（浙江湖州）2026-2027学年浙教版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形的初步知识、第2章—2.1～2.2部分）

**基本信息** 本试卷聚焦八年级上册三角形初步知识与轴对称内容，通过测量距离、度假村选址等真实情境题，融合几何直观与应用意识，适配月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角形全等判定、轴对称图形|第6题以测量距离情境考ASA判定，体现数学眼光| |填空|6/18|垂直平分线性质、等腰三角形计算|第13题梯子下滑问题，培养数学思维的运算能力| |解答|8/72|作图、全等证明、综合探究|第24题综合探究通过构造全等，发展推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（2.1—2.2部分） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．3、3、6 C．2、5、8 D．4、5、6 3．下列语句不是命题的是（     ） A．自然数是整数 B．两锐角的和是直角 C．同角的余角相等 D．作射线 4．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（    ）cm A．8 B． C． D． 8．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 9．我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 12．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 13．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，，点、、在一条直线上，则梯子下滑的高度（即的长）为__________． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 15．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 16．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：， （________） 在与中，，（________） ，． （________） （________） 在与中，，，（________） （________） 18．（6分）如图，在中，，点在边上，点，在线段上，且，．请说明：． 19．（8分）如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 20．（8分）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 21．（10分）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 22．（10分）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 23．（12分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)线段的长是 ． (2)若，求的度数． (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 24．（12分）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（2.1—2.2部分） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．3、3、6 C．2、5、8 D．4、5、6 3．下列语句不是命题的是（     ） A．自然数是整数 B．两锐角的和是直角 C．同角的余角相等 D．作射线 4．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（    ）cm A．8 B． C． D． 8．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 9．我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 12．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 13．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，，点、、在一条直线上，则梯子下滑的高度（即的长）为__________． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 15．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 16．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：， （________） 在与中，，（________） ，． （________） （________） 在与中，，，（________） （________） 18．（6分）如图，在中，，点在边上，点，在线段上，且，．请说明：． 19．（8分）如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 20．（8分）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 21．（10分）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 22．（10分）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 23．（12分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)线段的长是 ． (2)若，求的度数． (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 24．（12分）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（2.1—2.2部分） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A D B D C D A 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. /度 12. ，（答案不唯一） 13. 2 14. 15. 3 16.2或 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分） 【答案】两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；两三角形全等，已证； 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件．利用证明，再利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在与中，（对顶角相等）， ，， ， （两三角形全等，对应边相等）； 在与中，，，（已证）， ， ． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；已证；．（6分） 18．（6分） 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先证明，进而结合已知证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略（6分） 19．（8分） 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) (3)如图， 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质，解答即可． （3）连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）略（2分） （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴； 故答案为：（5分） （3）解：连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求．（8分） 20．（8分） 【答案】(1) 如图线段即为所求； (2) 如图直线即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握用尺规作图作已知角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，线段即为所求； 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接作直线，直线即为所求． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 21．（10分） 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）分别表示出与的周长，再相减即可． 【详解】（1），， ， 解得， 高的长为4．（5分） （2）的中线是， ， 与的周长之差为： ．（10分） 22．（10分） 【答案】 【分析】先根据角平分线得到，继而证明，则，再证明，则，最后根据线段和差证明即可． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴ ．（10分） 23．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； 故答案为：．（4分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；（8分） （3）解：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴．（12分） 24．（12分） 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；（4分） （2）略（8分） （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章（2.1—2.2部分） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行逐项分析即可． 【详解】解：A、中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、中的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； 2．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．2、3、5 B．3、3、6 C．2、5、8 D．4、5、6 【答案】D 【详解】解：A选项，较短两边为2和3，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B选项，较短两边为3和3，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C选项，较短两边为2和5，，不满足三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D选项，较短两边为4和5，，满足三边关系，能组成三角形，符合题意． 3．下列语句不是命题的是（     ） A．自然数是整数 B．两锐角的和是直角 C．同角的余角相等 D．作射线 【答案】D 【详解】解：A、自然数是整数，故不符合题意； B、两锐角的和是直角，故不符合题意； C、同角的余角相等，故不符合题意； D、作射线，不是命题，故符合题意． 4．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 5．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、不是中边上的高，本选项不合题意； B、不是中边上的高，本选项不合题意； C、不是中边上的高，本选项不合题意； D、是中边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（    ）cm A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解．先利用垂直平分线的性质得出，结合，可得，再结合，可求得的周长． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ． ， ． ， ． ， 的周长为． 故答案为：D． 8．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 9．我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分为顶角和为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合“特征值”的定义计算即可． 【详解】解：①当为顶角时，底角度数为， 特征值； ②当为底角时，顶角度数为， 特征值； 综上，该等腰三角形的特征值为或， 故选：D． 10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、大角对大边等知识点，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．根据是的高，得到，结合是的角平分线，平分，得到，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解：是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ∴，故①正确； 是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； 延长交于点， 在和中，， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 12．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 13．如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，，测得，梯子沿墙下滑到位置，测得，，点、、在一条直线上，则梯子下滑的高度（即的长）为__________． 【答案】2 【分析】证明，得，，据此解答即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 15．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 16．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：， （________） 在与中，，（________） ，． （________） （________） 在与中，，，（________） （________） 【答案】两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；两三角形全等，已证； 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件．利用证明，再利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在与中，（对顶角相等）， ，， ， （两三角形全等，对应边相等）； 在与中，，，（已证）， ， ． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；已证；．（6分） 18．（6分）如图，在中，，点在边上，点，在线段上，且，．请说明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先证明，进而结合已知证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略（6分） 19．（8分）如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) (3)如图， 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质，解答即可． （3）连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）略（2分） （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴； 故答案为：（5分） （3）解：连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求．（8分） 20．（8分）如图，已知，． (1)用尺规作图法作出的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)作的中垂线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图线段即为所求； (2) 如图直线即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握用尺规作图作已知角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，线段即为所求； 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接作直线，直线即为所求． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 21．（10分）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）分别表示出与的周长，再相减即可． 【详解】（1），， ， 解得， 高的长为4．（5分） （2）的中线是， ， 与的周长之差为： ．（10分） 22．（10分）已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 【答案】 【分析】先根据角平分线得到，继而证明，则，再证明，则，最后根据线段和差证明即可． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴ ．（10分） 23．（12分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)线段的长是 ． (2)若，求的度数． (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； 故答案为：．（4分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；（8分） （3）解：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴．（12分） 24．（12分）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；（4分） （2）略（8分） （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $