第二章 有理数的运算 分层同步训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，覆盖有理数运算全知识点，从基础概念到综合应用再到拓展探究，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（如加减意义、倒数、乘方符号）|以实际意义题（盈利亏损）巩固概念，培养抽象能力| |能力提升|综合应用（混合运算、简便运算、实际问题）|通过行程/称重问题提升应用意识，强化运算能力| |拓展探究|拓展创新（新定义运算、规律探究、进位制）|设计数列规律与新运算，发展推理意识与创新意识|

第二章 有理数的运算 分层同步训练 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 基础巩固题 1．【考点：有理数加法的实际意义】某校园文具店开学第一周盈利 2200 元，第二周亏损 380 元，若盈利记为正，亏损记为负，则该文具店这两周总盈亏对应的算式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：有理数减法的实际应用】已知甲地海拔高度为米，乙地海拔高度为 88 米，则甲地比乙地低（ ） A．56 米 B．米 C．120 米 D．米 3．【考点：倒数的定义】的倒数是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：乘方的符号判断】下列有理数的乘方运算中，结果为负数的是（ ） A． B． C． D． 5．【考点：科学记数法表示较大数】2025 年我国全国义务教育阶段在校生人数突破 1.6 亿人，数据 1.6 亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 能力提升题 6．【考点：近似数的精确度】用四舍五入法得到的近似数 4.72 万，精确到（ ） A．百分位 B．百位 C．千位 D．万位 7．【考点：有理数混合运算的符号判断】不计算，判断下列算式结果为正数的是（ ） A． B． C． D． 8．【考点：乘法运算律的应用识别】计算时，能够简化运算的运算律是（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 9．【考点：乘方的定义辨析】关于算式，下列说法正确的是（ ） A．底数是，指数是 4 B．表示 4 个相乘 C．表示 4 个 5 相乘的相反数 D．运算结果为正数 拓展探究题 10．【考点：新定义下的有理数混合运算】定义新运算：，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 基础巩固题 11．【考点：有理数加法的简便运算】计算： 。 12．【考点：加减混合运算的省略加号形式】把算式写成省略加号的和的形式为 。 13．【考点：有理数乘法的符号法则】算式的结果符号为 （填 “正” 或 “负”）。 14．【考点：有理数除法与绝对值的综合】已知，，且，则的值为 。 15．【考点：乘方的实际应用】某种细菌每过 20 分钟由 1 个分裂成 2 个，经过 2 小时，1 个这种细菌能分裂成 个。 能力提升题 16．【考点：科学记数法还原原数】已知一个数用科学记数法表示为，则这个数的原数是 。 17．【考点：近似数的取值范围】用四舍五入法对某数取近似值，得到近似数为 2.35，则原数的取值范围是 。 18．【考点：有理数四则混合运算】计算： 。 19．【考点：乘方规律探究】观察下列等式：，，，，…，按此规律， 。 拓展探究题 20．【考点：进位制换算（综合实践）】计算机中使用二进制数（只有 0 和 1，逢二进一），二进制数换算成十进制数是。那么二进制数换算成十进制数的结果是 。 三、解答题（共 10 小题，共 50 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 基础巩固题 21．【考点：有理数加减混合运算】（4 分）计算：。 22．【考点：有理数乘除混合运算】（4 分）计算：。 能力提升题 23．【考点：有理数乘方与乘除混合运算】（4 分）计算：。 24．【考点：乘法分配律的简便运算】（5 分）用简便方法计算：。 25．【考点：有理数加减的实际应用（行程问题）】（5 分）某快递员从快递驿站出发，在东西走向的街道上派件，规定向东为正，向西为负，当天行车里程（单位：km）依次记录如下：，，，，，，。 （1）将最后一件快递送达时，快递员距离驿站多远？在驿站的什么方向？ （2）若该快递车辆每千米耗油量为 0.07L，求当天派件总耗油量。 26．【考点：有理数加减的实际应用（称重问题）】（5 分）某超市购进 12 袋大米，以每袋 20kg 为标准，超过的质量记为正，不足的质量记为负，称重记录如下（单位：kg）：，，，，，，，，，，，。 （1）这 12 袋大米总计超过或不足多少千克？ （2）若大米每千克售价 7 元，则售出这 12 袋大米总收入为多少元？ 27．【考点：有理数乘法法则推导（探究与发现）】（6 分）在有理数的学习中，我们通过数系扩充的思路推导乘法法则，例如 “负负得正” 可按如下方式推导： 根据乘法分配律： 左边： 右边： 因此可得，即。 请你仿照上述过程，证明：。 28．【考点：含乘方的有理数混合运算】（6 分）计算： 拓展探究题 29．【考点：乘方规律综合探究】（6 分）观察下面三行数列： 第 1 行：，，，，，，… 第 2 行：，，，，，，… 第 3 行：，，，，，，… （1）第 1 行的第 9 个数是 ； （2）第 2 行的第个数是 （用含的式子表示）； （3）取每行的第 8 个数，计算这三个数的和。 30．【考点：科学记数法与近似数的综合应用】（5 分）2025 年我国 “嫦娥六号” 完成月球采样返回，已知月球与地球的平均距离约为 384400 千米。 （1）请将 384400 千米用科学记数法表示； （2）若某探测器的飞行速度约为千米 / 小时，求该探测器从地球飞到月球大约需要多少小时？（结果精确到百位，并用科学记数法表示） 参考答案与详细解析 一、选择题 1．答案：B 解析：盈利 2200 元记为，亏损 380 元记为，总盈亏为两周盈亏的和，对应算式为。 2．答案：C 解析：求甲地比乙地低多少，用乙地海拔减去甲地海拔：（米）。 3．答案：D 解析：乘积为 1 的两个数互为倒数，，因此的倒数是。 4．答案：C 解析：A 选项，结果为正；B 选项，结果为正；C 选项负数的奇次幂为负，，结果为负；D 选项，结果为正。 5．答案：C 解析：1.6 亿，科学记数法要求。 6．答案：B 解析：4.72 万，数字 2 在百位上，因此近似数精确到百位。 7．答案：D 解析：A 选项负乘正得负，加负数仍为负；B 选项负负相乘得正，负数减正数结果为负；C 选项平方为正，0 减正数结果为负；D 选项负负相乘得正，加负数后结果仍为正（）。 8．答案：C 解析：算式中括号内的分数分母均为 36 的因数，使用乘法分配律将 - 36 分别乘括号内各项，可消去分母简化运算。 9．答案：C 解析：表示的相反数，底数为 5，指数为 4，运算结果为负数，即表示 4 个 5 相乘的相反数。 10．答案：C 解析：根据新定义代入计算：。 二、填空题 11．答案： 解析：利用加法交换律和结合律分组简便计算：原式。 12．答案： 解析：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，将所有减法转化为加法，省略加号和括号即可。 13．答案：负 解析：多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时结果为负，本题有 3 个负因数，因此结果符号为负。 14．答案： 解析：由得，由得；由可知、异号，因此。 15．答案：64 解析：2 小时有 6 个 20 分钟，即细菌分裂 6 次，每次数量变为原来的 2 倍，因此最终数量为个。 16．答案：6090000 解析：科学记数法还原原数，将的小数点向右移动位，。 17．答案： 解析：四舍五入得到 2.35 时，最小的原数是 “五入” 得到的 2.345，最大的原数是 “四舍” 前的 2.355（不含）。 18．答案： 解析：先算乘除，再算加减：原式。 19．答案：（或 1026169） 解析：规律为：从 1 开始的连续奇数之和，等于奇数个数的平方。1 到 2025 共有个奇数，因此结果为。 20．答案：11 解析：按规则换算：。 三、解答题 21．解：原式 22．解：原式 23．解：原式 24．解：原式 25．解：（1） 答：距离驿站 5km，在驿站东侧。 （2）总里程： 耗油量： 答：当天派件总耗油量为 4.27L。 26．解：（1） 答：总计超过 0.5 千克。 （2）总质量： 总收入： 答：售出这 12 袋大米总收入为 1683.5 元。 27．证明：根据乘法分配律，可得 左边： 右边： 因此有 移项可得 28．解：原式 29．解：（1） （2） （3）第 1 行第 8 个数： 第 2 行第 8 个数： 第 3 行第 8 个数： 三个数的和： 3．解：（1）千米 千米 （2）飞行时间 （精确到十位为） 答：大约需要小时。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $