（浙江温州）2026-2027学年浙教版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形的初步知识、第2章—特殊三角形）

**基本信息** 聚焦三角形与特殊三角形，以生活情境（如测量河对岸距离）和几何模型（如最短路径）为载体，分层考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形、三角形高线、全等判定|第1题结合“数学之美”渗透几何直观，第5题以测量情境考查ASA判定| |填空|6/18|垂直平分线性质、等腰三角形高的夹角|第14题分类讨论高的位置，第16题动点问题融合方程思想| |解答题|7/52|网格作图、直角三角形证明、几何模型应用|第20题以班级菜园为背景计算面积费用，第23题通过最短路径模型发展空间观念与创新意识|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（特殊三角形） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D B B B C A C D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. （或或或） 12. / 13. 19 14. 或 15. 16. 三、解答题：本题共7小题，共52分. 17．（5分） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．（5分） 18．（6分） 【答案】证明：， ， ． 又， ． 在和中， ． 【分析】由两边同时加上推导出；由推导出；最后根据证明两个三角形全等即可． 【详解】见答案（6分） 19．（7分） 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略．（2分） （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为．（4分） （3）略．（7分） 20．（8分） 【答案】(1)证明：，，， ， 是直角三角形． (2)元 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）略（4分） （2）解：过作交于， ，， 为中点， ∴， ， ， 是直角三角形， ， ， 则购买西红柿苗总共需要的费用为：（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）证明得到； （2）证明，得到，即，代入解得，再根据勾股定理求． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)详见解析 (2)30 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，进而证明即可； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，然后结合等边三角形的判定即可证明． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形；（4分） （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，点是边的中点， ∴， ， ， ， ， ，，且， ， 是等腰三角形， 是等边三角形．（8分） 23．（10分） 【答案】(1) 如图1，    (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）略（4分） （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长；（7分） ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2．（10分） 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（特殊三角形） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，是高线，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 4．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 8．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 12．如图，数轴上点A表示的实数是______． 13．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 14．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 15．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 16．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 三、解答题：本题共7小题，共52分. 17．（5分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 18．（6分）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．求证：． 19．（7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 20．（8分）如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 21．（8分）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 22．（8分）如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当 时，是等边三角形． 23．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（特殊三角形） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，是高线，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 4．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 8．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 12．如图，数轴上点A表示的实数是______． 13．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 14．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 15．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 16．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 三、解答题：本题共7小题，共52分. 17．（5分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 18．（6分）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．求证：． 19．（7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 20．（8分）如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 21．（8分）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 22．（8分）如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当 时，是等边三角形． 23．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（特殊三角形） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B符合题意． 2．如图，中，是高线，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的高，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 从点向边作垂线即可求解． 【详解】解：A、是点到的垂线，不符合题意； B、是边上的高，不符合题意； C、是边上的高，符合题意； D、是边上的高，不符合题意；   故选：C． 3．如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 5．如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 6．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项能否推出是直角三角形即可． 【详解】解：A选项：∵， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，故A不符合题意； B选项：∵，三角形内角和为， ∴最大角，是钝角三角形，不能判断是直角三角形，故B符合题意； C选项：∵，设，，， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，故C不符合题意； D选项：∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 8．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 9．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 10．如图，是等边三角形，，分别为，边上的点，且，，相交于点，连接并延长到点，与相交于点，延长到点，连接，，若，，点是的中点，下列结论：；；；，其中正确结论的序号是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，再通过三角形的外角性质即可判断；设，则，所以，再通过角度和差，即可判断；由，则有，可得，即，即可判断；延长到，使，连接，证明，，通过全等三角形的性质等知识，即可判断． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故错误； ， 设，则， ， ， ， ， 又， ，故正确； ， ， ， ，即， ， ，故错误； 延长到，使，连接，如图， 又，， ， ， 又，， ，即， 又， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ，故正确， 综上可得：正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 12．如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 13．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 14．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 15．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 16．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题：本题共7小题，共52分. 17．（5分）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．（5分） 18．（6分）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．求证：． 【答案】证明：， ， ． 又， ． 在和中， ． 【分析】由两边同时加上推导出；由推导出；最后根据证明两个三角形全等即可． 【详解】见答案（6分） 19．（7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略．（2分） （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为．（4分） （3）略．（7分） 20．（8分）如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】(1)证明：，，， ， 是直角三角形． (2)元 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）略（4分） （2）解：过作交于， ，， 为中点， ∴， ， ， 是直角三角形， ， ， 则购买西红柿苗总共需要的费用为：（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元．（8分） 21．（8分）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）证明得到； （2）证明，得到，即，代入解得，再根据勾股定理求． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴．（8分） 22．（8分）如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当 时，是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)30 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，进而证明即可； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，然后结合等边三角形的判定即可证明． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形；（4分） （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，点是边的中点， ∴， ， ， ， ， ，，且， ， 是等腰三角形， 是等边三角形．（8分） 23．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1) 如图1，    (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）略（4分） （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长；（7分） ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2．（10分） 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 2 学科网（北京）股份有限公司 $