3.2.1 双曲线及其标准方程 预习试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线定义与标准方程，通过8道单选、3道多选、3道填空及5道解答题，覆盖焦点、轨迹、实际应用等核心知识，含爆炸点监测、救灾运输等情境题，培养抽象能力与模型意识，适配新授课预习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|标准方程、焦点判断、轨迹识别|基础巩固，如根据a,b求标准方程| |多选题|3/18|方程分类、焦点三角形性质|能力提升，如结合声强考查双曲线应用| |填空题|3/15|焦点距离、周长计算、轨迹方程|强化计算，如动圆外切求轨迹| |解答题|5/77|定义应用、实际情境建模|创新应用，如汶川救灾运输路径建模，体现数学语言表达现实世界|

2026-2027学年选择性必修一《3.2.1 双曲线及其标准方程》预习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.在双曲线的标准方程中，若，，则标准方程是  (    ) A. B. C. D. 或 2.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为  (    ) A. B. 或 C. 或 D. 3.若动点到点的距离与它到点的距离的差等于，则点的轨迹方程是  (    ) A. B. C. D. 4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点，分别为和，点在双曲线上，且，若的面积为，则双曲线的方程为  (    ) A. B. C. D. 5.已知动点，满足，则动点的轨迹是  (    ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支 6.双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的左支于，两点，且若的周长为，则双曲线的实轴长是  (    ) A. B. C. D. 7.设，是双曲线的焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，则点到焦点的距离是  (    ) A. B. C. 或 D. 不存在 8.已知点，是圆上的动点，点在双曲线的右支上，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若方程所表示的曲线为，则下列说法正确的是  (    ) A. 若，则为椭圆 B. 若，则为双曲线 C. 若为双曲线，则焦距为 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则 10.已知点在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为，则下列判断正确的有  (    ) A. 点到轴的距离为 B. C. 为钝角三角形 D. 11.已知，两监测点间的距离为，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟，设声速为，则下列说法正确的是  (    ) A. 爆炸点在以，为焦点的椭圆上 B. 爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上 C. 若监测点的声强是监测点的倍声强与距离的平方成反比，则爆炸点到监测点的距离为 D. 若监测点的声强是监测点的倍声强与距离的平方成反比，则爆炸点到监测点的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则等于          ． 13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为若，那么的周长是          ． 14.一动圆过定点，且与定圆：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于； 与双曲线有公共焦点，且过点． 16.本小题分 已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点． 求双曲线的标准方程； 若点在双曲线上，，是双曲线的左、右焦点，且，试判断的形状． 17.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别是，． 若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离 如图，若是双曲线左支上的点，且，求的面积． 18.本小题分 已知双曲线的上、下焦点分别是，，为双曲线上支上的动点，． 求双曲线的方程 若，求 19.本小题分 年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路，送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程． 2026-2027学年选择性必修一《3.2.1 双曲线及其标准方程》预习 答案和解析 1.【答案】 【解析】应分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况进行讨论，显然符合要求． 2.【答案】 【解析】由题意知解得． 3.【答案】 【解析】因为，所以点轨迹是焦点在轴上的双曲线的上支，其中，，所以，所以点轨迹方程为． 4.【答案】 【解析】由题意知，，  由  得，即，  解得，又，所以所以双曲线的方程为． 5.【答案】 【解析】表示动点到两定点，的距离之差等于，，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支． 6.【答案】 【解析】由双曲线的定义可得，则因为，所以因为的周长为，所以，所以，即，解得，故双曲线的实轴长是故选B． 7.【答案】 【解析】双曲线的实轴长为，  由双曲线的定义，得  所以，所以或  因为，当时，  ，  不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．  所以． 8.【答案】 【解析】设圆心为点，点在圆上，连接，则，  由点在双曲线右支上，点为双曲线左焦点，  设为双曲线右焦点，连接，，则，  所以由双曲线定义知，  所以，当，，，四点共线且，在，之间时取等号． 9.【答案】 【解析】对于，若方程表示椭圆，则需满足解得且，所以不正确；对于，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则需满足解得，所以D正确；对于，当时，，，此时为焦点在轴上的双曲线，所以B正确；对于，当时，方程表示双曲线，此时双曲线的焦距为，所以不正确．故选BD． 10.【答案】  【解析】由双曲线方程得，，则，由的面积为，得，得，即点到轴的距离为，故A错误；将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，则，由双曲线的定义知，则，则，故 B正确；在中，，则，所以为钝角，则为钝角三角形，故C正确；       ，  则，故 D错误． 11.【答案】  【解析】依题意，设爆炸点为，连接，，则，所以爆炸点在以，为焦点的双曲线的一支上，所以A错误、B正确；若监测点的声强是监测点的倍，则，则，结合可得，所以C错误、D正确． 12.【答案】  【解析】在中，，即，解得． 13.【答案】  【解析】根据双曲线定义知，，所以的周长是． 14.【答案】  【解析】设动圆圆心为点，连接，，则，即，点的轨迹是以，为焦点，且的双曲线的左支．又，，，动圆圆心的轨迹方程为． 15.【答案】因为双曲线的焦点在轴上，  所以设它的标准方程为  因为，，所以，  所以双曲线的标准方程为． 方法一：设双曲线的标准方程为  点在双曲线上，故  又，所以，，  则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为，且  将点代入方程，解得或舍去，  则双曲线的标准方程为． 16.【答案】椭圆的方程可化为，焦点在轴上，且故可设双曲线方程为依题意得解得，故双曲线的标准方程为． 不妨设在双曲线的右支上，  则有  又，  解得，  又，  所以在中，边最长，  由余弦定理可得     所以为钝角，故是钝角三角形．   17.【答案】解双曲线的标准方程为，故，，． 由双曲线的定义得，又双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于， 假设点到另一个焦点的距离等于， 则，解得或． 故点到另一个焦点的距离为或． 由双曲线的定义和余弦定理得，， 所以， 所以，所以． 18.【答案】解：，得，，所以双曲线的方程为． 设，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或舍去， 故，故． 19.【答案】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样近，  依题意知，界线是第三类点的轨迹，  设为界线上的任一点，连接，，  则， ，界线是以，为焦点的双曲线的右支的一部分，  如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，  设双曲线的标准方程为，，，，，  故双曲线的标准方程为，  易知点的坐标为，故的最大值为，此时，  故界线的方程为．   1 学科网（北京）股份有限公司 $