误认为三角形的外角等于两个内角的和，忽略“不相邻”的限制条件。 5.角平分线模型结论记混：双内角、一内一外、双外角平分线的角度结论混淆，计算时系数或符号出错。 重点 1.三角形三边关系定理，以及利用三边关系判断线段能否构成三角形、求第三边取值范围。 2.三角形内角和定理与外角性质，这是所有角度计算的核心依据。 3.三角形的中线、角平分线、高的定义与相关性质，尤其是中线与面积、周长的关系。 4.直角三角形的性质与判定，以及与角度计算的综合应用。 难点 1.三角形角度的综合计算，尤其是角平分线、平行线、翻折多模型叠加的复杂角度推导。 2.三角形中的分类讨论问题，包括高的位置、等腰三角形的边长与角度分类。 3.规律探究、新定义类创新题型，需要较强的知识迁移与逻辑推理能力。 4.辅助线构造与角度模型的灵活应用，实现复杂图形的角度转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题根据等腰三角形定义，分三种情况讨论的可能长度，结合三角形三边关系验证，即可得出不可能的值． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此不可能． 2．已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 3．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得出 ，再根据平角的性质求出 ，利用角度的和差关系计算即可． 【详解】解：折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 5．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 6．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 【答案】36 【分析】先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 【答案】 【分析】先通过三角形内角和定理求出，再求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出. 【详解】由三角形内角和为可知， ， 由两直线平行，内错角相等得 . 8．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 10．如图，中，是边上的高，平分，，交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形的高的定义可得，进而求得，根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ． ． 平分． ． 是的外角． ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 知识点1：三角形的概念与分类 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边组成的角是三角形的内角。 2.三角形的分类 分类依据 类别 说明 按边的大小关系 三边都不相等的三角形 三条边长度均不相等 等腰三角形 有两条边相等；等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等） 按角的大小 锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 知识点2：三角形的三边关系 1.核心定理：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 2.快速判定方法：若两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段能组成三角形。 3.取值范围：已知三角形两边长为、（），则第三边长的取值范围是。 知识点3：三角形的三条重要线段 对比呈现中线、角平分线、高的定义与性质： 线段名称 定义 交点名称 交点位置 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 重心 三角形内部 角平分线 三角形一个角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 内心 三角形内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 垂心 锐角三角形：内部；直角三角形：直角顶点；钝角三角形：外部 知识点4：三角形内角和定理 1.定理内容：三角形三个内角的和等于。 2.直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点5：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2.核心性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角和等于。 知识点6：三角形的稳定性与重心 1.稳定性：三角形具有稳定性，四边形及以上多边形不具有稳定性，生活中常利用三角形结构加固物体。 2.重心：三角形三条中线的交点叫做重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍；每条中线都将三角形分成面积相等的两部分。 【基础必考题型】 【题型1】三角形的概念识别与分类判断 1.核心知识点: 三角形的定义与基本元素 三角形按边、按角的分类标准 2.解题方法技巧: 判断分类时明确：等边三角形是特殊的等腰三角形，避免分类遗漏 按角分类只需看最大内角：最大角是锐角则为锐角三角形，以此类推 【例题1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·福建宁德·阶段检测）在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）下列命题中为假命题的是（　　） A．等腰三角形的两腰相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合 D．等腰三角形不是轴对称图形 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【题型2】三角形三边关系的应用 1.核心知识点: 三角形三边关系定理 第三边的取值范围求解 2.解题方法技巧: 判断能否构成三角形：只需验证两短边之和大于最长边，无需三组逐一验证 求第三边范围：直接用“两边之差<第三边<两边之和”快速求解 【例题2】.（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【题型3】三角形稳定性的实际应用 1.核心知识点: 三角形的稳定性 多边形不稳定性的加固方法 2.解题方法技巧: 图形中包含三角形结构则具有稳定性，全为四边形则不具有 边形木架保持不变形，至少需要钉根木条转化为三角形结构 【例题3】.（2026·河南开封·模拟预测）下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·吉林松原·模拟预测）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【题型4】三角形中线与周长、面积的计算 1.核心知识点: 三角形中线的定义 中线等分三角形面积的性质 2.解题方法技巧: 周长差问题：中线分对边相等，两个三角形的周长差等于两邻边的长度差 面积问题：一条中线将三角形分成面积相等的两部分，多组中线可逐级推导 【例题4】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式题4-1】.（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，中，，E为的中点，与相交于P，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为，记针尖落在区域内的概率为，则_______． 【题型5】三角形内角和与直角三角形判定 1.核心知识点: 三角形内角和定理 直角三角形两锐角互余的性质与判定 2.解题方法技巧: 角度计算可设未知数列方程，利用内角和为建立等量关系 判定直角三角形可通过“两锐角互余”直接推导，无需计算第三个角 【例题5】.（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【变式题5-1】.（22-23七年级下·山西太原·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【题型6】三角形外角的角度计算 1.核心知识点: 三角形外角的定义 外角等于不相邻两内角和的性质 2.解题方法技巧: 利用外角性质可实现角度快速转化，避免多次使用内角和定理 涉及多个外角时，可结合外角和为简化计算 【例题6】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，如果，，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【培优高频题型】 【题型7】三边关系综合：绝对值化简与等腰三角形分类讨论 1.核心知识点: 三角形三边关系 绝对值的化简规则 等腰三角形的分类讨论 2.解题方法技巧: 化简含边长的绝对值：先根据三边关系判断式子正负，再去绝对值符号 等腰三角形边长问题：分已知边为腰、为底两种情况讨论，最后必须用三边关系验证能否构成三角形 【例题7】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【题型8】平行线与三角形结合的角度计算 1.核心知识点: 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角） 三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧: 先利用平行线找到相等或互补的角，再将角度转化到同一个三角形中 出现“八字形”结构时，可直接利用“对顶三角形两内角和相等”的结论 【例题8】.（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，点为上方一点. (1)如图1所示，为上一动点，交于点，求证：； (2)如图2，的延长线交直线于点，和的平分线相交于点，若，请用含的式子表示并证明你的结论； (3)如图3，平分，若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，直接写出对应的与的数量关系. 【题型9】三角形翻折问题中的角度计算 1.核心知识点: 翻折的性质（对应角、对应边相等） 三角形内角和与平角性质 2.解题方法技巧: 翻折前后对应角相等，标记相等的角，结合平角、内角和建立等式 多个翻折叠加时，从内到外逐步推导，注意折叠后角的位置变化 【例题9】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）在数学课上，同学们将一块含角的直角三角尺（顶点、、逆时针方向排列）摆放在两条平行线，上，顶点始终在直线上．其中，． (1)如图（1），当时，则的度数为 °． (2)如图（2），将三角尺绕着顶点旋转，当顶点在下方，顶点在两平行线之间时，延长线交直线于点，，分别在，内部且交于点，且，，请探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的顶点在直线上，边交直线于点，将三角形沿翻折，顶点落在点处，在下方，且．点为线段延长线上一动点，连接，的平分线所在直线交直线于点，直接写出与之间的数量关系． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【压轴素养题型】 【题型10】重心与面积综合应用（重心探究情境） 1.核心知识点: 三角形重心的性质 中线等分三角形面积的规律 组合图形面积推导 2.解题方法技巧: 重心分中线为2:1两段，对应同高三角形的面积比也为2:1 多中点问题中，逐级利用“中线分面积为两半”的性质，推导小面积与大面积的比例关系 【例题10】.（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏南通·期末）【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． (1)如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； (2)求证：； (3)若的面积为20，，则的最小值为 ． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； (2)如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； (4)如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【变式题10-3】.（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 【题型11】三角形新定义题型（素养创新） 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 三角形三边、角度相关核心知识 2.解题方法技巧: 先精读新定义，圈出核心限制条件，明确新定义的判定标准 将新定义问题转化为熟悉的三边关系、角度计算、分类讨论等常规问题求解 【例题11】.（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【变式题11-2】.（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【变式题11-3】.（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【题型12】三角形角度综合：多模型叠加与辅助线构造 1.核心知识点: 三角形内角和、外角性质 飞镖模型、八字模型等常用角度模型 辅助线的构造方法 【例题12】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点． (1)若，_______； (2)若，_______； (3)如图，若再分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，试求的度数； (4)在（3）的条件下，如图，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若、和满足的数量关系为（、为常数），请直接写出、的值：________，________． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是第二象限一点，轴于点，且是轴正半轴上一点，是轴负半轴上一点，且， (1)求点坐标； (2)如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)如图3，当点在线段上运动时，作交于，，的平分线交于，则点运动的过程中的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】 (1)如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 (2)如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 (3)如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图①，在中，点是延长线上一点，点是内部一点．若平分，平分．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ，， ，，． 平分，平分，，． ，，． (1)如图②，若，．求证：． (2)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针或逆时针旋转，点是线段上的一点，点是射线上的一点（不与点重合）．连接，在内部作射线，使得，在内部作射线，使得，射线的反向延长线与射线交于点．设射线旋转的时间为秒，且）： ①当秒，求的度数； ②当时，______（直接写出答案，用含字母的代数式表示） 易错点 1.三角形分类概念混淆：误认为等腰三角形不包含等边三角形，或按角分类时忽略直角三角形、钝角三角形的判定标准。 2.等腰三角形边长问题漏验证：讨论腰和底的两种情况后，忘记用三边关系验证能否构成三角形，导致出现错误答案。 3.高的位置忽略分类：题目未说明三角形类型时，默认高在三角形内部，遗漏钝角三角形高在外部的情况，造成漏解。 4.外角性质理解错误：误认为三角形的外角等于两个内角的和，忽略“不相邻”的限制条件。 5.角平分线模型结论记混：双内角、一内一外、双外角平分线的角度结论混淆，计算时系数或符号出错。 重点 1.三角形三边关系定理，以及利用三边关系判断线段能否构成三角形、求第三边取值范围。 2.三角形内角和定理与外角性质，这是所有角度计算的核心依据。 3.三角形的中线、角平分线、高的定义与相关性质，尤其是中线与面积、周长的关系。 4.直角三角形的性质与判定，以及与角度计算的综合应用。 难点 1.三角形角度的综合计算，尤其是角平分线、平行线、翻折多模型叠加的复杂角度推导。 2.三角形中的分类讨论问题，包括高的位置、等腰三角形的边长与角度分类。 3.规律探究、新定义类创新题型，需要较强的知识迁移与逻辑推理能力。 4.辅助线构造与角度模型的灵活应用，实现复杂图形的角度转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 3．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 5．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 6．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 三、解答题 7．如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 8．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 9．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 10．如图，中，是边上的高，平分，，交于点．若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $