专题 2.9 有理数的运算复习专题——有理数的运算技巧（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以“有理数运算技巧”为核心，通过表格系统梳理巧有分配律、分组归纳法等五大知识点，每个技巧按“类型-方法”呈现，构建清晰知识脉络，突出运算规律与内在联系，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于“题型精析+变式训练”设计，如倒序相加法通过等差数列求和示例及变式题，引导学生掌握推理方法，裂项相消法结合规律探究培养运算能力。同步检测分层设置，基础题巩固方法，解答题提升综合应用，助力教师精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题 2.9 有理数的运算复习专题——有理数的运算技巧（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数运算技巧提炼与解读 1 【知识点一】巧有分配律 1 【知识点二】分组归纳法 2 【知识点三】倒序相加法 2 【知识点四】错位相减法 2 【知识点五】列项相消法 3 二.题型精析 3 【题型1】凑整拆项·正用乘法分配律 3 【题型2】因式重组·逆用乘法分配律 5 【题型3】整体倒数法运用乘法分配律 7 【题型4】分组后组和相同（或成等差数列） 10 【题型5】倒序相加法 11 【题型6】错位加减法 14 【题型7】裂项相消法 17 三.同步检测 20 （一）选择题（本大题共1个小题,每小题4分,共4分） 20 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21 （三）解答题（本大题共10小题，共76分） 23 一、有理数运算技巧提炼与解读 【知识点一】巧有分配律 类型 方法 “凑整拆项”正用乘法分配律 在乘法运算中，若某个因数接近易于运算的整数时，可通过凑整进行转化，再运用乘法分配律进行简便计算。 “因式重组”逆用乘法分配律 在四则混合运算中，当几个整体求和但看上去没有公因数时，可以观察不同整体的因子之间是否有公因数，可以尝试将因子进行重组，从而逆用乘法分配律进行简便计算。 “整体倒数”转化乘法分配律 除法虽然没有对加减法的分配律，但是可以先整体取倒数，再运用乘法 分配律进行计算。 【知识点二】分组归纳法 类型 方法 分组后组和相同 （1）数的符号排列为+，-，+，-，...交替呈周期为2循环规律，故2个数为一组进行分割求和。（2）等组和均相同为-1，则总和=组和组数。 分组后组和成等差数列 （1）符号排列为+，+，-，+，+，-，...交替呈周期为3循环规律，故3个数为一组进行分割求和。（2）每组和不相同，但呈等差数列，可提取公因数后，利用公式求和。 【知识点三】倒序相加法 类型 方法 等差数列 若一个数列，满足任意两项的差是一个定值，即，则这样的数列叫等差数列。 倒序相加 通常对于等差数列的求和，都可以采用倒序相加法。 比如求的值，设， 倒序排列:，两式对位相加得： 即，则S= 【知识点四】错位相减法 类型 方法 等比数列 若一个数列，满足任意两项的比值是一个定值，即，则这样的数列叫等比数列。 错位相减 通常对于等比数列的求和，都可以采用错位相减法。 比如求的值，设则有： ，则S= 【知识点五】列项相消法 分数多项连加时常采用的方法，裂差后中间项抵消剩下首项、末项，常见的裂差结构如下： （1） ；（2）；（3） 二.题型精析 【题型1】凑整拆项·正用乘法分配律 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【答案】 解： . 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）对于算式可以转换为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，原式利用乘法分配律变形即可得到结果，熟练掌握乘法分配律是解本题的关键． 解： ， 故选：A． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 解：原式； 故答案为： 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． （1）； （2）． 【答案】（1）11988；（2）99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ． 【题型2】因式重组·逆用乘法分配律 【例题2】（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）观察式子，先把式子整理得，运算括号内得 ，再整理得，然后运算括号内，最后运算乘法，即可作答． （1）解： ． （2）解： 【变式1】（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）计算的结果是（   ） A．0 B． C．49 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 解： ． 故选：A． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． （1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：． 【答案】98.1 【分析】本题主要考查乘法分配律，原式根据乘法分配律进行计算即可． 解： ． 【题型3】整体倒数法运用乘法分配律 【例题3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法运算律，倒数．熟练掌握乘法运算律，倒数是解题的关键． 由题意知，原式的倒数，利用乘法运算律求解，然后求倒数即可． 解：原式的倒数 ， ∴原式． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）简便计算：． （2）认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． （1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 【变式2】（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解． 解： ； ∵与互为倒数，且， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可． 解：， =， =， =， =-2， ∴． 【点拨】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型4】分组后组和相同（或成等差数列） 【例题4】 24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）已知：，，，，…，则（    ） A．-511 B．512 C．522 D．-510 【答案】B 【分析】先根据题意发现规律，然后利用规律计算即可． 解：∵，，，， ∴ ， 故选：B． 【点拨】题目主要考查有理数的加减混合运算，找出题干中的规律是解题关键． 【变式1】（2025七年级下·云南保山·竞赛）已知，那么____． 【答案】 【分析】结合式子特征，，把数值代入计算，即可作答． 解： ∵，且 ∴． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 解： ． 故答案为：. 【题型5】倒序相加法 【例题5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 解： ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空：______． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）21；（2）5055 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． （1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 【题型6】错位加减法 【例题6】（24-25七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【答案】 【分析】仿照题干给定的方法，令，则，两式相减后，即可得出结果． 解：令，则， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： （1）； （2）（其中为正整数） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． （1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝（2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101）－（1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100）＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋（）＋（）2＋（）3＋…＋（）2019＋（）2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 解：设, 则， 两式相减得： 即 【点拨】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）500500；（2）15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． （1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． 【题型7】裂项相消法 【例题7】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… （1）按以上规律，第④个等式为：_____； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了通过观察规律进行分数的简便运算． （1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，第④个等式中，两个连续偶数应该是8和10，所以第④个等式为； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）先对原式中的每一项进行变形，将原式变形后发现，每一项都可以写成的形式，随即可计算得出结果． （1）解：根据第①②③个等式规律可知：， 故答案为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， （1）你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． （2）利用你发现的规律，计算： ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是关键． （1）根据题干所给的式子找出规律即可求解； （2）把每一项分裂成两个数的差，从而使相反数的项互相抵消，使运算简化． （1）解：∵，，， ∴下一个式子应该是， 故答案为：； （2）原式 ． 【变式2】23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）阅读、理解和探索： （1）观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是______； （2）利用（1）中的规律，计算：______； （3）应用以上规律：化简：． （4）观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）， 【分析】本题考查规律探索问题， （1）根据观察得到的规律求解即可； （2）利用（1）中的规律求解即可； （3）利用（1）中的规律求解即可； （4）首先得到第1个数为，第2个数为，第3个数为，然后总结出规律得到第n个数为，进而变形求解即可． 结合已知条件总结出规律：，是解题的关键． 解：（1）观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是； （2） ； （3） ； （4）第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； … ∴第n个数为； ∴ ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共1个小题,每小题4分,共4分） 1．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 故选：A． （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 2．（25-26七年级上·全国·周测）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，两两一组分别计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算______. 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 解： ． 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，有理数的加减混合运算，先理解以此类推，得，故把原式整理得，再运算括号内的加减运算，最后运算乘法，即可作答． 解：依题意， 以此类推，得， 则 ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空：______． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 解：根据题意得： ， 故答案为：2500． （三）解答题（本大题共10小题，共76分） 7．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算：（要求写出必要的过程） 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． 根据有理数的加减运算求解即可． 解： ． 8．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）计算： （1） （2） 【答案】（1）1002；（2） 【分析】（1）先对每一个括号内的算式通分化简，得到一串连续分数相乘的形式，观察可发现相邻分数的分子分母能够交叉约分，约分后仅保留第一个分数的分母与最后一个分数的分子，相除即可算出答案． （2）先用连续自然数求和公式化简原式每一项的分母，将所有分式统一变形为裂项形式，提取公因数2后展开算式，中间互为相反数的分数相互抵消，仅剩下首尾两项，简单计算便能得到最终结果． （1）解： ； （2）解： ． 9．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【答案】 解： ． 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 11．（21-22七年级上·湖南益阳·阶段检测）计算题． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）根据裂项求和进行简便运算即可； （2）观察算式的分母，找到规律，进而裂项相消求和进行简便运算即可求解； （3）观察算式的，令，则，两式相加即可求解． （1）解：原式＝ ； （2）解：∵ ∴原式＝ ； （3）令 ① ②得： ，故 ． 【点拨】本题考查了有理数的加法，乘法，乘方运算，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键． 12．（24-25七年级上·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去…… （1）试利用图形揭示的规律计算：＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． （2）请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形． 【答案】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ， 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ， ； ②设 ， ， ， 即， ； （2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去， 则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积： 【分析】（1）①根据图形可知用正方形面积减去最后一个小长方形面积即可求解；②设，再算出，两式相减即可证明； （2）用正方形的对角线将面积为1正方形分成两个面积为的三角形，然后再作三角形的高，将其面积平分，如此进行下去即可． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了图形的规律，数字的规律，图形的面积，有理数的乘方；分析、总结、归纳的能力是解题的关键． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）阅读探究：，，，… （1）根据上述规律，小亮发现，求出___________． （2）小聪继续又发现： ，求出___________． （3）若，请运用小聪的方法求和的值 【答案】（1）6；（2）7；（3）， 【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解； （2）根据阅读材料，发现规律即可； （3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算． （1）解：∵，，， ∴， ∴ 故答案为：6 （2）解：∵， ， ∴， ∴. 故答案为：7 （3）解：∵， ∴ ∵， ∴，. 【点拨】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料． 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   （1）利用上述规律计算： （2）计算： 【答案】（1）5151；（2） 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． （1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 15．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）___________，___________； （2）类比上述规律计算下列式子：． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． （1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： ；；；；…… （1）利用上述规律计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． （1）解：由题意得出规律：， ∴； （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.9 有理数的运算复习专题——有理数的运算技巧（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数运算技巧提炼与解读 1 【知识点一】巧有分配律 1 【知识点二】分组归纳法 2 【知识点三】倒序相加法 2 【知识点四】错位相减法 3 【知识点五】列项相消法 3 二.题型精析 3 【题型1】凑整拆项·正用乘法分配律 3 【题型2】因式重组·逆用乘法分配律 4 【题型3】整体倒数法运用乘法分配律 4 【题型4】分组后组和相同（或成等差数列） 6 【题型5】倒序相加法 6 【题型6】错位加减法 6 【题型7】裂项相消法 8 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共1个小题,每小题4分,共4分） 8 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9 （三）解答题（本大题共10小题，共76分） 9 一、有理数运算技巧提炼与解读 【知识点一】巧有分配律 类型 方法 “凑整拆项”正用乘法分配律 在乘法运算中，若某个因数接近易于运算的整数时，可通过凑整进行转化，再运用乘法分配律进行简便计算。 “因式重组”逆用乘法分配律 在四则混合运算中，当几个整体求和但看上去没有公因数时，可以观察不同整体的因子之间是否有公因数，可以尝试将因子进行重组，从而逆用乘法分配律进行简便计算。 “整体倒数”转化乘法分配律 除法虽然没有对加减法的分配律，但是可以先整体取倒数，再运用乘法 分配律进行计算。 【知识点二】分组归纳法 类型 方法 分组后组和相同 （1）数的符号排列为+，-，+，-，...交替呈周期为2循环规律，故2个数为一组进行分割求和。（2）等组和均相同为-1，则总和=组和组数。 分组后组和成等差数列 （1）符号排列为+，+，-，+，+，-，...交替呈周期为3循环规律，故3个数为一组进行分割求和。（2）每组和不相同，但呈等差数列，可提取公因数后，利用公式求和。 【知识点三】倒序相加法 类型 方法 等差数列 若一个数列，满足任意两项的差是一个定值，即，则这样的数列叫等差数列。 倒序相加 通常对于等差数列的求和，都可以采用倒序相加法。 比如求的值，设， 倒序排列:，两式对位相加得： 即，则S= 【知识点四】错位相减法 类型 方法 等比数列 若一个数列，满足任意两项的比值是一个定值，即，则这样的数列叫等比数列。 错位相减 通常对于等比数列的求和，都可以采用错位相减法。 比如求的值，设则有： ，则S= 【知识点五】列项相消法 分数多项连加时常采用的方法，裂差后中间项抵消剩下首项、末项，常见的裂差结构如下： （1） ；（2）；（3） 二.题型精析 【题型1】凑整拆项·正用乘法分配律 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）对于算式可以转换为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． （1）； （2）． 【题型2】因式重组·逆用乘法分配律 【例题2】（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·广西玉林·阶段检测）计算的结果是（   ） A．0 B． C．49 D． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【变式3】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：． 【题型3】整体倒数法运用乘法分配律 【例题3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）简便计算：． （2）认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【变式2】（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【变式3】（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 【题型4】分组后组和相同（或成等差数列） 【例题4】 24-25七年级上·河南安阳·阶段检测）已知：，，，，…，则（    ） A．-511 B．512 C．522 D．-510 【变式1】（2025七年级下·云南保山·竞赛）已知，那么____． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【题型5】倒序相加法 【例题5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【变式1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空：______． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【题型6】错位加减法 【例题6】（24-25七年级下·河南焦作·期中）为了求的值， 令．① 则．② ②①，得，即． 仿照以上解题过程，计算：． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： （1）； （2）（其中为正整数） 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝（2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101）－（1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100）＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋（）＋（）2＋（）3＋…＋（）2019＋（）2020． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：； （2）计算：． 【题型7】裂项相消法 【例题7】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… （1）按以上规律，第④个等式为：_____； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 【变式1】（24-25七年级上·湖南郴州·阶段检测）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子： ，，，…， （1）你发现规律了吗？下一个式子应该是： ． （2）利用你发现的规律，计算： ． 【变式2】23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）阅读、理解和探索： （1）观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是______； （2）利用（1）中的规律，计算：______； （3）应用以上规律：化简：． （4）观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共1个小题,每小题4分,共4分） 1．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 2．（25-26七年级上·全国·周测）计算：________． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算______. 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的值为_____． 5．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则的值为_________． 6．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空：______． （三）解答题（本大题共10小题，共76分） 7．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算：（要求写出必要的过程） 8．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）计算： （1） （2） 9．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 11．（21-22七年级上·湖南益阳·阶段检测）计算题． （1）． （2）． （3）． 12．（24-25七年级上·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去…… （1）试利用图形揭示的规律计算：＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． （2）请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）阅读探究：，，，… （1）根据上述规律，小亮发现，求出___________． （2）小聪继续又发现： ，求出___________． （3）若，请运用小聪的方法求和的值 14．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   （1）利用上述规律计算： （2）计算： 15．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）___________，___________； （2）类比上述规律计算下列式子：． 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： ；；；；…… （1）利用上述规律计算：； （2）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $