第十七章 因式分解章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理因式分解章末知识体系，涵盖5大知识点，包括因式分解的概念、提公因式法、公式法、十字相乘法及应用，明确各方法的定义、步骤和要点，呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于6大题型分类设计，如已知分解结果求参数题型，通过整式乘法与因式分解互逆关系展开对比系数，培养推理意识，应用题型结合几何图形面积计算等实例，强化应用意识。配套巩固与强化训练分层设置，帮助不同层次学生掌握方法，助力教师实施精准教学。

第十七章 因式分解章末重难点复习 5知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解因式分解的定义，掌握已知因式分解的结果求参数； 2.熟练掌握因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法）； 3.掌握因式分解的应用（简便运算、代数计算中的应用、几何图形中的应用）； 1.因式分解的相关概念 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式。 与整式乘法的关系： 互逆变形——整式乘法是”积化和差”，因式分解是”和差化积”。 判断标准： 左边是多项式，右边是整式乘积，左右恒等。 一般步骤： 一提（公因式）、二套（公式/十字）、三查（是否分解彻底）。 2.用提公因式法分解因式 公因式确定： 系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂。 公式： ， 可为单项式或多项式。 要点： · 公因式要提净，某项就是公因式时剩”1”不漏写 · 首项为负先提负号 · ，统一后再提 3.用公式法分解因式 平方差公式： · 适用：二项式，两项异号且都是平方形式 完全平方公式： · 适用：三项式，两平方项同号，中间项是积的 2 倍 要点： 有公因式先提；分解要彻底（如 需继续分解 ）。 4.用十字相乘法分解因式 型： · 找两个数：积为常数项，和为一次项系数 型： · ，， 步骤： 竖分二次项与常数项 交叉相乘验中项 横向写出两因式。 符号规律： 常数项正，两因数同号（与一次项同号）；常数项负，两因数异号（大绝对值与一次项同号）。 5. 因式分解的应用 （1）简便计算 · 利用因式分解简化有理数运算，如提取公因数、套用平方差/完全平方 · 示例： · 示例： （2）化简求值 · 先对多项式因式分解，再整体代入求值 · 已知条件与所求代数式之间通过因式分解建立联系 · 关键：分解后出现与已知条件相同的因式，整体代入 （3）整除问题 · 证明一个多项式能被某数（或式）整除：将多项式分解出该因数 · 示例：证明 能被 6 整除 ，三个连续整数中必有 2 和 3 的倍数 （4）判断三角形形状 · 已知三角形三边 、、 满足的关系式，通过因式分解变形 · 得到 或 等形式，推出边相等 · 从而判断等腰、等边或直角三角形 （5）解几何图形问题 · 利用因式分解表示图形面积、周长等量关系 · 如正方形面积差用平方差分解，求边长关系 （6） 解简单方程 · 将方程右边化为 0，左边因式分解 · 利用”若 ，则 或 “求解 · 这是因式分解法解一元二次方程的基础（后续学习） （7）探究规律与证明 · 对代数式因式分解后分析其性质（正负性、整除性、最值等） · 证明代数恒等式：左右两边分别因式分解，化为相同形式 题型01 已知因式分解的结果求参数 【典例】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 解题梳理 解题核心： 利用因式分解与整式乘法互逆，将分解结果展开后与原式对比系数。 基本方法： - 将右边的因式乘积按整式乘法展开 - 与左边原多项式的对应项系数对比 - 列方程（组）求解参数 常见类型： - 已知 ，求 、 ， - 已知分解结果含参数，求原式中的未知系数 展开对比 - 已知多项式能被某因式整除，求参数 设商式，利用恒等关系 关键技巧： - 对应项系数必须一一相等 - 注意常数项、一次项、二次项分别对比 - 若有多个参数，需列方程组求解 易错提醒： 展开时不要漏项；系数对比时注意符号。 【变式1-1】（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解m，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 【详解】解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 【变式1-4】（2026·广东东莞·二模）已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 题型02 用提公因式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）把多项式分解因式的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出多项式的公因式，提取公因式得到结果，对比选项即可求解. 【详解】解：观察多项式， ∵两项的公因式为， ∴提取公因式得. 解题梳理 解题核心： 找准公因式，一次提净。 解题步骤： - 第一步：确定公因式——系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂 - 第二步：将公因式提到括号外 - 第三步：原多项式除以公因式，商写在括号内 - 第四步：检查括号内是否还有公因式，是否可继续分解 常见情形： - 单项式公因式：直接提取 - 多项式公因式：把多项式看作整体提取 - 需变形后提取：，统一底数后再提 要点提醒： - 某项就是公因式时，提取后剩“1”，不能漏写 - 首项系数为负时，一般先提负号，括号内各项变号 - 公因式要提“全”提“净” 【变式2-1】（25-26八年级下·四川达州·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式2-3】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 【答案】 【分析】找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式2-4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解：________． 【答案】 【详解】解： 题型03 用公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知，，可得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 解题梳理 解题核心： 识别公式特征，准确套用。 平方差公式： - 形式： - 识别：二项式，两项异号，每项都能写成平方形式 - 步骤：确定 、 代入公式 检查是否还能继续分解 完全平方公式： - 形式： - 识别：三项式，有两项是平方项且同号，第三项是两底数积的2倍 - 步骤：确定首平方 、尾平方 验证中间项是否为 代入公式 要点提醒： - 公式中的 、 可以是数、单项式或多项式，要整体看待 - 平方差分解后，若因式仍为平方差形式，要继续分解（如 ） - 完全平方结果是一个因式的平方，不要写成两个不同因式 - 中间项不是2倍关系的不能用完全平方公式 【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：完全平方公式的结构为， ∵ 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，∴ 选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式3-4】（2026·河南周口·二模）分解因式__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 题型04 综合提公因式法与公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 解题梳理 解题核心： 先提公因式，再套公式，最后检查是否彻底。 解题步骤： - 第一步：观察各项是否有公因式，有则先提取（提公因式法） - 第二步：观察提取公因式后的多项式（或原式无公因式时），判断能否用公式 - 二项式 考虑平方差 - 三项式 考虑完全平方 - 第三步：套用公式分解 - 第四步：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分为止 常见结构： - 先提公因式后用平方差：如 - 先提公因式后用完全平方：如 - 提公因式后仍需多次用公式：如 要点提醒： - 严格遵循“一提二套三查”的顺序 - 提公因式后不要忘记继续分解 - 分解必须彻底，每个因式在指定范围内不能再分解 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形后提取公因式即可完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式： ． 【变式4-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后代入和的值计算即可得到结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型05 用十字相乘法分解因式 【典例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 解题梳理 解题核心： 竖分两端，交叉验中，横写结果。 二次项系数为1型（）： - 找两个数：积为常数项 ，和为一次项系数 - 分解结果：，其中 ， - 常数项正：两数同号（与一次项系数同号） - 常数项负：两数异号（大绝对值与一次项系数同号） 二次项系数不为1型（）： - 二次项系数 分解为 （竖写左边） - 常数项 分解为 （竖写右边） - 交叉相乘之和 （一次项系数） - 结果： 解题步骤： - 第一步：分解二次项系数和常数项（尝试多种组合） - 第二步：交叉相乘，验证是否等于一次项系数 - 第三步：验证通过后，横向写出两个因式 - 第四步：用整式乘法检验结果是否正确 要点提醒： - 需要耐心尝试，因数分解方式和符号都可能调整 - 交叉相乘验证是关键步骤，不能省略 - 结果横向书写，不要写成对角线乘积 - 不是所有二次三项式都能在整数范围内十字相乘 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：∵，且， 故利用十字相乘法可得， 故答案为：． 【变式5-4】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键； 使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【详解】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 题型06 因式分解的应用 【典例】（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题梳理 解题核心： 将多项式化为积的形式，利用积的特性解决问题。 1. 简便计算 · 提取公因数简化运算 · 平方差公式：，如 · 完全平方公式：如 · 关键：观察数字特征，凑成公式形式 2. 化简求值 · 先因式分解，再整体代入 · 已知 、 等值，求 等 用完全平方变形 · 关键：分解后出现与已知条件相同的因式，整体代入不求单个变量 3. 整除问题 · 证明多项式能被某数整除 分解出该因数 · 如 ，三个连续整数乘积必被6整除 · 关键：分解后分析因数的性质 4. 判断三角形形状 · 已知三边 、、 的关系式 因式分解变形 · 得到 （等腰）； 或 · 得到 直角三角形 · 关键：通过移项、因式分解将关系式化为“积为0”的形式 5. 解几何面积问题 · 用因式分解表示面积差、面积和 · 如大正方形减小正方形面积 · 关键：将面积代数式因式分解，转化为线段乘积 6. 解简单方程 · 方程右边化为0，左边因式分解 · 利用 或 求解 · 这是因式分解法解一元二次方程的基础 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 【变式6-2】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2)多项式的最大值为 (3) 【分析】（1）先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值； （3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 【变式6-3】（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 【变式6-4】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)所生成的密码为101119 (2)生成的密码是282114 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）先分解因式再求出当时各个式子的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当，时，各个式子的值，从而求出密码． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119． （2）解：， 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用提公因式法分解时，应提出的公因式为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公因式的意义求解． 【详解】解：∵各项系数的最大公约数为2， 各项都有字母为， 对应字母的最低次幂均为1次， ∴应提出的公因式为． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确该二次三项式符合十字相乘法分解因式的适用形式，确定使用十字相乘法解题．因为二次项系数为1，所以需要找到两个整数，满足乘积等于常数项，且和等于一次项系数1。将找到的两个整数分别代入两个一次因式的常数项，写出分解后的因式形式，对应选项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断因式分解需同时满足两个条件：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、满足因式分解的条件，属于因式分解，该选项符合题意； D、的左边是单项式，不属于因式分解，该选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·广东茂名·期末）下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、对提取公因式，得，因式分解正确； 选项B、是完全平方式，由完全平方公式得，因式分解正确； 选项C、的公因式为，，原式分解未提尽公因式，因式分解错误； 选项D、由平方差公式分解得，因式分解正确． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 【答案】A 【分析】先对给定多项式用平方差公式因式分解，再代入p、q的值计算各因式的结果，将结果从小到大排序后拼接得到密码，即可选出正确选项． 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：先提取原式的公因式，得， ， 利用平方差公式分解得， 因此． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 【答案】84 【分析】根据长方形的面积和周长得到，，再把因式分解，最后整体代入即可求出答案． 【详解】解：一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12， ∴，， ∴ 10．（25-26八年级下·山东青岛·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 【答案】 【分析】观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论． 【详解】解：． 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若，，求的值． 【答案】6 【分析】把提公因式后，再根据完全平方差公式分解因式得，最后把，代入化简后的式子计算即可得答案． 【详解】解： ， ，， ∴原式． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）把下列各式因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可； （2）先由平方差公式因式分解，再对每个因式由完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 15．（25-26八年级下·广东茂名·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明：设四个连续整数为，，，（为整数）， 则四个连续整数的积与1的和为， ， ， 令，则 原式， ， ， ， 为整数， 是整数， 四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】（1）将多项式整体代换简化二次式，用完全平方公式逐层因式分解即可； （2）对四个一次因式分组相乘构造整体，结合已知方程整体代入求值即可； （3）设四个连续整数为，，，（为整数），分组相乘构造相同二次整体，换元后配成完全平方即可完成证明． 【详解】（1）解：， 令，则 原式， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【强化训练】 1．（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 【答案】C 【分析】本题运用平方差公式对进行因式分解，得到原式的因数，即可判断出不能整除它的数． 【详解】解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 4．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【详解】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若为实数，且满足，则_______． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求解，完全平方公式的非负性等知识．根据题意得到，进一步变形为，求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以． 故答案为：9 7．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________． 【答案】15 【分析】本题考查因式分解的应用．设这两个连续奇数为和，则，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除，据此求解即可． 【详解】解：设这两个连续奇数为和，则 ． 因此两个连续奇数的平方差能被8整除． 正整数为8的正约数：1，2，4，8． 这些约数的和为． 故答案为：15． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 【答案】 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 10．（25-26八年级上·浙江舟山·阶段检测）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 【答案】或781 【分析】根据密码的构成规则，由第一位因式码和第二位因式码构成的数为，可得，或， ，再将所求第三位因式码利用完全平方公式变形，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵第一位因式码和第二位因式码构成的数是， ∴，或， 当，时，原式， 当，时，原式， 综上所述，的值为28或781． 11．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】证明：∵ ，， ∴ 原式 ． 设， 则原式 ． ∵ 对任意实数，， ∴ 多项式的值一定是非负数． 【分析】先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】略 12．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知m、n都是实数，且，求的值． 【答案】或 【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可． 【详解】解： ， ， 可得或， 当时，； 当时，， ，， 综上，的值为或． 13．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当 时， ， ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由． 【答案】， ∵小阳手机的锁屏密码是6位数字141213，且结合 ∴，，， ∴． 答：小阳当前年龄是13岁． 【分析】先将原式分解成，结合题意得，，，据此计算即可作答． 【详解】解：略 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：； (2)已知，，分别为的三条边，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将前两项和后两项分组，前两项用平方差公式得，后两项提取公因式得；再提取公因式，得到； （2）将和分组；前三项用完全平方公式得，再与用平方差公式得；结合三角形三边关系：，，乘积小于0，得证． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为a，b，c为的三边， 所以，， 因此， 即． 15．（25-26八年级下·河南·期中）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； (2)若多项式分解因式后，利用前面的方法，当时，可以得到密码为242932，求，的值． 【答案】(1)273033 (2)，的值分别为29，8 【分析】（1）把原多项式因式分解，再把代入各因式，即可求解； （2）设，根据题意可得，，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，，， 王老师密码为273033； （2）解：， 设， 当时，可以得到密码为242932， ，， ，， ， ， 解得． ，的值分别为29，8． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解章末重难点复习 5知识点+6题型+巩固训练+强化训练 1.理解因式分解的定义，掌握已知因式分解的结果求参数； 2.熟练掌握因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法）； 3.掌握因式分解的应用（简便运算、代数计算中的应用、几何图形中的应用）； 1.因式分解的相关概念 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式。 与整式乘法的关系： 互逆变形——整式乘法是”积化和差”，因式分解是”和差化积”。 判断标准： 左边是多项式，右边是整式乘积，左右恒等。 一般步骤： 一提（公因式）、二套（公式/十字）、三查（是否分解彻底）。 2.用提公因式法分解因式 公因式确定： 系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂。 公式： ， 可为单项式或多项式。 要点： · 公因式要提净，某项就是公因式时剩”1”不漏写 · 首项为负先提负号 · ，统一后再提 3.用公式法分解因式 平方差公式： · 适用：二项式，两项异号且都是平方形式 完全平方公式： · 适用：三项式，两平方项同号，中间项是积的 2 倍 要点： 有公因式先提；分解要彻底（如 需继续分解 ）。 4.用十字相乘法分解因式 型： · 找两个数：积为常数项，和为一次项系数 型： · ，， 步骤： 竖分二次项与常数项 交叉相乘验中项 横向写出两因式。 符号规律： 常数项正，两因数同号（与一次项同号）；常数项负，两因数异号（大绝对值与一次项同号）。 5. 因式分解的应用 （1）简便计算 · 利用因式分解简化有理数运算，如提取公因数、套用平方差/完全平方 · 示例： · 示例： （2）化简求值 · 先对多项式因式分解，再整体代入求值 · 已知条件与所求代数式之间通过因式分解建立联系 · 关键：分解后出现与已知条件相同的因式，整体代入 （3）整除问题 · 证明一个多项式能被某数（或式）整除：将多项式分解出该因数 · 示例：证明 能被 6 整除 ，三个连续整数中必有 2 和 3 的倍数 （4）判断三角形形状 · 已知三角形三边 、、 满足的关系式，通过因式分解变形 · 得到 或 等形式，推出边相等 · 从而判断等腰、等边或直角三角形 （5）解几何图形问题 · 利用因式分解表示图形面积、周长等量关系 · 如正方形面积差用平方差分解，求边长关系 （6） 解简单方程 · 将方程右边化为 0，左边因式分解 · 利用”若 ，则 或 “求解 · 这是因式分解法解一元二次方程的基础（后续学习） （7）探究规律与证明 · 对代数式因式分解后分析其性质（正负性、整除性、最值等） · 证明代数恒等式：左右两边分别因式分解，化为相同形式 题型01 已知因式分解的结果求参数 【典例】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 解题梳理 解题核心： 利用因式分解与整式乘法互逆，将分解结果展开后与原式对比系数。 基本方法： - 将右边的因式乘积按整式乘法展开 - 与左边原多项式的对应项系数对比 - 列方程（组）求解参数 常见类型： - 已知 ，求 、 ， - 已知分解结果含参数，求原式中的未知系数 展开对比 - 已知多项式能被某因式整除，求参数 设商式，利用恒等关系 关键技巧： - 对应项系数必须一一相等 - 注意常数项、一次项、二次项分别对比 - 若有多个参数，需列方程组求解 易错提醒： 展开时不要漏项；系数对比时注意符号。 【变式1-1】（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知多项式可分解成，则_____． 【变式1-4】（2026·广东东莞·二模）已知整式分解因式的结果为，则______． 题型02 用提公因式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）把多项式分解因式的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 找准公因式，一次提净。 解题步骤： - 第一步：确定公因式——系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂 - 第二步：将公因式提到括号外 - 第三步：原多项式除以公因式，商写在括号内 - 第四步：检查括号内是否还有公因式，是否可继续分解 常见情形： - 单项式公因式：直接提取 - 多项式公因式：把多项式看作整体提取 - 需变形后提取：，统一底数后再提 要点提醒： - 某项就是公因式时，提取后剩“1”，不能漏写 - 首项系数为负时，一般先提负号，括号内各项变号 - 公因式要提“全”提“净” 【变式2-1】（25-26八年级下·四川达州·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【变式2-3】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）因式分解：_______． 【变式2-4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解：________． 题型03 用公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知，，可得（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 识别公式特征，准确套用。 平方差公式： - 形式： - 识别：二项式，两项异号，每项都能写成平方形式 - 步骤：确定 、 代入公式 检查是否还能继续分解 完全平方公式： - 形式： - 识别：三项式，有两项是平方项且同号，第三项是两底数积的2倍 - 步骤：确定首平方 、尾平方 验证中间项是否为 代入公式 要点提醒： - 公式中的 、 可以是数、单项式或多项式，要整体看待 - 平方差分解后，若因式仍为平方差形式，要继续分解（如 ） - 完全平方结果是一个因式的平方，不要写成两个不同因式 - 中间项不是2倍关系的不能用完全平方公式 【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）把因式分解的结果是________． 【变式3-4】（2026·河南周口·二模）分解因式__________． 题型04 综合提公因式法与公式法分解因式 【典例】（25-26八年级下·陕西西安·期末）因式分解： (1)； (2) 解题梳理 解题核心： 先提公因式，再套公式，最后检查是否彻底。 解题步骤： - 第一步：观察各项是否有公因式，有则先提取（提公因式法） - 第二步：观察提取公因式后的多项式（或原式无公因式时），判断能否用公式 - 二项式 考虑平方差 - 三项式 考虑完全平方 - 第三步：套用公式分解 - 第四步：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分为止 常见结构： - 先提公因式后用平方差：如 - 先提公因式后用完全平方：如 - 提公因式后仍需多次用公式：如 要点提醒： - 严格遵循“一提二套三查”的顺序 - 提公因式后不要忘记继续分解 - 分解必须彻底，每个因式在指定范围内不能再分解 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式： (1) (2) 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【变式4-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）因式分解： (1) (2) 【变式4-4】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）先因式分解，再求值：，其中，． 题型05 用十字相乘法分解因式 【典例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解题梳理 解题核心： 竖分两端，交叉验中，横写结果。 二次项系数为1型（）： - 找两个数：积为常数项 ，和为一次项系数 - 分解结果：，其中 ， - 常数项正：两数同号（与一次项系数同号） - 常数项负：两数异号（大绝对值与一次项系数同号） 二次项系数不为1型（）： - 二次项系数 分解为 （竖写左边） - 常数项 分解为 （竖写右边） - 交叉相乘之和 （一次项系数） - 结果： 解题步骤： - 第一步：分解二次项系数和常数项（尝试多种组合） - 第二步：交叉相乘，验证是否等于一次项系数 - 第三步：验证通过后，横向写出两个因式 - 第四步：用整式乘法检验结果是否正确 要点提醒： - 需要耐心尝试，因数分解方式和符号都可能调整 - 交叉相乘验证是关键步骤，不能省略 - 结果横向书写，不要写成对角线乘积 - 不是所有二次三项式都能在整数范围内十字相乘 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）因式分解：________． 【变式5-4】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：_______． 题型06 因式分解的应用 【典例】（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 解题梳理 解题核心： 将多项式化为积的形式，利用积的特性解决问题。 1. 简便计算 · 提取公因数简化运算 · 平方差公式：，如 · 完全平方公式：如 · 关键：观察数字特征，凑成公式形式 2. 化简求值 · 先因式分解，再整体代入 · 已知 、 等值，求 等 用完全平方变形 · 关键：分解后出现与已知条件相同的因式，整体代入不求单个变量 3. 整除问题 · 证明多项式能被某数整除 分解出该因数 · 如 ，三个连续整数乘积必被6整除 · 关键：分解后分析因数的性质 4. 判断三角形形状 · 已知三边 、、 的关系式 因式分解变形 · 得到 （等腰）； 或 · 得到 直角三角形 · 关键：通过移项、因式分解将关系式化为“积为0”的形式 5. 解几何面积问题 · 用因式分解表示面积差、面积和 · 如大正方形减小正方形面积 · 关键：将面积代数式因式分解，转化为线段乘积 6. 解简单方程 · 方程右边化为0，左边因式分解 · 利用 或 求解 · 这是因式分解法解一元二次方程的基础 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【变式6-2】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【变式6-3】（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【变式6-4】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用提公因式法分解时，应提出的公因式为（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东茂名·期末）下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）因式分解：__________． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）分解因式：______． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若，，求的值． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）把下列各式因式分解 (1) (2) 13．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 14．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 15．（25-26八年级下·广东茂名·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解． 解：把看作一个整体，令，则 原式， ， ． 上述解题用到的是“整体思想”．“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)请尝试证明：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若为实数，且满足，则_______． 7．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）计算：__________． 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 10．（25-26八年级上·浙江舟山·阶段检测）有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 11．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）求证：多项式的值一定是非负数． 12．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知m、n都是实数，且，求的值． 13．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当 时， ， ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由． 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如，观察这个式子就会发现：前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：； (2)已知，，分别为的三条边，求证：． 15．（25-26八年级下·河南·期中）人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．把因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，王老师当前年龄是30岁．求王老师手机的锁屏密码； (2)若多项式分解因式后，利用前面的方法，当时，可以得到密码为242932，求，的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $