专题 2.6 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从乘方的基本概念（底数、指数、幂）出发，通过符号法则掌握正负判断，结合易混底数辨析突破难点，最后延伸至科学记数法，构建递进式知识支架。 资料以“知识梳理-题型精析-同步检测”为框架，标注核心必考与高频易错点提升抽象能力，题型精析含解题技巧与变式训练强化运算能力，同步检测融入实际情境培养应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题 2.6 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】乘方的基本概念 1 【知识点2】乘方符号法则（核心必考） 2 【知识点3】易混底数辨析（高频易错） 2 【知识点4】科学记数法 2 二.题型精析 2 【题型1】基础乘方计算 2 【题型2】分数与负数混合乘方 3 【题型3】幂的正负判断 3 【题型4】科学记数法正反互化 4 【题型5】乘方混合运算 4 三.同步检测 5 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 5 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 7 一.知识梳理与解读 【知识点1】乘方的基本概念 求若干个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 式子： 各部分名称：为底数，为指数，读作“的次方”或“的次幂”。 补充说明： 1. 指数为1时可省略不写，即； 2. 二次方简称平方，三次方简称立方； 3. 单独一个数可以看作自身的一次方。 【知识点2】乘方符号法则（核心必考） 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 1的任何次幂都是1，的偶次幂为1，奇次幂为。 【知识点3】易混底数辨析（高频易错） 1. ：底数是，整体参与乘方运算； 2. ：底数是，先算，再取结果的相反数； 3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 【知识点4】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 核心规则：的值 = 原数的整数位数减1。 二.题型精析 【题型1】基础乘方计算 解题技巧：先定符号，再算绝对值；看清底数和指数，严格区分有无括号。 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）下列各数中：，，，，，负数有_______个． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）． 【题型2】分数与负数混合乘方 解题技巧：负数、分数作底数必须带括号；根据指数奇偶判断符号，分子分母分别乘方。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各数：，0，，，，，，中，负数有（    ）． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 【变式3】（25-26六年级下·全国·单元复习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】幂的正负判断 解题技巧：正数全正；负数看指数，偶正奇负。 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）判断下列各式结果的符号，你能发现什么规律？ （1）；    （2）；     （3）；     （4）， 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）在，，，，，中，负数有______个． 【变式3】（24-25六年级上·山东威海·期中）把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ （1）负数集合：__________________________________________ （2）分数集合：__________________________________________ （3）非正整数集合：_________________________________________ （4）有理数集合：__________________________________________ 【题型4】科学记数法正反互化 解题技巧：改写保证；还原时根据向右移动小数点。 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）； （2）． 【变式1】（2026·辽宁·中考真题）山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅商体消费黄金季．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【变式3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【题型5】乘方混合运算 解题技巧：先乘方、再乘除、最后加减，严格区分底数，杜绝符号错误。 【例题5】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）定义新运算∶，如，计算下列各式． （1） （2） 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 4．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 5．（2024·贵州铜仁·模拟预测）每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·新疆·开学考试）若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（25-26六年级上·山东泰安·期末）在下列数，，，，，中，负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25九年级下·四川宜宾·阶段检测）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 10．（25-26七年级上·全国·期末）一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 12．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 13．（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若已知，，且，，则的值是_______． 16．（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 17．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 18．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 22．（本小题满分10分）（2025七年级上·福建泉州·专题练习）把以下各数填在相应的大括号里：，0，，，，，． （1）正整数集合：{                     }； （2）负分数集合：{                     }； （3）整数集合：{                       }； （4）非负数集合：{                     }． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． （1）1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） （2）2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.6 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】乘方的基本概念 1 【知识点2】乘方符号法则（核心必考） 2 【知识点3】易混底数辨析（高频易错） 2 【知识点4】科学记数法 2 二.题型精析 2 【题型1】基础乘方计算 2 【题型2】分数与负数混合乘方 4 【题型3】幂的正负判断 6 【题型4】科学记数法正反互化 8 【题型5】乘方混合运算 10 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.知识梳理与解读 【知识点1】乘方的基本概念 求若干个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 式子： 各部分名称：为底数，为指数，读作“的次方”或“的次幂”。 补充说明： 1. 指数为1时可省略不写，即； 2. 二次方简称平方，三次方简称立方； 3. 单独一个数可以看作自身的一次方。 【知识点2】乘方符号法则（核心必考） 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 1的任何次幂都是1，的偶次幂为1，奇次幂为。 【知识点3】易混底数辨析（高频易错） 1. ：底数是，整体参与乘方运算； 2. ：底数是，先算，再取结果的相反数； 3. 分数乘方必须加括号：，分子分母分别乘方。 【知识点4】科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 核心规则：的值 = 原数的整数位数减1。 二.题型精析 【题型1】基础乘方计算 解题技巧：先定符号，再算绝对值；看清底数和指数，严格区分有无括号。 【例题1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 【变式2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）下列各数中：，，，，，负数有_______个． 【答案】2 【分析】根据有理数乘方、相反数、绝对值的运算法则化简各数，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 解：依次化简各数：，结果为负数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为负数； 综上，负数共有个． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【题型2】分数与负数混合乘方 解题技巧：负数、分数作底数必须带括号；根据指数奇偶判断符号，分子分母分别乘方。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各数：，0，，，，，，中，负数有（    ）． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】先利用乘方的意义、绝对值、相反数化简各数，然后再统计负数的个数即可． 解：∵，，，，， ， ∴负数有：、、、，即一共有4个负数． 【变式2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各数：，，，，中，负数的个数是_____． 【答案】3 【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数． 解：，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数． 综上，负数共有3个． 【变式3】（25-26六年级下·全国·单元复习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型3】幂的正负判断 解题技巧：正数全正；负数看指数，偶正奇负。 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）判断下列各式结果的符号，你能发现什么规律？ （1）；    （2）；     （3）；     （4）， 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）正． 规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【分析】（1）4是偶数，故为正；（2）5是奇数，故为负；（3）6是偶数，为正，相反数为负，故为负；（4）7是奇数，为负，相反数为正，故为正；规律可由-5为负数，4、6为偶数，5、7为奇数得出． 解：（1）∵4是偶数， ∴结果为正； （2）∵5是奇数， ∴结果为负； （3）∵6是偶数， ∴结果为正， ∴结果为负； （4）∵7是奇数， ∴结果为负， ∴结果为正． 由上可知，-5为负数，4、6为偶数，5、7为奇数，从而可得：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【点拨】此题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数是解题关键． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 解：A．，是正数，不符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是负数； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）在，，，，，中，负数有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负的定义，有理数的乘方运算，化简绝对值等知识，先计算有理数的乘方运算，化简绝对值，然后再根据正负数的定义判定即可． 解：，；，；， 在，，，，，中，负数有，，，一共3个， 故答案为：3． 【变式3】（24-25六年级上·山东威海·期中）把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ （1）负数集合：__________________________________________ （2）分数集合：__________________________________________ （3）非正整数集合：_________________________________________ （4）有理数集合：__________________________________________ 【答案】（1）②③⑤⑦⑧；（2）④⑤⑨；（3）①②③⑦；（4）①②③④⑤⑥⑦⑨ 【分析】本题考查有理数的分类，涉及绝对值运算、乘方运算、相反数定义等知识，先将各数化简，再根据负数定义、分数定义、非正数定义及有理数定义逐个判定即可得到答案，熟记有理数分类是解决问题的关键． （1）解：，，，，，， 负数集合：②③⑤⑦⑧； （2）解：，，，，，， 分数集合：④⑤⑨； （3）解：，，，，，， 非正整数集合：①②③⑦； （4）解：，，，，，， 有理数集合：①②③④⑤⑥⑦⑨． 【题型4】科学记数法正反互化 解题技巧：改写保证；还原时根据向右移动小数点。 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法． （1）利用科学记数法的表示方法将原数写成的形式，a是大于等于1小于10的数，n比原数的位数少1． （2）利用科学记数法的表示方法将原数写成的形式，a是大于等于1小于10的数，n比原数的位数少1． （1）解： （2） 【变式1】（2026·辽宁·中考真题）山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅商体消费黄金季．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：. 【变式2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【变式3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【答案】10000000，4000，8500000，704000，39600000 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法，熟练掌握其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数是解题的关键．据此即可求解． 解：； ； ； ； ． 【题型5】乘方混合运算 解题技巧：先乘方、再乘除、最后加减，严格区分底数，杜绝符号错误。 【例题5】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算、乘法运算和乘方运算，掌握好相应的运算法则是关键． 利用有理数的乘方、乘法、加法运算法则分别计算各选项的结果，再判断符号是否正确即可． 解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误． 故选：A． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【答案】/ 【分析】根据有理数乘方的定义，先求出符合条件的两个数，再根据有理数加法法则计算两个数的和即可． 解： ，题目要求平方等16的负数， 符合条件的数是 ， ， 立方等于的数是， ∴平方等于16的负数与立方等于的和是： ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）定义新运算∶，如，计算下列各式． （1） （2） 【答案】（1）1；（2）8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． （1）解：； （2）解：因为， 所以． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列算式可以表示成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即记作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 依据乘方的概念判断选项中哪个算式符合的意义即可． 解：∵乘方的定义为：n个相同因数a相乘，记作， ∴表示3个2相乘，即． 故选C． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，那么的值是（   ） A．或 B．2或 C．2或8 D．或8 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，绝对值的含义，求解代数式的值，由和求出和的可能值，再根据条件筛选符合条件的组合，最后计算． 解：∵， ∴ 或； ∵， ∴ 或； 又∵ ， 当， 时，不符合题意； 当， 时， 成立， ∴； 当， 时， 不符合题意； 当， 时， 成立， ∴ ； ∴的值为2或8． 故选：C 4．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 解：∵， ∴． 故选：B． 5．（2024·贵州铜仁·模拟预测）每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵万亿， ∴万亿. 6．（25-26七年级下·新疆·开学考试）若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 解：∵任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且 ∴， 解得， 将，代入，得． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 解：A.∵， ， ∴，该选项不符合题意； B. ∵， ， ∴，该选项不符合题意； C. ∵， ， ∴，该选项符合题意； D.∵， ， ∴， 该选项不符合题意； 故选C． 8．（25-26六年级上·山东泰安·期末）在下列数，，，，，中，负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简多重符号，化简绝对值．逐个计算每个数的值，根据运算规则判断正负性． 解：∵，，，，， ， ∴负数有4个：、、、． 故选：C． 9．（24-25九年级下·四川宜宾·阶段检测）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 10．（25-26七年级上·全国·期末）一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，每次截去后剩下部分为当前长度的，因此经过五次操作后剩下长度为原始长度乘以，即可求解． 解：∵ 原始长度为1米， 第一次截去后剩下：米， 第二次截去后剩下：米， ……， 第五次截去后剩下：米， ∴ 第五次后剩下小棒的长度为米. 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 解：． 12．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 解：； 故答案为：． 13．（25-26七年级下·江苏·单元复习）______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 解：． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 【答案】6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若已知，，且，，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数的加法，绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据题意先将绝对值化简，再利用，条件分别判断和的值，代入计算即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∵， ∴． 则． 故答案为：． 16．（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】7 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，余1，因此有507个完整周期，余数对应的个位数字为7．总和的个位数字为． 解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 故答案为：7． 17．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 18．（24-25六年级下·山东东营·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，有理数乘方，中间正方形的两个数分别为，，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8 （1）解： （2）解： （3）解：； （4）解： 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算（含乘方、绝对值），熟练掌握有理数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）是解题的关键． 按照有理数混合运算的顺序，先计算乘方、绝对值，再计算除法，最后计算加减． 解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （1）解：； （2）解：； （3）解：； 22．（本小题满分10分）（2025七年级上·福建泉州·专题练习）把以下各数填在相应的大括号里：，0，，，，，． （1）正整数集合：{                     }； （2）负分数集合：{                     }； （3）整数集合：{                       }； （4）非负数集合：{                     }． 【答案】（1），；（2），；（3）0，，，；（4），0，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简绝对值和多重符号，有理数的乘方．根据有理数的分类方法进行求解即可． 解：，，，． （1）正整数集合：{，}； （2）负分数集合：{，}； （3）整数集合：{0，，，}； （4）非负数集合：{，0，，}． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】（1）和；（2）将其表示在数轴上如图所示： ． 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的乘方，在数轴上表示有理数，相反数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简各个数，再结合相反数的定义进行分析，即可作答． （2）先分别得出各个数的相反数，再按要求在数轴上表示出来，结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． 解：（1）依题意，得， ， ，， ∵和互为相反数， ∴六个有理数中，互为相反数的是和； （2）由（1）得， ， ，， ∴的相反数为，的相反数为，的相反数为，3的相反数是，0的相反数是0， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． （1）1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） （2）2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】（1）34900双；（2）棵 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． （1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点拨】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $