5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学习目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公 式及两角和与差的正弦公式的方法, 达到逻辑推理核心素 养学业质量水平一的层次. 2. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和 与差的正切公式, 达到逻辑推理核心素养学业质量水平一 的层次. 3. 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单 的三角函数的求值、化简、计算等, 达到数学运算核心素养 学业质量水平二的层次. 4. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运 用, 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法, 达到 逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 目录 CATALOG 01.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 03.题型强化训练 02.给角求值、给值求值、给值求角 04.小结及随堂练习 01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 导入新知：“抖音 15° 跟拍特效”是怎么做到的？ 很多同学爱拍“跟拍变装”视频：手机先水平对着自己（0°），按下快门后，手臂要在 0.2 s 内向上抬 15°，同时镜头同步切换滤镜。 后台算法必须先把“当前帧”与“参考帧”的夹角算出来，才能决定滤镜切换时机。 若已知两帧的重力方向分量分别为 sin 4°、cos 4° 与 sin 19°、cos 19°， 你能用今天将学的公式快速算出这 15° 的夹角吗？ 导入新知：为什么“彩虹是 42° 的弧”，而“ secondary rainbow 却是 50°”？ 雨后阳光射入水滴，光线在水滴里拐了两个弯：先折射一次，再反射一次，最后折射出来。两次折射的“方向改变量”正好对应两个角度的和与差。 若已知第一次折射角 α≈59°，第二次反射角 β≈8°，你能用两角和的正切公式算出光线最终偏转了多少度，从而解释“42° 彩虹”的形成条件吗？ 导入新知 思考： 学习新知 学习新知 探究 学习新知 公式的推导 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 诱导公式二、三、四、已知两角的正、余弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 学习新知 两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式： 2、两角差的正弦公式： 学习新知 两角和与差的余弦公式、正弦公式 同名积，符号相反 异名积，符号相同 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 辅助角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 学习新知 探究 学习新知 探究 学习新知 通过推导，可以得到： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 学习新知 探究 02 给角求值、给值求值、给值求角 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 应用新知 例3： 解： 应用新知 例3： 应用新知 思考 应用新知 应用新知 应用新知 例4： 分析： 解： 应用新知 例4： 解： 应用新知 应用新知 应用新知 应用新知 小结 同名积，符号相反 异名积，符号相同 正切上同下不同 03 题型强化训练 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 能力提升 题型一：给角求值 能力提升 题型一：给角求值 能力提升 题型一：给角求值 能力提升 题型二：给值求值 能力提升 题型二：给值求值 能力提升 题型二：给值求值 能力提升 题型一：给角求值 能力提升 题型一：给角求值 能力提升 题型三：给值求角 能力提升 题型三：给值求角 04 小结及随堂练习 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课堂总结 本节我们学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式,学会灵活运用. 课堂总结 本节我们学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式,学会灵活运用. 课堂总结 作业 1.教材第 220 页练习第 4,5 题. 2. 教材第 229 页习题 5.5 第 4,5 题. 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 练习(第220页) 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】 的值为（      ） A． B． C． D． 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：D． 【练习2】 （   ） A． B． C． D． 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 【练习3】已知角 ， ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】由 ， ，则 ，则 ， ， 所以 .故选：B. 【练习4】已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 所以 . 故选：A. 【练习5】已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ， 所以 ，所以 . 故选：B. 【练习6】已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，即 ，可得 ，即 ， ．因为 ，则 ， 可得 ，又因为 ， 可得 ．所以 ．故选：D. 【练习7】已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】由 ，又 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 故选：D. 【练习8】已知 ，则 （    ） A． B．5 C． D． 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 即 ，所以 ，即 故选：A. 【练习9】若角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】由三角函数定义可得 ， 所以 . 故选：B. 【练习10】若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】因为 ， 则 . 故选：B. 【详解】由 ，解得 . 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 【变式】已知 ；求 的值. 【反思感悟】探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的 基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各 局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消 的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形 使用公式． 【变式】下列化简结果正确的是（    ） B． C． D． 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B， ，故B正确； 对于C， 【变式】下列化简结果正确的是（    ） B． C． D． ，故C错误； 对于D， ，故D错误. 故选：AB 【反思感悟】给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、 拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 【练习1】化简求值 (1)tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°). (2)tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°. 【解析】（1） EMBED Equation.DSMT4 【练习1】化简求值 (1)tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°). (2)tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°. 【解析】（2） EMBED Equation.DSMT4 . 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用两角 差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利 用两角差的余弦公式求解． 【详解】（1）解：由 ， ，得 ， 所以 ． ． 【练习2】已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值． 【详解】（2）解： ． 【练习2】已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值． 【感悟提升】给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观 察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或 凑角．常见角的变换有①α＝(α＋β)－β；②α＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(β－α,2)； ③2α＝(α＋β)－(β－α)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【练习1】 （    ） A． B． C．2 D． 【详解】原式 ，故选：B 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查二倍角公式的应用，考查同角三角 函数的平方关系，属于基础题． 【感悟提升】利用公式C(α－β)求值的常见类型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，然后利用 两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然 后利用两角差的余弦公式求解． 【练习3】若 ， ，且 ， 是方程 的 两个根，则 ． 【详解】 、 是方程 的两个根， 由韦达定理可得 ， ， ， ， ， ， 则 ，则 ， 则 ．故答案为： 【反思感悟】解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取 一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是 或 时，选 取求余弦值，当所求角范围是 或 时，选取求正弦值． 1．知识清单： (1)公式的推导． (2)给角求值、给值求值、给值求角． (3)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围． 4.具体公式： 两角和与差的余弦公式: ； . 两角和与差的正弦公式: ； . 两角和与差的正切公式: (4) 类型的变换及应用. $