5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦、余弦、正切公式，课堂导入通过“由差转和”问题引导学生从两角差余弦公式出发，用换元法推导两角和余弦公式，搭建知识支架衔接前后内容。 其亮点在于以逻辑推理为主线，通过诱导公式转化、弦化切等推导公式（数学思维），例题分层设计涵盖给角求值、给值求值等，培养应用意识（数学语言），小结梳理脉络与公式助学生构建体系（数学眼光）。学生提升推理运算能力，教师获得清晰教学流程与丰富例题资源。

第五章 三角函数 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 5.5三角恒等变换 【新教材】人教A版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式； 借助同角三角函数关系推导两角和与差的正切公式，熟记公式结构； 熟练运用两角和、差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数化简、求值。 问题 由差转和 由公式出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？ 比较cos(α-β)与cos(α+β)，它们的异同点是什么？ 它们都是角的余弦，只是角的形式不同. α-β与α+β之间有何种联系呢？ 一方面从运算的角度看，将加法转化为减法: cos(α+β)=cos[α-(-β)]; 另一方面可以从换元角度考虑，将两角差的余弦公式中的β换为-β. 目标一：两角和的余弦公式 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？ 和角余弦 则由公式 , 有 上述公式中的 α、β 都是任意角. 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。 注意 在 中，，，求 的值． 在 △ABC 中，A+B+C=π，所以求 C 的余弦值的问题可以转化为求 A+B 的余弦值的问题，为此需 求出 A、B 的正弦、余弦值． 解析 ， 为锐角 ． 又 ，，即 也为锐角， 且 ． ． 牛刀小试 计算: ① ② 解析 ① 原式 ② 原式 牛刀小试 目标二 ：两角和差的正弦公式 上面得到了两角和与差的余弦公式. 我们知道, 用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化. 你能根据，及诱导公式五（或六），推导出用任意角，的正弦、余弦表示，的公式吗？ 正弦转余弦 和差角正弦 基于上述差异与联系，如何由两和的余弦公式得到两角差的正弦公式？ 依照上述解决问题的思路，你能直接写出两角和的正弦公式吗？ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 和差角正弦 给角求值 1、求：和 牛刀小试 给值求值 答案： ， 是第三象限角，， 若 ， 是第三象限的角，则 __________. 牛刀小试 给值 求值 解 因为，所以，所以 又因为，所以 所以 3、已知，求的值． 牛刀小试 给值 求值 解 因为 ，所以 . 又因为 所以 ，又 ，所以 所以 4、已知 且 ，求 . 牛刀小试 目标三 ：两角和差的正切公式 弦化切 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从两角和与差的正弦，余弦公式 出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)的公式吗? 通过对分子、分母同时除以cosαcosβ转化，即 给角求值 求值: (1) 由 的变形 ，得 原式= 牛刀小试 和变差 如何用任意角α，β的正切表示tan(α-β)? 常见变形 可变形为如下几个公式： 常见变形 变用 已知 ，，求 ，，. 牛刀小试 变用 已知 ，，求 ． 牛刀小试 目标四：典型例题 给角求值 1 利用和（差）角公式计算下列各式的值： ； ； . 解: (1) 由公式 , 得 由公式 , 得 由公式 及 , 得 分析: 和、差角公式把 α±β 的三角函数式转化成了 α, β 的三角函数式. 如果反过来, 从右到左使用公式, 就可以将上述三角函数式化简. 典例分析 例 给值求值 2 已知，是第四象限角，求，，的值. 解: 由，是第四象限角，得 所以 于是有； ； 典例分析 例 证明 3 思考: 由以上解答可以看到, 在本题条件下有. 那么对于任意角 , 此等式成立吗? 若成立, 你会用几种方法予以证明?   方法 1: 因为, , 所以.   典例分析 例 证明 3 思考: 由以上解答可以看到, 在本题条件下有. 那么对于任意角 , 此等式成立吗? 若成立, 你会用几种方法予以证明?   方法 2: 因为，所以， 所以. 典例分析 例 目标五：针对训练 举一反三   1. A. B. C. D. 答案：B 解析：本题考查两角和正弦公式的应用.原式 举一反三 2.在 中，若 ，则 为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断 答案：C 解析：因为 所以.又，所以，故. 因为，所以，即为直角三角形.故选C. 举一反三 3.计算 A. B. C. D.   答案：C 解析：原式 举一反三 4.若 ， ， 则 A. B. C. D. 答案：B 解析: 因为，所以，所以. 举一反三 4.若 ， ， 则 A. B. C. D. 答案：B 解析: 因为，所以，所以. 举一反三 5.已知为锐角，， （1）求的值； （2）求的值. 答案：(1) ；(2) 解析：(1) 因为为锐角，所以. 又因为，所以. 因为，， 所以. 目标六：小结 学海拾贝 1. 公式推导脉络 两角差余弦公式 两角和余弦公式 两角和差正弦公式 两角和差正切公式 学海拾贝 2. 核心公式汇总 符号口诀：余余正正，符号相反；正余余正，符号相同。 学海拾贝 3. 两类常用题型与易错提醒 ① 给值求值：角配凑思想，如 ；必须优先确定角的范围，判断三角函数正负； ② 化简计算：注意公式正向、逆向使用；正切公式使用前提：。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $