第2章 有理数的运算分层练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层设计明确，基础巩固与拔高训练衔接有序，从概念理解到综合应用，逐步培养抽象能力、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数概念（倒数、科学记数法等）、基本运算（加减乘除、混合运算）|选择填空结合计算题，融入生活情境（如观赛人次、消费数据），强化数感与应用意识| |拔高训练|综合运算（数轴化简、新定义运算）、拓展应用（除方概念、二进制转换）|设置数学文化题（洛书八卦）和跨学科情境，培养推理能力与创新思维，适配分层教学需求|

第2章有理数的运算分层练习-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 基础巩固 1．的倒数是（   ） A． B．0.2 C．5 D． 2．“苏超”持续带动南通消费，5月9日晚，南通队主场对阵南京队，全市72个第二现场人潮涌动，观赛氛围火热．当天，全市共接待游客约480800人次．将480800用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列四个数中，最小的数是（    ）． A． B． C． D． 4．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 5．在数轴上表示两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．的值是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的是（   ） A．两数相加，和一定大于任何一个加数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．所有的有理数都能用数轴上的点表示 D．符号不同的两个数互为相反数 8．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示：则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 9．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 10．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 11．计算： ______． 12．天猫双11全球狂欢节总交易额约2135亿元，用科学记数法表示为_____元． 13．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，结果刘畅同学考了72分，他做对了________道题． 14．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 15．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 16．定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 19．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 拔高训练 20．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简：． 21．综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 22．综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C C C B B B 1．A 【详解】解：，则的倒数为． 2．D 【详解】解：． 3．B 【分析】先化简每个选项，得到具体的有理数，再根据有理数大小比较法则找出最小的数． 【详解】解：，，， ∵， ∴最小的数为． 4．D 【分析】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 5．C 【分析】首先由数轴得，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，，故A，B，D错误； ∴，故C正确． 6．C 【分析】利用“的偶次幂为、奇次幂为”的性质，分别计算后求和，结果为． 【详解】解：∵是偶数，负数的偶次幂为正数， ∴， ∵是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴， ∴原式． 7．C 【分析】本题考查有理数的相关基础概念，包括有理数加法，有理数分类，数轴与有理数的关系，相反数的定义，熟练掌握基础知识即可解题，需逐一判断选项． 【详解】解：∵ 两个负数相加时，和小于任意一个加数，和不一定大于任何一个加数， ∴选项A错误． ∵ 有理数分为正有理数，0和负有理数， ∴选项B错误． ∵ 所有有理数都对应数轴上的一个点，都能用数轴上的点表示， ∴选项C正确． ∵ 只有符号不同的两个数才互为相反数，仅符号不同不满足相反数定义， ∴选项D错误． 综上，答案选C． 8．B 【分析】根据数轴可得，进而根据有理数的加法与乘法法则判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，． 9．B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 10．B 【详解】解：由数轴可知，, ∴,故A正确； 由数轴可知，，故C正确; ∴,故B错误; 由数轴可知，, ∴,故D正确． 11．4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 【详解】 解： ． 12． 【详解】解：2135亿． 13．16 【分析】先假设20道题全部做对，计算出假设总得分，求出实际得分与假设得分的差，再得出做错一道题比做对一道题少得的分数，用总分数差除以做错一道少得的分数，得到做错的题数，最后计算得到做对的题数． 【详解】解：假设20道题全做对，则总分为（分）， 实际比假设少得的分数为（分）， 做错一道题比做对一道题少得的分数为（分）， 做错的题数为（道）， 做对的题数为（道）． 14．7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 15． 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 16． 14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 17．(1) 8 (2) 40 (3) 5 (4) 17 (5) 6 (6) 【分析】（1）根据有理数的加法运算求解即可； （2）化简绝对值并由带分数的运算求解即可； （3）去括号后按照加减法则计算即可； （4）按照先乘除后加减的顺序计算即可； （5）利用乘法分配律简便计算即可； （6）应按照有理数混合运算顺序计算，即先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 18．(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 20． 【分析】本题主要考查根据数轴判定式子的正负性，绝对值的化简，根据图示可得，，再根据绝对值的性质化简，然后合并即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴ ． 21．（1）1，−2；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义计算； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，； （2）① ， ② ， 故答案为：，； （3）原式 ． 22．(1) (2) (3)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并正确使用所给的方法是解题关键． （1）根据【拓展延伸】所给的方法，将每个二进制数转化成十进制数，即可得到答案； （2）类比二进制，八进制数转化为十进制数，需要依次乘以，，，，； （3）根据题干可知，此种计数法属于五进制，类比二进制进行转化，可得十进制下的天数．十进制数转化为二进制数，需要使用除二取余法，即将十进制数反复除以2，并记录每次的余数（0或者1），直到商为0，最后将余数按倒序排列，得到答案． 【详解】（1）解：图2中四个二进制数分别为，，，， 依次转化：， ， ， ， ∴这个四位数为； （2）类比（1）的方法， ， （3）由题意可知，孩子出生天数为，转化为十进制数， ， ∴孩子已经出生了42天． 下面将42转化为二进制数， ， ， ， ， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $