上海市交通大学附属中学2026届高三上学期开学考试数学试题

26届交大附中高三第一学期开学数学试卷 2025.9 一､填空题 1. 已知集合，，则__________________ 2. 函数的单调递增区间是______． 3. 已知函数在处的导数，则________． 4. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 5. 若，则实数的取值范围是______. 6. 已知，则__________. 7. 在中，，，点满足，，则_____ 8. 直线的倾斜角为__________． 9. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 10. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 11. 已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 二､单选题 13. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 14. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率. 甲 乙 丙 丁 甲 ： 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 ： 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 ： 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 ： 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ） A. 0.21 B. 0.15 C. 0.105 D. 0.045 15. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三､解答题 17. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，沿将△翻折，使二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小； （3）求二面角的正切值． 18. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 19. 某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完. （1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式； （2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 4 6 6 7 4 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差； （3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由. 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 21. 已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 26届交大附中高三第一学期开学数学试卷 2025.9 一､填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】或 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】2 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】15 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､单选题 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三､解答题 【17题答案】 【答案】（1） 在矩形中，因为为中点， 故可得，在中，由勾股定理可得：； 同理，在中，可得：， 故在中，满足，故可得：； 又二面角为直二面角，且面面, 又面，，故可得面； 又面，故可得. （2）； （3）. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）10分钟． 【19题答案】 【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为； （3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下： 由， 可得， 所以（，，），所以， 由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）的所有可能值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $