第十六章《整式的乘法》期末基础知识复习讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“基础铺垫-核心突破-综合应用”为主线构建整式乘法知识体系，通过表格对比幂的运算性质、乘法公式结构特征，用流程图呈现整式乘法运算步骤，清晰梳理重难点内在联系，形成系统知识脉络。 讲义亮点在于“易错点避坑指南”表格精准归纳符号错误、公式漏项等典型问题，配套面积计算、增长率建模等实际应用题，培养运算能力与模型意识。分层习题覆盖基础运算到综合化简，附复习口诀与错题复盘方法，助力学生自主复习，便于教师实施精准分层教学。

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第16章 整式的乘法 本章是初中代数的核心运算章节，承接《整式的加减》，聚焦幂的运算性质、整式乘法法则及乘法公式的推导与应用，重点考查 “幂的运算准确性”“整式乘法的步骤规范性”“乘法公式的灵活运用”“代数式化简求值的逻辑完整性” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破符号处理与公式变形的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：幂的运算性质（整式乘法的基石） 幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）是整式乘法的基础，需熟练掌握法则的推导逻辑与字母表示，避免法则混淆或符号错误。 1. 幂的三大运算性质（核心考点） 运运算类型 法则内容 字母表示（m、n为正整数） 注意事项 同底数幂相乘 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am·an = am+n ① 底数必须相同；② 底数含负号时，注意符号的指数次幂（奇负偶正）；③ 法则可逆用：am+n = am·an 。 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (am)n = amn ① 区别于同底数幂相乘（指数 “相加” vs “相乘”）；② 可逆用：amn = (am)n = (an)m 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab)n = an bn ① 每一个因式都要乘方，不能漏乘；② 系数含负号时，注意符号的平方（负号的偶次幂为正）；③ 多因式积的乘方：(abc)n = an bn cn。 易错警示： 混淆 “同底数幂相乘” 与 “幂的乘方”：； 积的乘方漏乘系数。 2. 零指数幂与负整数指数幂（拓展考点） 幂的类型 定义(a≠ 0，p为正整数） 核心性质 零指数幂 a0 = 1 任何非零数的零次幂都等于 1；00无意义（需重点强调）。 负整数指数幂 a-p 负指数幂可转化为正指数幂的倒数；可逆用：a-p。 3. 整式的定义与分类 整式乘法的对象是单项式和多项式，需先明确两者的定义，避免运算时混淆 “项” 与 “因式”： 单项式：数或字母的积组成的代数式； 关键要素：系数、次数。 多项式：几个单项式的和； 关键要素：项（每个单项式，、次数（次数最高的项的次数。 二、核心突破：整式乘法法则（运算的核心流程） 整式乘法分为 “单项式 × 单项式”“单项式 × 多项式”“多项式 × 多项式” 三类，需按 “从简到繁” 的顺序掌握，每类运算都需关注 “符号处理”“系数运算”“字母运算” 三部分。 1. 单项式与单项式相乘（基础运算） （1）法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）运算步骤（三步法） 系数相乘：按有理数乘法法则计算系数的积（注意符号，如正 × 负 = 负，负 × 负 = 正）； 同字母相乘：按 “同底数幂相乘” 法则，底数不变，指数相加； 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接写在积中。 2. 单项式与多项式相乘（分配律的应用） （1）法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是乘法分配律：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)）。 （2）运算步骤（四步法） 分配展开：将单项式乘多项式的每一项（不能漏乘任何一项，包括常数项）； 单项乘单项：对每一组乘积，按 “单项式 × 单项式” 法则计算； 处理符号：注意多项式中负项的符号； 合并同类项：若有同类项（字母及指数完全相同），需合并（无同类项则直接保留）。 3. 多项式与多项式相乘（分配律的延伸） （1）法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是 “两次分配律”）。 （2）运算步骤（五步法） 逐项相乘：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项（确保不重不漏，可按 “先左后右、先上后下” 的顺序）； 单项乘单项：对每一组乘积，按 “单项式 × 单项式” 法则计算； 处理符号：注意两项均为负项时的符号（如\((-a)(-b) = ab\)）； 合并同类项：找出同类项，按整式加减法则合并（减少项数，简化结果）； 整理顺序：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 三、核心突破：乘法公式（整式乘法的 “快捷工具”） 平方差公式和完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，可大幅简化运算，需熟练掌握公式的结构特征、推导过程及常见变形。 1. 平方差公式（高频考点） （1）公式推导与结构 推导：(a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2（中间两项抵消）； 字母表示：(a + b)(a - b) =a2 - b2； 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； 结构特征：① 左边：两个二项式相乘，其中 “一项完全相同，另一项互为相反数”；② 右边：相同项的平方减去相反项的平方，注意 “相同项在前，相反项在后”）。 （2）常见变形（灵活应用） 变形类型 示例 关键思路 符号变形 (-a + b)(-a - b) = (-a)2 - b2 = a2 - b2 把 “-a” 看作公式中的 “a”，“b” 看作公式中的 “b”，满足 “一项同，一项反”。 系数变形 (2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)2 - (3y)2 = 4x2 - 9y2 把 “2x” 看作 “a”，“3y” 看作 “b”，系数随整体平方。 多项式变形 (a + b + c)(a + b - c) = (a + b)2 - c2 把 “(a + b)” 看作整体 “A”，转化为(A + c)(A - c) = A2 - c2)。 2. 完全平方公式（高频考点） （1）公式推导与结构 推导（和的平方）：(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2 ab + b2； 推导（差的平方）：(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 -ab - ab + b2 = a2 -2 ab + b2； 字母表示：(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2，(a - b)2 =a2 - 2 ab + b2； 语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍； 结构特征（口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着中间走）：① 左边：二项式的平方（两数和或差）；② 右边：三项式，分别是 “首项平方”“尾项平方”“首尾积的 2 倍”（符号由左边的 “+” 或 “-” 决定）。 （2） 常见变形（避免漏项） 变形类型 示例 易错点警示 符号变形 ( -a + b )2 = (b - a)2 错算漏中间项(-2ab）；符号错误。 系数变形 (2x - 3y)2 中间项系数漏乘 2；尾项系数未平方。 多项式变形 (a + b + c)2 = [(a+b)+c]2 漏加某两个项的积的 2 倍；错写成a2 + b2 + c2（无中间项）。 3. 乘法公式的逆用（拓展应用） 乘法公式可逆用，用于 “因式分解”（后续章节重点）或 “代数式化简”： 平方差公式逆用； 完全平方公式逆用。 四、核心技能：整式乘法的综合应用（化简与求值） 整式乘法的最终目的是 “化简代数式” 并 “代入求值”，需掌握 “先化简、再求值” 的逻辑，避免直接代入导致计算复杂。 1. 代数式化简的核心流程 展开：根据整式乘法法则或乘法公式，展开所有括号（单项式 × 多项式、多项式 × 多项式）； 合并：合并同类项（字母及指数相同的项，系数相加，字母不变）； 整理：按某一字母的降幂排列，使结果简洁规范。 2. 化简求值的步骤（规范流程） 化简：按上述流程化简代数式（关键步骤，避免直接代入）； 代入：将已知字母的值代入化简后的式子（注意符号）； 检验：代入原式检验结果是否一致（可选，确保化简无错）。 五、综合应用：整式乘法的实际问题（建模与运算） 整式乘法在实际问题中主要用于 “面积表示”“数量关系建模”，需将实际场景转化为代数表达式，再通过乘法运算求解。 1. 常见实际场景与建模 场景类型 等量关系 长方形面积 面积 = 长 × 宽 增长率问题 最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)n 数量关系 总金额 = 单价 × 数量 2. 实际问题解题步骤 审：分析题意，确定已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知量（如设增长率为x，长方形的宽为x）； 列：根据等量关系列出整式乘法表达式（如面积表达式、总金额表达式）； 算：化简表达式，若有具体数值需求，代入计算； 验：检验结果是否符合实际（如长度为正、增长率为正）； 答：用完整语言回答问题（带单位）。 六、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 幂的运算错误 1. 同底数幂相乘与幂的乘方混淆；2. 积的乘方漏乘系数； 3. 负指数幂符号错误。 1. 牢记口诀：“同底相乘指数加，幂的乘方指数乘”，计算后标注法则； 2. 积的乘方按 “每因式都乘方” 检查； 3. 负指数幂转化为 “正指数的倒数”，符号随底数走。 整式乘法符号错误 1. 单项式乘多项式漏负号； 2. 多项式乘多项式负项相乘符号错误； 3. 系数为负时平方错误。 1. 乘多项式时，先确定每一项的符号，负项用括号括起； 2. 两项均为负时，乘积为正，标注符号后再计算； 3. 系数平方时，“负负得正”。 乘法公式应用错误 1. 平方差公式结构识别错误，误用公式； 2. 完全平方公式漏中间项）； 3. 完全平方公式中间项系数错算。 1. 用平方差公式前，检查 “是否一项同、一项反”，不同则不用公式； 2. 完全平方公式口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”，计算时先写三项，再填系数； 3. 中间项系数 = 2× 首项 × 尾项。 化简求值错误 1. 未化简直接代入； 2. 代入负数时未加括号； 3. 合并同类项漏项。 1. 严格遵循 “先化简、再求值”，化简后检查是否有同类项未合并； 2. 代入负数或分数时，用括号括起；3. 合并同类项时，标记同类项，避免漏项。 实际问题建模错误 1. 面积表达式列错； 2. 增长率表达式列错。 1. 列面积 / 体积表达式前，明确公式（如面积 = 长 × 宽），再代入含字母的边长；2. 增长率问题牢记 “最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)n”，n为增长次数，标注 “1 + 增长率”。 七、备考策略 夯实基础：法则与公式 “双过关” 默写幂的三大运算性质、整式乘法法则及乘法公式，标注字母表示与注意事项； 基础运算训练：每天练 5-10 道幂的运算、整式乘法题，重点关注符号与系数（如负号处理、系数平方）。 突破难点：公式变形与综合化简 公式变形训练：针对平方差、完全平方公式的符号、系数、多项式变形，各练 3-5 道题； 综合化简训练：练 “整式乘法 + 加减”“乘法公式 + 化简求值” 的题目，总结 “展开→合并→整理” 的固定流程。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “漏项” 书写规范：幂的运算注明法则（如 “同底数幂相乘”），整式乘法按步骤展开（如单项式 × 多项式分三步写），公式应用标注公式名称（如 “平方差公式”）； 检查习惯：计算后从 “符号、系数、指数” 三方面检查，如幂的乘方检查指数是否相乘，完全平方检查是否有中间项。 错题复盘：聚焦高频易错点整理 “幂的运算混淆”“完全平方漏中间项”“符号错误” 三类典型错题，标注错误原因（如 “指数相加 vs 相乘”“负号未括号”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 幂的运算要记牢，同底相乘指数加；幂的乘方指数乘，积的乘方各因式；零次幂是 1，负指数倒数找。整式乘法分三类，单项乘单项：系数相乘符号定，同底指数加，单独字母拉；单项乘多项式，分配律来当家，每一项都要乘，符号别落下；多项式乘多项式，逐项相乘再相加，同类项要合并，降幂来整理。乘法公式是捷径，平方差公式：两数和乘两数差，等于平方差；完全平方公式：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，和加差减记心上，符号跟着中间走。化简求值先化简，代入数值再计算，实际问题列表达式，整式乘法来帮忙。 一、选择题汇编 1. （25-26·北京期中）下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 2.（25-26·甘肃期中）下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 3.（25-26·云南期中）已知，则（    ） A. B. C. D. 4.（25-26·广东期中）若，，则与的大小关系为（    ） A. B. C. D.以上都不对 5.（25-26·云南期中）小王做了道题：①；②；③；④，正确的有（    ） A.道 B.道 C.道 D.道 6.（25-26·吉林期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A. B. C. D. 7.（25-26·上海期中）已知，，，那么的等量关系正确的是（    ） A. B. C. D. 8.（25-26·黑龙江期中）下列计算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 9.（25-26·吉林期中）如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为、，若，，则长方形的面积等于（    ） A. B. C. D. 10.（25-26·云南期中）如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（    ） A. B. C. D. 11.（25-26·北京月考）图为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图、图阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图、图空白部分为裁剪掉部分．图的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图和图中阴影部分的面积都是，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. B. C. D. 12.（25-26·北京期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A. B. C. D. 13.（25-26·四川期中）若，则的值为（   ） A. B. C. D. 14.（25-26·上海月考）设是一个多项式，且，那么等于（    ）. A. B. C. D. 15.（24-25·浙江期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图）．将其中个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图），右下角阴影部分的面积为；再将其中个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（    ） A. B. C. D. 16.现在有一个无限大的表格，按照下图的规律无限延伸，某同学用“双十”形状图案框选了如下表格，则框选中的数字和可能是（      ） … … … … … … … … … … … … … … … ．．．． 17.（24-25·江苏月考）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A. B. C. D. 18.（24-25·上海期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（    ）个 A. B. C. D. 19.（25-26·山东开学）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A. B. C. D. 20.（24-25·四川期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中、为整数，则的值有种可能． 其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 二、填空题汇编 21.（25-26·黑龙江期中）计算的结果是__________． 22.（25-26·福建期中）若，则__________． 23.（25-26·北京期中）计算：_________． 24.（25-26·吉林期中）若的展开式中不含常数项，则的值为__________． 25.用四个完全一样的长方形(长、宽分别为、)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为,中间空缺的小正方形的面积为,则下列结论:①;②;③;④,其中正确的是 .(填序号) 26.信息时代确保信息的安全很重要,于是在传输信息的时候需要加密传输,发送方将明文加密为密文传输给接收方,接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则如图所示,当发送方发出时,解密后明文的值 . 27.（25-26·北京期中）已知．若，则的值是______________． 28.（25-26·上海期中）已知，，则______． 29.（25-26·上海月考）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为_____________． 30.（25-26·上海月考）已知，则_______________． 31.（24-25·安徽期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为___________． 32.（24-25·广东期中）用张长为宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是______________． 33.（24-25·四川期中）计算的结果是__________． 34.（24-25·江西月考）有三个大小不一的正方形按如图位置重叠摆放，已知小正方形边长为，．现将这三个正方形沿边长剪成如图的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是___________． 35.（24-25·四川月考）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为__________． 三、解答题汇编 36.（25-26·吉林期中）利用公式简便运算： （1）； （2）． 37.（25-26·甘肃期中）计算 （1）． （2）． 38.（25-26·河南期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 39.（25-26·北京期中）计算： （1） （2） （3） 40.（25-26·北京期中）计算： （1）； （2）； （3）． 41.（25-26·北京期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 42.（25-26·吉林期中）先化简，再求值：，其中． 43.（25-26·北京期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影，外，其余块是形状､大小完全相同的小长方形，小长方形较短一边长记为． （1）阴影的长为_______；阴影的长为________（用含，，的代数式表示）； （2）求阴影和的面积差（用含，，的代数式表示）； （3）当取任何实数时，面积差的值都保持不变，问：与应满足什么条件？ 44.（25-26·福建期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）请利用图所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； （2）类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； （3）已知，，利用以上恒等式求的值． 45.（25-26·北京期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图：________；图：； 图：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则______． （3）若，为非负数，，，则_____ _____． （4）若，则________． （5）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第16章 整式的乘法 本章是初中代数的核心运算章节，承接《整式的加减》，聚焦幂的运算性质、整式乘法法则及乘法公式的推导与应用，重点考查 “幂的运算准确性”“整式乘法的步骤规范性”“乘法公式的灵活运用”“代数式化简求值的逻辑完整性” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破符号处理与公式变形的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：幂的运算性质（整式乘法的基石） 幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）是整式乘法的基础，需熟练掌握法则的推导逻辑与字母表示，避免法则混淆或符号错误。 1. 幂的三大运算性质（核心考点） 运运算类型 法则内容 字母表示（m、n为正整数） 注意事项 同底数幂相乘 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am·an = am+n ① 底数必须相同；② 底数含负号时，注意符号的指数次幂（奇负偶正）；③ 法则可逆用：am+n = am·an 。 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (am)n = amn ① 区别于同底数幂相乘（指数 “相加” vs “相乘”）；② 可逆用：amn = (am)n = (an)m 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab)n = an bn ① 每一个因式都要乘方，不能漏乘；② 系数含负号时，注意符号的平方（负号的偶次幂为正）；③ 多因式积的乘方：(abc)n = an bn cn。 易错警示： 混淆 “同底数幂相乘” 与 “幂的乘方”：； 积的乘方漏乘系数。 2. 零指数幂与负整数指数幂（拓展考点） 幂的类型 定义(a≠ 0，p为正整数） 核心性质 零指数幂 a0 = 1 任何非零数的零次幂都等于 1；00无意义（需重点强调）。 负整数指数幂 a-p 负指数幂可转化为正指数幂的倒数；可逆用：a-p。 3. 整式的定义与分类 整式乘法的对象是单项式和多项式，需先明确两者的定义，避免运算时混淆 “项” 与 “因式”： 单项式：数或字母的积组成的代数式； 关键要素：系数、次数。 多项式：几个单项式的和； 关键要素：项（每个单项式，、次数（次数最高的项的次数。 二、核心突破：整式乘法法则（运算的核心流程） 整式乘法分为 “单项式 × 单项式”“单项式 × 多项式”“多项式 × 多项式” 三类，需按 “从简到繁” 的顺序掌握，每类运算都需关注 “符号处理”“系数运算”“字母运算” 三部分。 1. 单项式与单项式相乘（基础运算） （1）法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）运算步骤（三步法） 系数相乘：按有理数乘法法则计算系数的积（注意符号，如正 × 负 = 负，负 × 负 = 正）； 同字母相乘：按 “同底数幂相乘” 法则，底数不变，指数相加； 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接写在积中。 2. 单项式与多项式相乘（分配律的应用） （1）法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是乘法分配律：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)）。 （2）运算步骤（四步法） 分配展开：将单项式乘多项式的每一项（不能漏乘任何一项，包括常数项）； 单项乘单项：对每一组乘积，按 “单项式 × 单项式” 法则计算； 处理符号：注意多项式中负项的符号； 合并同类项：若有同类项（字母及指数完全相同），需合并（无同类项则直接保留）。 3. 多项式与多项式相乘（分配律的延伸） （1）法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是 “两次分配律”）。 （2）运算步骤（五步法） 逐项相乘：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项（确保不重不漏，可按 “先左后右、先上后下” 的顺序）； 单项乘单项：对每一组乘积，按 “单项式 × 单项式” 法则计算； 处理符号：注意两项均为负项时的符号（如\((-a)(-b) = ab\)）； 合并同类项：找出同类项，按整式加减法则合并（减少项数，简化结果）； 整理顺序：按某一字母的降幂（或升幂）排列结果。 三、核心突破：乘法公式（整式乘法的 “快捷工具”） 平方差公式和完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，可大幅简化运算，需熟练掌握公式的结构特征、推导过程及常见变形。 1. 平方差公式（高频考点） （1）公式推导与结构 推导：(a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2（中间两项抵消）； 字母表示：(a + b)(a - b) =a2 - b2； 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； 结构特征：① 左边：两个二项式相乘，其中 “一项完全相同，另一项互为相反数”；② 右边：相同项的平方减去相反项的平方，注意 “相同项在前，相反项在后”）。 （2）常见变形（灵活应用） 变形类型 示例 关键思路 符号变形 (-a + b)(-a - b) = (-a)2 - b2 = a2 - b2 把 “-a” 看作公式中的 “a”，“b” 看作公式中的 “b”，满足 “一项同，一项反”。 系数变形 (2x + 3y)(2x - 3y) = (2x)2 - (3y)2 = 4x2 - 9y2 把 “2x” 看作 “a”，“3y” 看作 “b”，系数随整体平方。 多项式变形 (a + b + c)(a + b - c) = (a + b)2 - c2 把 “(a + b)” 看作整体 “A”，转化为(A + c)(A - c) = A2 - c2)。 2. 完全平方公式（高频考点） （1）公式推导与结构 推导（和的平方）：(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2 ab + b2； 推导（差的平方）：(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 -ab - ab + b2 = a2 -2 ab + b2； 字母表示：(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2，(a - b)2 =a2 - 2 ab + b2； 语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍； 结构特征（口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着中间走）：① 左边：二项式的平方（两数和或差）；② 右边：三项式，分别是 “首项平方”“尾项平方”“首尾积的 2 倍”（符号由左边的 “+” 或 “-” 决定）。 （2） 常见变形（避免漏项） 变形类型 示例 易错点警示 符号变形 ( -a + b )2 = (b - a)2 错算漏中间项(-2ab）；符号错误。 系数变形 (2x - 3y)2 中间项系数漏乘 2；尾项系数未平方。 多项式变形 (a + b + c)2 = [(a+b)+c]2 漏加某两个项的积的 2 倍；错写成a2 + b2 + c2（无中间项）。 3. 乘法公式的逆用（拓展应用） 乘法公式可逆用，用于 “因式分解”（后续章节重点）或 “代数式化简”： 平方差公式逆用； 完全平方公式逆用。 四、核心技能：整式乘法的综合应用（化简与求值） 整式乘法的最终目的是 “化简代数式” 并 “代入求值”，需掌握 “先化简、再求值” 的逻辑，避免直接代入导致计算复杂。 1. 代数式化简的核心流程 展开：根据整式乘法法则或乘法公式，展开所有括号（单项式 × 多项式、多项式 × 多项式）； 合并：合并同类项（字母及指数相同的项，系数相加，字母不变）； 整理：按某一字母的降幂排列，使结果简洁规范。 2. 化简求值的步骤（规范流程） 化简：按上述流程化简代数式（关键步骤，避免直接代入）； 代入：将已知字母的值代入化简后的式子（注意符号）； 检验：代入原式检验结果是否一致（可选，确保化简无错）。 五、综合应用：整式乘法的实际问题（建模与运算） 整式乘法在实际问题中主要用于 “面积表示”“数量关系建模”，需将实际场景转化为代数表达式，再通过乘法运算求解。 1. 常见实际场景与建模 场景类型 等量关系 长方形面积 面积 = 长 × 宽 增长率问题 最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)n 数量关系 总金额 = 单价 × 数量 2. 实际问题解题步骤 审：分析题意，确定已知量、未知量及核心等量关系； 设：设未知量（如设增长率为x，长方形的宽为x）； 列：根据等量关系列出整式乘法表达式（如面积表达式、总金额表达式）； 算：化简表达式，若有具体数值需求，代入计算； 验：检验结果是否符合实际（如长度为正、增长率为正）； 答：用完整语言回答问题（带单位）。 六、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 幂的运算错误 1. 同底数幂相乘与幂的乘方混淆；2. 积的乘方漏乘系数； 3. 负指数幂符号错误。 1. 牢记口诀：“同底相乘指数加，幂的乘方指数乘”，计算后标注法则； 2. 积的乘方按 “每因式都乘方” 检查； 3. 负指数幂转化为 “正指数的倒数”，符号随底数走。 整式乘法符号错误 1. 单项式乘多项式漏负号； 2. 多项式乘多项式负项相乘符号错误； 3. 系数为负时平方错误。 1. 乘多项式时，先确定每一项的符号，负项用括号括起； 2. 两项均为负时，乘积为正，标注符号后再计算； 3. 系数平方时，“负负得正”。 乘法公式应用错误 1. 平方差公式结构识别错误，误用公式； 2. 完全平方公式漏中间项）； 3. 完全平方公式中间项系数错算。 1. 用平方差公式前，检查 “是否一项同、一项反”，不同则不用公式； 2. 完全平方公式口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”，计算时先写三项，再填系数； 3. 中间项系数 = 2× 首项 × 尾项。 化简求值错误 1. 未化简直接代入； 2. 代入负数时未加括号； 3. 合并同类项漏项。 1. 严格遵循 “先化简、再求值”，化简后检查是否有同类项未合并； 2. 代入负数或分数时，用括号括起；3. 合并同类项时，标记同类项，避免漏项。 实际问题建模错误 1. 面积表达式列错； 2. 增长率表达式列错。 1. 列面积 / 体积表达式前，明确公式（如面积 = 长 × 宽），再代入含字母的边长；2. 增长率问题牢记 “最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率)n”，n为增长次数，标注 “1 + 增长率”。 七、备考策略 夯实基础：法则与公式 “双过关” 默写幂的三大运算性质、整式乘法法则及乘法公式，标注字母表示与注意事项； 基础运算训练：每天练 5-10 道幂的运算、整式乘法题，重点关注符号与系数（如负号处理、系数平方）。 突破难点：公式变形与综合化简 公式变形训练：针对平方差、完全平方公式的符号、系数、多项式变形，各练 3-5 道题； 综合化简训练：练 “整式乘法 + 加减”“乘法公式 + 化简求值” 的题目，总结 “展开→合并→整理” 的固定流程。 规范步骤：避免 “跳步” 与 “漏项” 书写规范：幂的运算注明法则（如 “同底数幂相乘”），整式乘法按步骤展开（如单项式 × 多项式分三步写），公式应用标注公式名称（如 “平方差公式”）； 检查习惯：计算后从 “符号、系数、指数” 三方面检查，如幂的乘方检查指数是否相乘，完全平方检查是否有中间项。 错题复盘：聚焦高频易错点整理 “幂的运算混淆”“完全平方漏中间项”“符号错误” 三类典型错题，标注错误原因（如 “指数相加 vs 相乘”“负号未括号”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 幂的运算要记牢，同底相乘指数加；幂的乘方指数乘，积的乘方各因式；零次幂是 1，负指数倒数找。整式乘法分三类，单项乘单项：系数相乘符号定，同底指数加，单独字母拉；单项乘多项式，分配律来当家，每一项都要乘，符号别落下；多项式乘多项式，逐项相乘再相加，同类项要合并，降幂来整理。乘法公式是捷径，平方差公式：两数和乘两数差，等于平方差；完全平方公式：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，和加差减记心上，符号跟着中间走。化简求值先化简，代入数值再计算，实际问题列表达式，整式乘法来帮忙。 一、选择题汇编 1.（25-26·北京期中）下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每个因数乘方的积．需根据法则逐一判断各选项． 【解答】解： 选项，故错误； 选项，故正确； 选项，故错误； 选项，故错误； 故选：． 2.（25-26·甘肃期中）下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式及完全平方公式．根据每个选项用到对应的运算法则并逐一分析选择即可． 【解答】解：项：，不符合题意； 项：，符合题意； 项：，不符合题意； 项：，不符合题意． 故选：． 3.（25-26·云南期中）已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 【解答】解：， ， 故选  4.（25-26·广东期中）若，，则与的大小关系为（    ） A. B. C. D.以上都不对 【答案】B 【考点】幂的乘方的逆用 【解析】首先将得出，，进而求出、的大小关系． 【解答】解：，， ，， ， ． 故选： 5.（25-26·云南期中）小王做了道题：①；②；③；④，正确的有（    ） A.道 B.道 C.道 D.道 【答案】A 【解析】本题主要考查了整式的化简，完全平方公式，平方差公式等知识点，解决此题的关键是正确的计算；根据相关知识点一步步计算，分别判断即可得到答案； 【解答】解：①和不是同类项无法合并，故①错误； ②根据积的乘方可知：，故②正确； ③由平方差公式可得：，故③错误； ④由完全平方公式可得：，整式化简可得：，故④错误； 共个正确， 故选：． 6.（25-26·吉林期中）若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了有理数的乘方，单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：第个单项式为，然后作答即可． 【解答】解： 第项：， 第项：， 第项：， 第项：， 第项：， 第项为． 故选． 7.（25-26·上海期中）已知，，，那么的等量关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，通过观察已知条件中的数字关系：与相等，推导出的关系． 【解答】解：，， ． 又 ， ， ， 由于底数相同，当时， ． 故选：． 8.（25-26·黑龙江期中）下列计算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．主要利用平方差公式 和完全平方公式进行验证即可． 【解答】解：． ，故错误； ． ，故错误； ．，与原式一致，故正确； ． ，故错误． 故选：． 9.（25-26·吉林期中）如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为、，若，，则长方形的面积等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【解答】解： ，， ， 长方形的面积， 故选：． 10.（25-26·云南期中）如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查完全平方公式的几何背景和多项式乘多项式，先根据正方形的面积公式进行列式，再进行计算即可． 【解答】解：由题可知，矩形的面积为： ． 故选：． 11.（25-26·北京月考）图为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图、图阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图、图空白部分为裁剪掉部分．图的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图和图中阴影部分的面积都是，则裁剪前大正方形红布的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件求解． 由图阴影面积列出方程，化简得；由图阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算即可． 【解答】解：图所示的阴影部分面积为，  ， 展开化简：， ， ，则． 根据图所示的阴影部分面积为可得：． 大正方形面积：． 故选：． 12.（25-26·北京期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【解答】 总球数为，且最终三袋球数相同， 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：， ； 丙袋：， ； 乙袋：，符合， ． 故选：． 13.（25-26·四川期中）若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查完全平方公式应用，理解并掌握完全平方公式是解答本题的关键； 根据题意将展开整理后，然后一一对应相等即可得到本题答案． 【解答】解：， ， ； 故选：； 14.（25-26·上海月考）设是一个多项式，且，那么等于（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据被除数等于商乘以除数，计算即可得到的值． 【解答】解：根据题意得： 故选 15.（24-25·浙江期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图）．将其中个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图），右下角阴影部分的面积为；再将其中个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图可得，结合，得出，再用含，的式子表示出，代入求值即可． 【解答】解：图右下角阴影部分的面积为， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选． 16.现在有一个无限大的表格，按照下图的规律无限延伸，某同学用“双十”形状图案框选了如下表格，则框选中的数字和可能是（      ） … … … … … … … … … … … … … … … ．．．． 【答案】 【解析】设“双十”形状图案第二列第个数为，其余的数可表示为：第行的数表示为：，第行的数表示为：，第行的数表示为：，将所有的数求和，然后将选项代入代数式求解即可． 【解答】解：设“双十”形状图案第二列第个数为，“双十”形状图案的数可表示为：第行的数表示为：，， 第行的数表示为：， 第行的数表示为：， 其和为：， 当，解得：， 故符合题意； 当， 解得：，故不符合题意； 当， 解得：，故不符合题意； 当， 解得：，故不符合题意； 故选：． 17.（24-25·江苏月考）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【解答】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：． 18.（24-25·上海期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（    ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得． 【解答】， ， ， 根据为整数，有以下种情况： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，符合条件的的值为，共有个， 故选：． 19.（25-26·山东开学）若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【解答】解：， 又展开式中不含的一次项， ， ， 实数的值为． 故选：． 20.（24-25·四川期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中、为整数，则的值有种可能． 其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【答案】A 【解析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【解答】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ， ， 故②正确，符合题意； ③， 则当的值恒为正数时，即可， ， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ，， 、为整数， 、的值可为或或或或或 或或或或或， 故④正确， 正确的有①②③④， 故选：． 二、填空题汇编 21.（25-26·黑龙江期中）计算的结果是____________． 【答案】 【解析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方法则的逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（为正整数）．特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 将小数化为分数，然后逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：原式    故答案为 ：． 22.（25-26·福建期中）若，则______________． 【答案】 【解析】由已知条件可得：，根据同底且幂相等，则可得关于的方程，解方程即可求得的值． 【解答】 即 解得： 故答案为：10 23.（25-26·北京期中）计算：________1____． 【答案】 【解析】本题考查平方差公式的应用，先把原式变形为，然后利用平方差公式计算，即可得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【解答】解： ． 故答案为：． 24.（25-26·吉林期中）若的展开式中不含常数项，则的值为___0_________． 【答案】 【解析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，将多项式展开后，令常数项为零，求解的值． 【解答】解：， 展开式不含常数项， ，解得； 故答案为：0 25.用四个完全一样的长方形(长、宽分别为、)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为,中间空缺的小正方形的面积为,则下列结论:①;②;③;④,其中正确的是 ①②③ .(填序号) 【答案】①②③ 【解析】此题暂无解析 【解答】大正方形的面积为大正方形的边长为,即,因此①正确;中间空缺的小正方形的面积为,中间小正方形的边长为,因此②正确; 由题图可知,因此③正确; ,因此④不正确. 综上所述,正确的结论有①②③. 26.信息时代确保信息的安全很重要,于是在传输信息的时候需要加密传输,发送方将明文加密为密文传输给接收方,接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则如图所示,当发送方发出时,解密后明文的值 120 . 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】结合程序框图考查整式的运算., 当时, , , ,故答案为 27.（25-26·北京期中）已知．若，则的值是_______3__________． 【答案】 【解析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【解答】，，， ，， ， ， ， ， ． 28.（25-26·上海期中）已知，，则___________． 【答案】 【解析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，完全平方公式的应用，由已知条件，，可知和均为负数，将表达式通过变量代换化为正数形式，再利用完全平方公式求解，最后整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：，， ，， ， 故答案为：． 29.（25-26·上海月考）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为_____________． 【答案】 【解析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：由题意得： ， 故答案为：． 30.（25-26·上海月考）已知，则_____402____________． 【答案】 【解析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作和，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【解答】解：令，， ， ， ， ； 故答案为：． 31.（24-25·安徽期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，．将乙纸片放到甲的内部得到图已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为_____19_______． 【答案】 【解析】设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为， 根据题意可得：， ， ， ， 是得中点， ， ，， ． 故答案为：19 32.（24-25·广东期中）用张长为宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是________________． 【答案】 【解析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出、之间的关系． 【解答】如下图 则空白部分的面积 化简得： 化简得： 故答案为：． 33.（24-25·四川期中）计算的结果是_____________． 【答案】 【考点】多项式乘多项式 【解析】设，把原式化简为关于的代数式，再运算求解 【解答】 设， 则原式 34.（24-25·江西月考）有三个大小不一的正方形按如图位置重叠摆放，已知小正方形边长为，．现将这三个正方形沿边长剪成如图的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是_______________． 【答案】 【解析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为，，，分别表示出，，，再代入，，然后利用因式分解得到，，最后根据求解即可． 【解答】解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ，，， ，且， ，且， 整理得，且， 可得，， ， 可得，， ， ， 故答案为：． 35.（24-25·四川月考）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为_______10_____． 【答案】 【解析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图中的阴影部分面积为，用，表示后计算即可． 【解答】如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题汇编 36.（25-26·吉林期中）利用公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 37.（25-26·甘肃期中）计算 （1）． （2）． 【答案】 【解析】（1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算各项即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式运算，再合并同类项即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 38.（25-26·河南期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 【解析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）把看作底数，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （3）先整理得，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （4）根据积的乘方法则进行计算，即可作答． 【解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 39.（25-26·北京期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】 【解析】（1）先乘方，再运用有理数运算法则运算即可；                           （2）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可； （3）利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式后再相加即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 40.（25-26·北京期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】 【解析】 （1）运用单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则，先用的每一项与的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解； （3）通过分组应用平方差公式，将变形为，根据平方差公式变形计算即可求解． 【解答】（1）解： （2） （3） 41.（25-26·北京期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】 【解析】（1）将变形为，把，代入即可求解； （2）利用差的完全平方公式，代入数值，可求得，从而即可求解． 【解答】（1）解：，， ， 故的值为； （2）解：，，， ， ． 42.（25-26·吉林期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式先去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 43.（25-26·北京期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影，外，其余块是形状､大小完全相同的小长方形，小长方形较短一边长记为． （1）阴影的长为_________；阴影的长为_________（用含，，的代数式表示）； （2）求阴影和的面积差（用含，，的代数式表示）； （3）当取任何实数时，面积差的值都保持不变，问：与应满足什么条件？ 【答案】， 【解析】（1）观察图形，用，，表示即可； （2）分别表示出阴影的面积，作差即可； （3）根据的值与无关确定与的关系式即可． 【解答】（1）解：观察图形得：，， 故答案为：，． （2） ； （3） ， 的值与无关， ， ． 44.（25-26·福建期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）请利用图所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值； （2）类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； （3）已知，，利用以上恒等式求的值． 【答案】 【解析】（1）根据图形的面积即可求解； （2）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （3）根据，，结合即可求解； 【解答】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）解：由图得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （3）解：，， 由得， ， ． 45.（25-26·北京期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图：__________；图：； 图：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则____13______． （3）若，为非负数，，，则_____ _____． （4）若，则_____10_____． （5）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】， 【解析】（1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【解答】（1）解：图是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 四个部分的面积和为， 因此， 图阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分也可以看作大正方形减去空白部分的面积，即， 因此有， 图左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3），， 则， ． （4），， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， 阴影部分的面积为． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $