（浙江宁波）2026-2027学年浙教版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形的初步知识、第2章—特殊三角形）

**基本信息** 聚焦三角形与特殊三角形知识，以AI图标、荡秋千等真实情境命题，通过作图操作、动态探究等题型考查几何直观与推理能力，适配八年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称、三角形高、全等判定等|第1题以2025年AI应用图标考轴对称识别，体现时代性| |填空|6/18|等腰三角形周长、命题真假等|第11题分类讨论等腰三角形底边长，考查思维严谨性| |解答|8/72|全等证明、作图、动态探究|第23题分层次探究线段关系，第24题结合点运动考查等腰三角形分类，培养推理与应用意识|

2026一2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章特殊三角形 总分：120分考试时间：120min 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 3 5 6 7 P 9 10 B A D C B C B C B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.412.假13.90° 240 14.3615.5 16.13 三、解答题：本题共8小题，共72分 17.(6分) 【答案】证明：∠BCE=∠ACD, ∴∠BCE+LECA=∠ACD+LECA,即∠BCA=∠ECD, :在△BCA和△ECD中， BC=EC ∠BCA=∠ECD CA=CD ABCAS≌aECD(SAS) ..AB=DE 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明AB=DE, 【详解】略.(6分) 18.(6分) 【答案】解：如图，点P即为所求， 1/12 B E 此时，点P到OA、OB的距离相等，且PO=PC 【分析】先作∠AOB的角平分线，再作线段OC的垂直平分线，两者的交点即为点P:根据角平分线的性 质，即可得出点P到OA、OB的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质，即可得出PO=PC 【详解】解：①作∠AOB的角平分线：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交∠AOB的两边于两点，再 分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离的一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，最后过点O和 这个交点作射线，该射线为∠AOB的角平分线；(2分) ②作线段OC的垂直平分线：分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，两弧分别 在线段上下方各相交于一点，连接这两个交点所得的直线是线段OC的垂直平分线：(4分) ③∠AOB的角平分线和线段OC的垂直平分线，两者的交点即为点P. :OP是∠AOB的角平分线， ∴点P到OA、OB的距离相等 :PE为线段OC的垂直平分线， .P0=PC.(6分) 19.(8分) 【答案】(1) 如图所示，△4BG即为所求： (2)5 2/12 (3) 如图所示，点Q即为所求。 【分析】(1先分别找出A、B、C三点关于直线1的对称点4、B、G 再顺次连接这三个对称点得到 △AB,C1 (2)因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以先作出线段AC的垂直平分线，再数 出该垂直平分线上的格点数量 (3)先找出点C关于直线1的对称点，再连接该对称点与点B,这条线段与直线I的交点即为点Q. 【详解】(1)略(2分) (2)由图可知网格中清足条件的P点分别有？B.月.B.B,共有5个， (5分) (3)略(8分) 20.(8分) 【答案】(1) 证明：，AE⊥BD, ∴.∠AEB=90°=∠ACB 3/12 ∠EAC+∠ADE=90°，∠DBC+∠BDC=90° 又：∠ADE=∠BDC, ∴.∠EAC=∠CBD 在△ACF和△BCD中， ∠FAC=∠DBC AC=BC ∠ACF=∠BCD' △ACF≌△BCD(ASA) .AF=BD」 (2)证明： .BD=2AE,BD=AF AE+EF, AE=EF,即E为AF中点. .BE⊥AF, ∴.BE垂直平分AF, .BA=BF, ∴.BD平分∠ABC」 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用 相关知识解决问题是解题关键. △ACF≌ABCD(ASAM) (1)证 即可证明结论AF=BD! (2)由AF=BD,BD=2AE,得出AE=EF,利用垂直平分线的性质，得出BA=BF,最后利用等腰 三角形三线合一的性质，即可证明结论. 【详解】(1)略(4分) (2)略(8分) 21.(10分) 【答案】(1) 证明：：AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, ∠BD=∠CMD-1C=60. .AD=AB, 4/12 △ABD是等边三角形： (2)3 【分析】(1)由等膜三角形的性质可得∠B4D=∠CAD=∠B4C=60°，进而即可求证： (2)证明 BDE≌△ADF(ASA) 得到BE=AF,再根据己知条件即可求解 【详解】(1)略(5分) (2)解：△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD, .∠EDF=60°， ∠ADB=∠EDF, 即∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE, ,∠BDE=∠ADF, 又由(1)可得，∠EBD=∠FAD=60°， △BDE≌△ADF(ASA) .BE=AF, AB=10,AE=7. AF=BE=10-7=3.(10分) 22.(10分) 【答案】(I)证明：：DF=CD,DE⊥CF, :FE=CE: (2)证明：作DN⊥AC于点N, B D M E NC:∠DNC=∠DBF=90° ∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180° .LBFD=∠DCN 5/12 .DF CD ∴△DBF≌aDNC(AAS) :DB=DN. :DN⊥AC,∠B=90°， .AD平分∠BAC, .∠DAB=∠DAC: (3)MF=4 【分析】(1)根据等腰三角形性质证明结论即可； (2)作DNL4C于点N证明△DB9aDNC(AMS),得出DB=DN,进而得出AD平分∠BAC,即可得 出结论： AF FM (3)作MP⊥AB于点P,作MQ⊥AC于点O,证明ACCM,证明△ADB≌aADN(AAS)得出 AF 2 FM AN=AB,得出AC3CM,设FM=2k,CM=3k,求出FE=CE=2,5k,结合ME=1,求出k值即 可求出结论 【详解】(1)略(3分) (2)略(6分) (3)解：作MP⊥AB于点P,作Mg⊥AC于点Q, B P D M :AD平分∠BAC, ∴.MP=Mg 、= 1 AF.MP 2 AF S.AMC I 24C.MO AC, 6/12 S.AUEFM 同理：S.AMC CM AF FM AC CM △DBF≌ADNC(AAS) 由(2)知， :BF=NC. AC=6BF」 .AC=6NC, AN =5NC,AN_5 AC 6 :∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD ∴.△ADB≌△ADN(AAS) .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC. AF 4 2 FM AC 6 3 CM' 设FM=2k,CM=3k. 则CF=5k, .FE=CE=2.5k ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1. k=2, .MF=2k=4.(10分) 23.(12分) 【答案】(I)BD=AE (2)DE=BD+CE,理由：：点D、A、E在直线m上， ∴.∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°. 由三角形内角和定理知，∠DAB+∠BDA+∠ABD=180°， .∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴.∠CAE=∠ABD 7/12 ..AB=AC, △ABD≌△CAE(AAS) :AD=CE,BD=AE. .DE=BD+CE: (3)3cm/s或2cm/s 【分析】(1)利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD,再利用AAS证明△ABD≌△CAE 得BD=AE; (2)同1)可证明△ABD≌△CAE,得BD=AE,CE=AD,可得答案： (3)过点A作4F1BC于R,可证 Ri△AB≌Ra1C(IL）,符到∠B=∠C:再分△BPECPO和 △BPE≌△CQP 两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可. 【详解】(I)解：：∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°=∠BAD+∠BDA+∠ABD, ∴.∠CAE=∠ABD」 又，AB=AC, △ABD≌ACAE(AAS) .BD=AE;(4分) (2)略(8分) (3)解：如图所示，过点A作AF⊥BC于F, A B→PF ∴.∠AFB=∠AFC=90°， 又：AB=AC,AF=AF, RtAAFBS≌Rt△AFC(HL) 8/12 .∠B=∠C: ,E是AB中点， BE三2AB=6cm 当ABPE≌aCPO时，则C2=BE=6cm,BP=CP= IBC=4cm, ∴.e= 3(cm/s), 6 △BPE≌△COP BE=CP=6cm,BP=CO 时，则 .'BP=BC-CP=2cm, 4=子同) 2 2 =f=2(cm/s), 综上所述，点2的运动速度为3cm/s或2cm/s.(12分) 24.(12分) 4 【答案】4)5 8 (23 119 3 (3)1=2或4或5或1 【分析】(I)过点C作CH⊥AB交于点H,根据面积法计算： (2)当点在BMC ,PM⊥AB 角平分线上，过点作 ，根据角平分线的性质和面积法计算： (3)分类讨论当P在AC上时和当P在AB上时，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可， 【详解】(I)解：过点C作CH⊥AB交于点H, 9/12 C H B 由题意知， AC=VAB2-BC2=V10-62=8 AC-BC-ABCH .CH=AC.CB AB 8×6 10 24 5;(4分) (②解：如图，当点在BM RBM⊥AB 的角平分线上，过点作 C P P M B 则有RC=PM S.awe-AC-BC=1x8x6=24 1 又Sc=Se+Sn =。AC.PC+二AB·PM 2 C108 1 =4PC+5PM =9PC 10/12 9PC=24 解得C-。 AC+CP=41 此时 ,CR=4t-8 1-8=8 , 解狗：(8分) (3)解：①当P在AC上时，CP=CB=6, B .8-41=6, 1 解得=2： ②当P在B上，作CB的中垂线交4B于点5，则有BC=PB E P2 B ∠B=∠PCB :∠A=90°-∠B∠ACB=90°-∠BCB PC=AP 11/12 4B=BB-7AB=5 4t=AC+CB+BP=8+6+5=19 此时 解得119 4: ③当P在MB上，Cg=CB=6时BH=B明 时， P A P3 H B 由(1)知CH=24 , ÷Bm-M=m-F-6-(- 此时4H=AC+CB+BB=8+6+18×2=106 5, 解得8 ④当在4B上， BP=BC=6 时， P Pa B t=AC+CB+BP=8+6+6=20 此时 解得t=5; 119 53 综上所述，ABCP是等腰三角形时，1=2或4或5或10：(12分) 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章特殊三角形 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 5．如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 6．能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 12．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 14．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 15．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 16．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，已知，，．求证：． 18．（6分）如图，点在的边上． 求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） 19．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)若格点到点的距离相等（即），则网格中满足条件的点共有_____个； (3)在直线上找一点，使的值最小，请借助网格在图中标出点的位置． 20．（8分）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 21．（10分）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 22．（10分）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 23．（12分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 24．（12分）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长及斜边上的高； (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章特殊三角形 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 5．如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 6．能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 12．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 14．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 15．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 16．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，已知，，．求证：． 18．（6分）如图，点在的边上． 求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） 19．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)若格点到点的距离相等（即），则网格中满足条件的点共有_____个； (3)在直线上找一点，使的值最小，请借助网格在图中标出点的位置． 20．（8分）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 21．（10分）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 22．（10分）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 23．（12分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 24．（12分）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长及斜边上的高； (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形的初步知识）第2章特殊三角形 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2．下列各图中，作边上的高，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，如图： 故选：D． 3．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 4．下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 【答案】D 【分析】找出每组数中的最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，能构成直角三角形，不符合题意； B选项，，能构成直角三角形，不符合题意； C选项，，能构成直角三角形，不符合题意； D选项，，，，不能构成直角三角形，符合题意． 5．如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，可利用“角边角”证明，故本选项不符合题意； B、添加，可得可利用“边角边”证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边角”，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用“角角边”证明，故本选项不符合题意； 6．能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论即可． 【详解】解：反例需要满足条件，不满足结论， 对选项B，，，满足，即，而，，可得，即，不满足原命题结论， 选项B符合题意； 其余选项均满足，也满足，不符合题意． 7．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 8．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，，，利用外角的性质求出，通过等量代换求出，最后根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ． ， ， ，，， ， ． ， ， ． 9．如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察作图过程，得出，是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质得，再运用三角形内角和性质得，根据同位角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：依题意，是的角平分线， ∴ 依题意，是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴，故D选项不符合题意； 则 ∴，故B选项不符合题意； ∵，是的垂直平分线， ∴ ∴，故A选项不符合题意； 只知道，是的角平分线，是的垂直平分线，得不出的度数，故无法得出之间的关系， 故不一定正确， 故C选项符合题意． 10．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：当为底边长时，当为腰长时，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为， ∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意； 当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意，舍去； 综上所述，该三角形的底边长为． 12．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果． 【详解】解：取， 满足， ， 不满足， 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 14．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 15．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 16．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】在上取点，使，过点作，交于，通过证明推出，将的最小值转化为，最后通过等面积法求出即可． 【详解】解：如图，在上取点，使，过点作，交于， ，是边上的中线， ， 和中， ， ， ，当点，，共线时，取得最小值， 为点到的最短距离， 当点运动到点，点运动到点，即与重合，取得最小值， ，，， ， 解得， 故的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6分）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ∴，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明． 【详解】略．（6分） 18．（6分）如图，点在的边上． 求作：点，使点到、的距离相等，且．（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】解：如图，点即为所求， 此时，点到、的距离相等，且． 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，两者的交点即为点；根据角平分线的性质，即可得出点到、的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质，即可得出． 【详解】解：①作的角平分线：以点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离的一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，最后过点和这个交点作射线，该射线为的角平分线；（2分） ②作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各相交于一点，连接这两个交点所得的直线是线段的垂直平分线；（4分） ③的角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点即为点． 是的角平分线， 点到、的距离相等． 为线段的垂直平分线， ．（6分） 19．（8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)若格点到点的距离相等（即），则网格中满足条件的点共有_____个； (3)在直线上找一点，使的值最小，请借助网格在图中标出点的位置． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)5 (3) 如图所示，点Q即为所求． 【分析】（1）先分别找出A、B、C三点关于直线l的对称点、、，再顺次连接这三个对称点得到． （2）因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以先作出线段的垂直平分线，再数出该垂直平分线上的格点数量． （3）先找出点C关于直线l的对称点，再连接该对称点与点B，这条线段与直线l的交点即为点Q． 【详解】（1）略（2分） （2）由图可知网格中满足条件的点分别有，，，，共有5个； （5分） （3）略（8分） 20．（8分）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 21．（10分）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴．（10分） 22．（10分）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ．（10分） 23．（12分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴；（4分） （2）略（8分） （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或．（12分） 24．（12分）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长及斜边上的高； (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）过点作交于点，根据面积法计算； （2）当点在的角平分线上，过点作，根据角平分线的性质和面积法计算； （3）分类讨论当在上时和当在上时，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， 由题意知，， ∵， ∴ ；（4分） （2）解：如图，当点在的角平分线上，过点作， 则有， ∵， 又∵ ， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 解得；（8分） （3）解：①当在上时，， ∴， 解得； ②当在上，作的中垂线交于点，则有， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时， 解得； ③当在上，时，， 由（1）知， ∴， 此时， 解得； ④当在上，时， 此时， 解得； 综上所述，是等腰三角形时，或或或．（12分） 2 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