专题14 因式分解（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学因式分解核心知识点，从定义切入明确与整式乘法的互逆关系，通过分解原则（彻底、首项为正、结果规范）搭建基础，系统梳理提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四大方法，结合“一提二套三叉四分”口诀形成完整学习支架。 资料以分层题型（典例、变式、巩固/强化训练）为特色，融入求值、推理等综合应用，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识（步骤逻辑）与应用意识（问题解决）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化分解技能。

专题 14 因式分解 1.掌握因式分解定义、基本方法，能区分因式分解与整式乘法； 2.熟练运用提公因式法、公式法分解多项式； 3.掌握分组分解、十字相乘法，能分解二次三项式、高次多项式； 4.结合求值、化简、解方程、三角形边长综合题型灵活运用因式分解。 1. 因式分解定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 区分：整式乘法（积→和差）；因式分解（和差→积），二者互逆变形。 2. 分解基本原则 分解彻底：每个因式不能再继续分解； 首项为正：多项式首项系数为负时，先提取负号； 结果规范：相同因式写成幂的形式，括号内化简、无中括号。 3. 四大基础方法 （1）提公因式法 公式：；拓展：整体公因式，如当作整体提取。 （2）公式法 平方差公式：；特征：两项、平方项、符号相反 完全平方公式： ；； 特征：三项、两平方项、中间项为底数乘积 2 倍 拓展立方公式（拓展考点） （3）十字相乘法（二次三项式） 型：找两数，满足 （4）分组分解法 例： 4. 通用分解步骤（口诀） 一提（提公因式）→二套（套乘法公式）→三叉（十字相乘）→四分（分组分解），分解到不能再分解为止。 题型 01 因式分解的的定义 【典例1】下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+3x+3＝x（x+3）+3 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 【变式】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x+5）＝x2+5x B．（x+1）（x+1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2+2x+4＝（x+1）2+3 题型 02 因式分解 【典例2】一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（　　） A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 C．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） D．x3﹣x＝x（x2﹣1） 【变式】下面是甲、乙两位同学因式分解﹣x3+x的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝﹣x（x+1）（x﹣1） 乙同学：原式＝x（1+x）（1﹣x） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 题型 03 运用因式分解进行求值 【典例3】计算32×2024+42×2024+72×2024的结果为（　　） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 【变式】992+99的计算结果是　　 ． 题型 04 运用因式分解进行推理 【典例4】如果2x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　　 ． 【变式】若x2﹣m在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则有理数m的值可以是　　 ． 【巩固训练】 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 C．a2+2ab+b2＝a（a+2b）+b2 D．3m2﹣m＝m（3m﹣1） 2. 多项式15x3y2﹣10x2y3+5x2y2的公因式是（　　） A．5x2y2 B．5xy2 C．5x3y2 D．5x2y 3. 把多项式m3n4﹣mnkp因式分解时，提取的公因式是mn4，则k的值可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4. 已知多项式x2﹣5x+4因式分解后是（x﹣1）（x+m），则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5 5．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式　 ． 6. 若多项式16x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　　 ． 7. 因式分解： （1）6m2﹣3m； （2）﹣16x4+81y4； （3）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2． 8. 对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使x2+2ax﹣3a2中的前两项与a2构成完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进步分解．于是x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． （1）如果a2﹣4a+（　　 ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为　　 ； （2）用“配方法”分解因式：x2+6x﹣7； （3）用“配方法”分解因式：3x2﹣6x﹣12． 【强化训练】 1. （2025秋•召陵区期末）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 2. （2026春•钱塘区期末）甲、乙两位同学分解因式﹣m2n+mn2的结果分别为﹣mn（m+n）和mn（n﹣m）．下列说法正确的是（　　） A．甲错误，乙正确 B．甲乙都正确 C．甲正确，乙错误 D．甲乙都错误 3. （2026春•洋县期末）若多项式x2+（a+2）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．6或﹣10 B．﹣6 C．10 D．﹣6或10 4. （2026春•南山区期末）若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则a2b+ab2的值为　　 ． 5．（2026春•鼓楼区校级月考）已知x﹣y＝3，xy＝1，则x4+y4＝　　 ． 6. （2026春•兰州期末）已知a2+a﹣1＝0，求a3+2a2+2026的值　　 ． 7. （2026春•徐州期中）试证明102×512﹣257能被3整除． 8. （2025秋•赵县期末）观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 9. （2026春•绛县期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：（x+y）2﹣7（x+y）+6． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14 因式分解 1.掌握因式分解定义、基本方法，能区分因式分解与整式乘法； 2.熟练运用提公因式法、公式法分解多项式； 3.掌握分组分解、十字相乘法，能分解二次三项式、高次多项式； 4.结合求值、化简、解方程、三角形边长综合题型灵活运用因式分解。 1. 因式分解定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 区分：整式乘法（积→和差）；因式分解（和差→积），二者互逆变形。 2. 分解基本原则 分解彻底：每个因式不能再继续分解； 首项为正：多项式首项系数为负时，先提取负号； 结果规范：相同因式写成幂的形式，括号内化简、无中括号。 3. 四大基础方法 （1）提公因式法 公式：；拓展：整体公因式，如当作整体提取。 （2）公式法 平方差公式：；特征：两项、平方项、符号相反 完全平方公式： ；； 特征：三项、两平方项、中间项为底数乘积 2 倍 拓展立方公式（拓展考点） （3）十字相乘法（二次三项式） 型：找两数，满足 （4）分组分解法 例： 4. 通用分解步骤（口诀） 一提（提公因式）→二套（套乘法公式）→三叉（十字相乘）→四分（分组分解），分解到不能再分解为止。 题型 01 因式分解的的定义 【典例1】下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+3x+3＝x（x+3）+3 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C【解析】x（x﹣1）＝x2﹣x是乘法运算，则A不符合题意， x2+3x+3＝x（x+3）+3中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， x2﹣2x+1＝（x﹣1）2符合因式分解的定义，则C符合题意， （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则D不符合题意， 故选：C． 【变式】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x+5）＝x2+5x B．（x+1）（x+1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2+2x+4＝（x+1）2+3 C【解析】A．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C． 题型 02 因式分解 【典例2】一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（　　） A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 C．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） D．x3﹣x＝x（x2﹣1） D【解析】A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），分解彻底，不符合题意； B、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，分解彻底，不符合题意； C、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），分解彻底，不符合题意； D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），因此该选项分解不彻底，符合题意． 故选：D． 【变式】下面是甲、乙两位同学因式分解﹣x3+x的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝﹣x（x+1）（x﹣1） 乙同学：原式＝x（1+x）（1﹣x） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 C【解析】﹣x3+x＝﹣x（x2﹣1）＝﹣x（x+1）（x﹣1）； ﹣x3+x＝x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1+x）（1﹣x）；故甲、乙的结果都正确；故选：C． 题型 03 运用因式分解进行求值 【典例3】计算32×2024+42×2024+72×2024的结果为（　　） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 C【解析】32×2024+42×2024+72×2024 ＝2024×（32+42+72） ＝2024×（9+42+49） ＝2024×100 ＝202400． 故选：C． 【变式】992+99的计算结果是　　 ． 9900【解析】原式＝99×（99+1）＝9900． 故答案为：9900． 题型 04 运用因式分解进行推理 【典例4】如果2x2+px+q因式分解的结果为（x+3）（2x﹣1），那么p+q＝　　 ． 2【解析】（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3， ∵2x2+px+q＝2x2+5x﹣3， ∴p＝5，q＝﹣3， ∴p+q＝5+（﹣3）＝2． 故答案为：2． 【变式】若x2﹣m在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则有理数m的值可以是　　 ． 1（答案不唯一）【解析】x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， 所以有理数m的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）． 【巩固训练】 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 C．a2+2ab+b2＝a（a+2b）+b2 D．3m2﹣m＝m（3m﹣1） D【解析】A．∵3（x﹣y）＝3x﹣3y是整式的乘法运算， ∴此选项的变形不是分解因式， 故此选项不符合题意； B．∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4是整式的乘法运算， ∴此选项的变形不是分解因式， 故此选项不符合题意； C．∵a2+2ab+b2＝a（a+2b）+b2不是整式的乘法运算，也不是分解因式， 故此选项不符合题意； D．∵3m2﹣m＝m（3m﹣1）是分解因式， 故此选项符合题意；故选：D． 2. 多项式15x3y2﹣10x2y3+5x2y2的公因式是（　　） A．5x2y2 B．5xy2 C．5x3y2 D．5x2y A【解析】∵多项式的各项系数为15，﹣10，5，三者的最大公约数是5， 各项共有的相同字母为x和y， x在各项的次数分别为3，2，2，最低次幂为x2， y在各项的次数分别为2，3，2，最低次幂为y2， ∴该多项式的公因式为5x2y2． 故选：A． 3. 把多项式m3n4﹣mnkp因式分解时，提取的公因式是mn4，则k的值可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 D【解析】∵多项式m3n4﹣mnkp因式分解时，提取的公因式为mn4，多项式中第一项n的次数为4， ∴第二项中n的次数k满足k≥4， ∵选项中只有5满足k≥4， ∴k的值可能为5． 故选：D． 4. 已知多项式x2﹣5x+4因式分解后是（x﹣1）（x+m），则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．4 D．5 A【解析】∵（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m＝x2﹣5x+4， ∴﹣m＝4， 解得m＝﹣4， 故选：A． 5．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式　 ． a2+2ab+b2＝（a+b）2（答案不唯一）【解析】选取a2，2ab，b2组成a2+2ab+b2， 则a2+2ab+b2＝（a+b）2． 故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2（答案不唯一）． 6. 若多项式16x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　　 ． ±24【解析】由题意可得：式子16x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， 所以16x2﹣mxy+9y2＝（4x±3y）2， 所以﹣m＝±24， 故答案为m＝±24． 7. 因式分解： （1）6m2﹣3m； （2）﹣16x4+81y4； （3）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2． 解:（1）6m2﹣3m＝3m（2m﹣1）； （2）﹣16x4+81y4 ＝81y4﹣16x4 ＝（9y2+4x2）（9y2﹣4x2） ＝（9y2+4x2）（3y+2x）（3y﹣2x）； （3）a2﹣2a（b+c）+（b+c）2 ＝[a﹣（b+c）]2 ＝（a﹣b﹣c）2． 8. 对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使x2+2ax﹣3a2中的前两项与a2构成完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进步分解．于是x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． （1）如果a2﹣4a+（　　 ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为　　 ； （2）用“配方法”分解因式：x2+6x﹣7； （3）用“配方法”分解因式：3x2﹣6x﹣12． 解:（1）设括号内的常数为k2，由于a2﹣4a+k2是完全平方式， 则﹣2ka＝﹣4a， 解得：k＝2， 因此，括号内的常数应为k2＝22＝4；故答案为：4； （2）原式＝x2+2×3x+32﹣9﹣7 ＝（x+3）2﹣16 ＝（x+3）2﹣42 ＝（x+3+4）（x+3﹣4） ＝（x+7）（x﹣1）； （3）原式＝3（x2﹣2x﹣4） ＝3（x2﹣2x+1﹣5） ＝3[（x﹣1）2﹣5] ． 【强化训练】 1. （2025秋•召陵区期末）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 B【解析】∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝12×8＝96． 故选：B. 2. （2026春•钱塘区期末）甲、乙两位同学分解因式﹣m2n+mn2的结果分别为﹣mn（m+n）和mn（n﹣m）．下列说法正确的是（　　） A．甲错误，乙正确 B．甲乙都正确 C．甲正确，乙错误 D．甲乙都错误 A【解析】﹣m2n+mn2＝﹣（m2n﹣mn2）＝﹣mn（m﹣n）， ﹣m2n+mn2＝mn2﹣m2n＝mn（n﹣m）， 所以甲错误，乙正确， 故选：A． 3. （2026春•洋县期末）若多项式x2+（a+2）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．6或﹣10 B．﹣6 C．10 D．﹣6或10 A【解析】若多项式x2+（a+2）x+16能用完全平方公式进行因式分解， 则a+2＝±8， 解得：a＝6或﹣10， 故选：A． 4. （2026春•南山区期末）若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则a2b+ab2的值为　　 ． 84【解析】根据题意得2（a+b）＝14，ab＝12， ∴a+b＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝12×7＝84， 故答案为：84． 5．（2026春•鼓楼区校级月考）已知x﹣y＝3，xy＝1，则x4+y4＝　　 ． 119【解析】所以x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2 ＝[（x﹣y）2+2xy]2﹣2×（xy）2 ＝[32+2]2﹣2 ＝121﹣2 ＝119．故答案为：119． 6. （2026春•兰州期末）已知a2+a﹣1＝0，求a3+2a2+2026的值　　 ． 2027【解析】由条件可知a2+a＝1， 则原式＝a3+a2+a2+2026 ＝a（a2+a）+a2+2026 ＝a×1+a2+2026 ＝a+a2+2026 ＝1+2026 ＝2027． 故答案为：2027． 7. （2026春•徐州期中）试证明102×512﹣257能被3整除． 证明：∵102×512﹣257 ＝（2×5）2×512﹣（52）7 ＝22×52×512﹣514 ＝（4﹣1）×514 ＝3×514， ∴3×514含有因数3，∴102×512﹣257能被3整除． 8. （2025秋•赵县期末）观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 解:（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1＝127． 9. （2026春•绛县期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：（x+y）2﹣7（x+y）+6． 解:（1）∵9×（﹣3）＝﹣27，x•x＝x2，x×（﹣3）+x×9＝6x， ∴x2+6x﹣27＝（x+9）（x﹣3）； （2）∵1×（﹣3）＝﹣3，3x•2x＝6x2，3x×（﹣3）+2x×1＝﹣7x， ∴6x2﹣7x﹣3＝（3x+1）（2x﹣3）； （3）∵（﹣1）×（﹣6）＝6，（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，（x+y）×（﹣6）+（x+y）×（﹣1）＝﹣7（x+y）， ∴（x+y）2﹣7（x+y）+6＝（x+y﹣1）（x+y﹣6）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $