（浙江杭州）2026-2027学年浙教版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形的初步知识）

**基本信息** 聚焦三角形初步知识，通过基础辨析（如三角形三边关系）、情境应用（如村庄活动中心选址）与探究拓展（如延长中线构造全等），考查抽象能力、推理意识及几何直观，适配八年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角形三边关系（第1题）、全等判定（第5题）|第9题通过三种辅助线方案设计，考查几何直观| |填空|6/18|假命题举反例（第12题）、全等判定依据（第13题）|第16题动点问题结合全等，培养推理意识| |解答题|8/72|尺规作图（第20题）、中线性质（第21题）|第24题“探究-应用-拓展”结构，发展创新意识|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C D A D A A D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. （或，写出任意一个即可） 12. , 13. 14. 15. 16.3或 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】根据，并结合垂直的定义和平行线的判定即可填写前两个空格；接下来根据平行线的性质可得同位角和内错角相等，然后根据已知的等角可得两个角相等的关系，进而利用角平分线的定义得出结论． 【详解】略（6分） 18．（6分） 【答案】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】由证明，进而得出结论． 【详解】略（6分） 19．（8分） 【答案】   【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．（8分） 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 20．（8分） 【答案】 【分析】①作的角平分线； ②作的垂直平分线交于点，则和面积相等 【详解】略（8分） 21．（10分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ；（5分） （2）解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ．（10分） 22．（10分） 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略（5分） （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴．（10分） 23．（12分） 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， 平分， ，， , ，， 垂直平分． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角定理，线段垂直平分线性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）由线段垂直平分线得到，根据，，则有等边对等角，，结合三角形的外角定理以及三角形内角和定理建立方程求解； （2）先证明平分，根据角平分线性质得到，再证明平分，则，再根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， 解得， ；（6分） （2）略（12分） 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴，（4分） （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（8分） （3）略（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列语句，是假命题的是（     ） A．如果，，那么 B．过一点作直线的垂线 C．同旁内角互补 D．与同一条直线平行的两条直线也平行 4．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 7．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 8．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 9．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 10．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 12．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 13．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 14．如图，在的方格纸中，__________ ． 15．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 18．（6分）如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 19．（8分）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      20．（8分）用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 21．（10分）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 22．（10分）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 23．（12分）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 24．（12分）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列语句，是假命题的是（     ） A．如果，，那么 B．过一点作直线的垂线 C．同旁内角互补 D．与同一条直线平行的两条直线也平行 4．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 7．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 8．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 9．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 10．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 12．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 13．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 14．如图，在的方格纸中，__________ ． 15．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 18．（6分）如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 19．（8分）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      20．（8分）用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 21．（10分）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 22．（10分）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 23．（12分）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 24．（12分）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 2．在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 3．下列语句，是假命题的是（     ） A．如果，，那么 B．过一点作直线的垂线 C．同旁内角互补 D．与同一条直线平行的两条直线也平行 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否为命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：A、若，，则符合等式的传递性，是真命题，故此选项不符合题意； B、“过一点作直线的垂线”没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； C、“同旁内角互补”是命题，只有两直线平行时同旁内角才互补，该命题缺少前提，结论不成立，因此是假命题，故此选项符合题意； D、“与同一条直线平行的两条直线也平行”是平行公理的推论，是真命题，故此选项不符合题意． 4．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 6．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可确定满足条件的点的位置. 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. ∴要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上， 同理，要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上. ∴两条垂直平分线的交点，到，，三个点的距离都相等， ∴活动中心应建在三条边的垂直平分线的交点. 7．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 8．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 9．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 10．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 【答案】（或，写出任意一个即可） 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数的条件确定符合要求的的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，， ∴ ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 12．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 13．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可； 【详解】解：在和中， ， . 14．如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】根据，并结合垂直的定义和平行线的判定即可填写前两个空格；接下来根据平行线的性质可得同位角和内错角相等，然后根据已知的等角可得两个角相等的关系，进而利用角平分线的定义得出结论． 【详解】略（6分） 18．（6分）如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】由证明，进而得出结论． 【详解】略（6分） 19．（8分）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】   【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．（8分） 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 20．（8分）用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 【答案】 【分析】①作的角平分线； ②作的垂直平分线交于点，则和面积相等 【详解】略（8分） 21．（10分）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ；（5分） （2）解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ．（10分） 22．（10分）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略（5分） （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴．（10分） 23．（12分）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， 平分， ，， , ，， 垂直平分． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角定理，线段垂直平分线性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）由线段垂直平分线得到，根据，，则有等边对等角，，结合三角形的外角定理以及三角形内角和定理建立方程求解； （2）先证明平分，根据角平分线性质得到，再证明平分，则，再根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， 解得， ；（6分） （2）略（12分） 24．（12分）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴，（4分） （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（8分） （3）略（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $