精品解析：黑龙江牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（平行）

2025级高一学年下学期期末考 试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据2、3、3、5、6、6、6、8的众数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义判断即可. 【详解】由众数的定义得，该组数据的众数为6. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 【答案】D 【解析】 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 3. 在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线得出，应用平行坐标关系计算即可求解. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 5. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 6. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 7. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故. 故选：C 8. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. A，B互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在以下命题中，正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用基底的定义，结合反证法推理判断D即可. 【详解】对于A：非零向量同向时，，共线，但 ，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为且 ， 则由共面向量定理知 四点共面，故C正确； 对于D：因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底， 即存在不全为0的，使得， 即，且不全为0， 这与为空间的一个基底矛盾，故假设不成立， 所以构成空间的另一个基底，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的中位数为5 B. 若一组样本数据的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，通过中位数的定义求解.B，通过对a分类讨论判断极差来求解a的范围.C，通过方差的性质求解.D，通过总体平均值和方差的计算方法求解. 【详解】选项A，，所以中位数为第个和个数和的一半，，错误. 选项B，若，极差为，解得，矛盾. 若，极差为，解得，矛盾. 若，则极差为，符合条件.所以，正确. 选项C，因为，通过方差的性质可知，，正确. 选项D，由题意可知，，，，， 所以，，正确. 11. 如图，已知正方体， 为 的中点， 为的中点，点 在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（ ） A. 无论点 在何处，总有 B. 存在点 ，使得截面恰好过点 C. 点 从 到运动时，点 到平面的距离越来越小 D. 点 从 到运动时，平面与平面 所成的锐二面角越来越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，，利用空间向量判断的位置关系即可判断A；确定过的截面，根据截面是否与线段有交点即可判断B，求出平面的一个法向量，利用空间向量法表示出点 到平面的距离，再得到变化趋势即可判断C；利用空间向量法得到平面与平面 所成的锐二面角的余弦值，再得到变化趋势即可判断D． 【详解】选项A，以 为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 ，，则， 所以， 所以，即，故选项A正确； 对于B，取 的中点，连接， 则， ，， 所以，， 则四边形是平行四边形，即四点共面， 所以截面即为截面， 而截面与棱无交点， 所以不存在点 ，使得截面恰好过点，故B错误； 对于C，， 设平面的法向量为， ，取，则， 又，则点 到平面的距离， 当点 从 到运动时， 越来越大，越来越小， 即点 到平面的距离越来越小，故C正确； 对于D，平面的法向量为， 易知平面 的一个法向量为， 设平面与平面 所成的角为 ， 则， 当点 从 到运动时， 越来越大，越来越小， 越来越大， 即平面与平面 所成的锐二面角越来越大，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点D到直线的距离为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合勾股定理、三角函数关系求解即可. 【详解】正方体中，为的中点， 易知，， . 在中，， 所以. 设点D到直线的距离为，则. 故点D到直线的距离为. 13. 在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先找出三只豚鼠中恰有两只被感染的随机数组，再根据古典概率计算公式计算即可. 【详解】20组随机数中，表示恰有两只被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组， 故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为． 故答案为： 14. 在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，再通过小球半径与正四面体高的关系计算出小球半径为. 【详解】折痕如图1中虚线段，折叠后点A，B，C，D重合为一点如图2 小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体， 该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为， 图3 图4 如图3，取中点，连接，， 设小球与顶点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为， 那么为的中心，则在线段上，且， 令在平面上的投影为，则在线段上， 设与平面平行的小正四面体的面交于点，设小球半径为， 如图4，连接，那么，， 由，可得，， 则，即. 所以，该小球半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 16. 现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： （1）若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； （2）若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； 【小问2详解】 由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. （1）已知是的中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 等边面积​​，得， 由，，得，且， 在中，， 取中点，连接， 因为是中点，故且， 结合且， 得且，即四边形是平行四边形， 因此， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得：平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过四边形是平行四边形即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：， 平面为平面，其一个法向量为， 设平面的法向量为， ，， 由，得：，令，得， 即， 设平面与平面夹角为 则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为分和分的、两位学生宣布退赛，求该小组余下位学生分数的平均数与方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立，求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】（1）晋级分数线划为分合理；平均分分 （2）平均分分，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出、的值，结合百分位数的定义求出第百分位数，可得出晋级的分数线，然后将每个矩形底边的中点值与对应矩形的面积相乘，再将所得结果全加可得出这次竞赛的平均成绩； （2）设该小组位学生的分数分别为、、、，利用平均数公式和方差公式求解即可； （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立，根据独立事件和对立事件的概率公式可求出事件、、的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为分 【小问2详解】 设该小组位学生的分数分别为、、、， 因为，所以， 所以， 所以， 剔除其中的和两个分数，设剩余个数为，、、、， 平均数与标准差分别为、，则剩余个分数的平均数， 方差为. 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 19. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】（1）①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. （2） 【解析】 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【小问1详解】 ①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； 【小问2详解】 设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一学年下学期期末考 试数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据2、3、3、5、6、6、6、8的众数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 3. 在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. A，B互斥 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在以下命题中，正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的中位数为5 B. 若一组样本数据的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 11. 如图，已知正方体， 为 的中点， 为的中点，点 在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（ ） A. 无论点 在何处，总有 B. 存在点 ，使得截面恰好过点 C. 点 从 到运动时，点 到平面的距离越来越小 D. 点 从 到运动时，平面与平面 所成的锐二面角越来越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在棱长为2的正方体中，为的中点，则点D到直线的距离为___________ 13. 在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为______． 14. 在矩形纸片中，，，，，，分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球半径的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 16. 现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： （1）若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； （2）若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. （1）已知是的中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； （2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为分和分的、两位学生宣布退赛，求该小组余下位学生分数的平均数与方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立，求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 19. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $