专题 1.7 二次函数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学二次函数复习讲义通过知识框架图系统梳理全章核心内容，涵盖二次函数的定义、图像与系数关系、性质、与方程不等式的联系及实际应用，用表格对比三种解析式的适用场景，口诀归纳“左同右异”“左加右减”等规律，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，夯实基础题型如定义辨析、系数符号判断，巩固提升题型如利润最值实际应用（例题7）、几何面积综合（题型8用“水平宽+铅垂高”模型），培养模型意识与推理能力。每个题型配解题技巧，如区间最值需判断顶点是否在范围内，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 1.7二次函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数的意义 1 【知识点二】二次函数的图像与系数关系 2 【知识点三】二次函数的性质 2 【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式 3 【知识点五】二次函数的实际应用 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】二次函数定义辨析与参数求解 4 【题型 2】二次函数图像系数符号判断 4 【题型 3】顶点、对称轴与区间最值计算 5 【题型 4】抛物线与坐标轴交点求解 6 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】二次函数图像平移综合 6 【题型 6】二次函数不等式解集求解 7 【题型 7】二次函数利润最值实际应用 8 【题型 8】二次函数与几何面积综合压轴 9 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识梳理 【知识点一】二次函数的意义 1. 定义：一般地，形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 核心要点：自变量最高次数为2，且二次项系数 不为0；自变量取值范围通常为全体实数，实际问题需结合场景限定取值。 2. 三种解析式（必考） （1）一般式：，适用于已知抛物线上任意三点坐标求解解析式； （2）顶点式：，顶点坐标为 ，适用于已知顶点、对称轴、最值求解解析式； （3）交点式：， 为抛物线与x轴交点横坐标，适用于已知抛物线与x轴两个交点求解解析式。 【知识点二】二次函数的图像与系数关系 1. 图像基本特征 二次函数图像是抛物线，为轴对称图形，对称轴直线：，顶点坐标：。 2. 系数a、b、c及判别式的符号判断 （1）a的作用：决定开口方向与开口大小。，开口向上；，开口向下； 越大，抛物线开口越窄。 （2）a、b联合作用：判断对称轴位置，口诀“左同右异”。对称轴在y轴左侧，同号；对称轴在y轴右侧， 异号；，对称轴为y轴。 （3）c的作用：决定抛物线与y轴交点。，交于y轴正半轴；，抛物线过原点；，交于y轴负半轴。 （4）判别式。，决定抛物线与x轴交点个数。，2个交点；，1个交点（顶点在x轴上）；，无交点。 （5）特殊代数式： 时，； 时，。 3. 图像平移规律 基于顶点式平移，口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。平移过程中 值不变，仅顶点坐标发生变化。 【知识点三】二次函数的性质 设二次函数 ，对称轴 1. 最值性质 （1），开口向上，抛物线有最低点，当 时，； （2），开口向下，抛物线有最高点，当 时，。 2. 增减性 （1）：，y随x增大而减小；，y随x增大而增大； （2）：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小。 3. 对称性：若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标。 【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式 1. 函数与方程的关系 抛物线与x轴交点的横坐标，即为对应一元二次方程 的实数根，交点个数与方程根的个数一一对应。 2. 函数与不等式（数形结合核心） （1）：取抛物线在x轴上方部分对应的x取值范围； （2）：取抛物线在x轴下方部分对应的x取值范围。 【知识点五】二次函数的实际应用 两大核心考法： （1）最值应用：商品利润最大、图形面积最大、运动轨迹最高等问题； （2）建模应用：拱桥、隧道、投篮、喷水等抛物线轨迹问题，通过建立函数模型求解实际参数。 解题关键：根据实际场景列出函数解析式，限定自变量取值范围，结合顶点最值与区间端点求解。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数定义辨析与参数求解 【例题1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段检测）若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是______． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 解题技巧：二次函数判定两步走：次数为2、二次项系数非0，缺一不可。 【题型 2】二次函数图像系数符号判断 【例题2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）． 求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【变式2】（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有__________．（填写代表正确结论的序号）．    【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． （1）请确定的正负． （2）请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 解题技巧：开口定a，对称轴定ab符号，截距定c，交点个数定判别式，特殊x值定代数式符号。 【题型 3】顶点、对称轴与区间最值计算 【例题3】（26-27九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则___________． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 在时，取得的最大值为15，求的值． 解题技巧：区间最值需先判断顶点是否在取值范围内，再对比顶点与端点函数值，切勿直接套用顶点最值。 【题型 4】抛物线与坐标轴交点求解 【例题4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 【变式1】（23-24九年级上·广西贺州·期中）已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 【变式3】（23-24九年级上·广东中山·阶段检测）已知抛物线解析式为 （1）写出抛物线的对称轴、顶点坐标． （2）抛物线与轴有交点吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由． 解题技巧：坐标轴交点固定求法：x轴交点令y=0，y轴交点令x=0。 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】二次函数图像平移综合 【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． （1）m的值为_______． （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 解题技巧：平移问题优先化顶点式，仅改变顶点坐标，二次项系数a保持不变。 【题型 6】二次函数不等式解集求解 【例题6】（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． （1）求的解析式； （2）直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）二次函数图象上部分点的对应值如下表则使的的取值范围为（    ） 0 1 2 3 4 6 0 0 6 A． B． C． D．或 【变式2】（2025·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【变式3】（25-26九年级上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 解题技巧：交点分区间，开口定上下，数形结合快速判断不等式解集。 【题型 7】二次函数利润最值实际应用 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 （1）观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【变式3】（2025·新疆伊犁·三模）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如下图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？ 解题技巧：利润=单件利润×销量，建立二次函数模型，求出最值后需验证自变量符合实际意义。 【题型 8】二次函数与几何面积综合压轴 【例题8】（24-25九年级上·湖北·期末）如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）若是函数图象上的点，且点在第一象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）______； （2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是______． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 解题技巧：函数几何面积问题优先使用「水平宽+铅垂高」模型，转化为二次函数最值求解。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．（2022·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m＋2），B（4，n）均在这条抛物线上，则下列正确的是（    ） A．m﹣n≥﹣2 B．m﹣n＞﹣2 C．m﹣n＜2 D．m﹣n＜﹣2 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是_____．（只需写出一个符合条件的表达式） 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 13．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数，当时，求的取值范围_____． 14．（23-24九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 17．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 18．（2024·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）已知二次函数（a是实数）． （1）若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）求证：二次函数图象过定点． 21．（本小题满分10分）（2024·青海海东·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此抛物线的函数关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． （2）当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 23．（本小题满分10分）（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． （1）求此抛物线的解析式； （2）若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； （3）当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7二次函数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数的意义 1 【知识点二】二次函数的图像与系数关系 2 【知识点三】二次函数的性质 2 【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式 3 【知识点五】二次函数的实际应用 3 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】二次函数定义辨析与参数求解 4 【题型 2】二次函数图像系数符号判断 5 【题型 3】顶点、对称轴与区间最值计算 8 【题型 4】抛物线与坐标轴交点求解 11 三.题型精析（巩固提升） 13 【题型 5】二次函数图像平移综合 13 【题型 6】二次函数不等式解集求解 15 【题型 7】二次函数利润最值实际应用 19 【题型 8】二次函数与几何面积综合压轴 22 四.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 33 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 38 一.知识梳理 【知识点一】二次函数的意义 1. 定义：一般地，形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 核心要点：自变量最高次数为2，且二次项系数 不为0；自变量取值范围通常为全体实数，实际问题需结合场景限定取值。 2. 三种解析式（必考） （1）一般式：，适用于已知抛物线上任意三点坐标求解解析式； （2）顶点式：，顶点坐标为 ，适用于已知顶点、对称轴、最值求解解析式； （3）交点式：， 为抛物线与x轴交点横坐标，适用于已知抛物线与x轴两个交点求解解析式。 【知识点二】二次函数的图像与系数关系 1. 图像基本特征 二次函数图像是抛物线，为轴对称图形，对称轴直线：，顶点坐标：。 2. 系数a、b、c及判别式的符号判断 （1）a的作用：决定开口方向与开口大小。，开口向上；，开口向下； 越大，抛物线开口越窄。 （2）a、b联合作用：判断对称轴位置，口诀“左同右异”。对称轴在y轴左侧，同号；对称轴在y轴右侧， 异号；，对称轴为y轴。 （3）c的作用：决定抛物线与y轴交点。，交于y轴正半轴；，抛物线过原点；，交于y轴负半轴。 （4）判别式。，决定抛物线与x轴交点个数。，2个交点；，1个交点（顶点在x轴上）；，无交点。 （5）特殊代数式： 时，； 时，。 3. 图像平移规律 基于顶点式平移，口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。平移过程中 值不变，仅顶点坐标发生变化。 【知识点三】二次函数的性质 设二次函数 ，对称轴 1. 最值性质 （1），开口向上，抛物线有最低点，当 时，； （2），开口向下，抛物线有最高点，当 时，。 2. 增减性 （1）：，y随x增大而减小；，y随x增大而增大； （2）：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小。 3. 对称性：若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标。 【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式 1. 函数与方程的关系 抛物线与x轴交点的横坐标，即为对应一元二次方程 的实数根，交点个数与方程根的个数一一对应。 2. 函数与不等式（数形结合核心） （1）：取抛物线在x轴上方部分对应的x取值范围； （2）：取抛物线在x轴下方部分对应的x取值范围。 【知识点五】二次函数的实际应用 两大核心考法： （1）最值应用：商品利润最大、图形面积最大、运动轨迹最高等问题； （2）建模应用：拱桥、隧道、投篮、喷水等抛物线轨迹问题，通过建立函数模型求解实际参数。 解题关键：根据实际场景列出函数解析式，限定自变量取值范围，结合顶点最值与区间端点求解。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数定义辨析与参数求解 【例题1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段检测）若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． （1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1）；；（2）围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． （1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 解题技巧：二次函数判定两步走：次数为2、二次项系数非0，缺一不可。 【题型 2】二次函数图像系数符号判断 【例题2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点拨】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 【变式2】（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有__________．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． （1）请确定的正负． （2）请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】（1），；（2）经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． （1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）略 解题技巧：开口定a，对称轴定ab符号，截距定c，交点个数定判别式，特殊x值定代数式符号。 【题型 3】顶点、对称轴与区间最值计算 【例题3】（26-27九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【答案】最小值为2，最大值为6 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得对称轴与顶点坐标，进而根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值． ∴二次函数在范围内的最小值为，最大值为． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案． 解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线， ∴在的范围内，当时，y取最小值， 即：， 解得：， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键．结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可． 解：二次函数的对称轴为直线，开口向下，大致图象如下： 且， ， 分两种情况讨论： 当且时， 时，y取最大值为，， 解得：或（均不合题意，舍去）； ②当且时， 当时，y取最大值，即 解得：， 若当时，取最小值， 即， 解得：或2，（不合题意，舍去）， 若当时，取最小值， 即， 把代入上式得：（不合题意，舍去）， 综上所述，，， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 在时，取得的最大值为15，求的值． 【答案】 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案． 解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线，顶点， 则在时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得或， 当时，的最大值为15， ． 【点拨】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键． 解题技巧：区间最值需先判断顶点是否在取值范围内，再对比顶点与端点函数值，切勿直接套用顶点最值。 【题型 4】抛物线与坐标轴交点求解 【例题4】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与二次函数的关系． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，解不等式可得：； 一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交于点的横坐标，根据二次函数的对称性，二次函数与轴的另一个交点坐标，两个交点的横坐标即为一元二次方程的解． （1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得：， 解得：； （2）解：二次函数的对称轴是直线， 设二次函数与轴的另一个交点坐标是， 二次函数的图象与轴交于点， 可得：， 解得：， 二次函数与轴的另一个交点坐标是， 一元二次方程的解是，． 【变式1】（23-24九年级上·广西贺州·期中）已知抛物线经过点，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点坐标的求解等，解题的关键在于根据a≠0求出b的值．根据点和得到的值，再根据抛物线与轴有交点，进而求解． 解：将代入抛物线中， 得到： 化简得： 即抛物线为： 抛物线与轴有交点 解得：或 抛物线与轴交于一点 抛物线与轴另一个交点为： 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵方程的两个根分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·广东中山·阶段检测）已知抛物线解析式为 （1）写出抛物线的对称轴、顶点坐标． （2）抛物线与轴有交点吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由． 【答案】（1）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；（2）有交点，抛物线与轴的交点坐标是， 【分析】（1）把抛物线转化为顶点式，即可求解； （2）令，解关于x的方程即可解答． （1）解：， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：抛物线与轴有交点． 理由：当时， 解得， 抛物线与轴的交点坐标是， 【点拨】本题考查了二次函数的一般式转化为顶点式、二次函数与对应的一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键． 解题技巧：坐标轴交点固定求法：x轴交点令y=0，y轴交点令x=0。 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】二次函数图像平移综合 【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据对称轴为计算即可； （2）直接根据抛物线的平移规律作答即可． （1）解：由题意，得． ∴； （2）解：由（1）知， ∴将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线表达式为 两次平移后得到的抛物线表达式为． 【点拨】本题考查了二次函数的对称轴和二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式（a，b，c为常数，），“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的顶点坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求得原函数的顶点坐标，然后将其往右平移2个单位即可得到答案． 解：的顶点坐标为 所以将抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线的顶点坐标为 故选：C． 【变式2】（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，点在抛物线上，且在对称轴的右侧． （1）m的值为_______． （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的平移、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入得到，解得，再根据点P在对称轴的右侧可得； （2）先求出平移后抛物线的顶点坐标为；再求出平移前抛物线的顶点坐标，然后确定平移方式，最后运用勾股定理求解即可． （1）解：将代入可得： ，解得：． 点P在对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后的顶点的坐标为． 抛物线上， ∴平移前抛物线的顶点的坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程． 解题技巧：平移问题优先化顶点式，仅改变顶点坐标，二次项系数a保持不变。 【题型 6】二次函数不等式解集求解 【例题6】（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． （1）求的解析式； （2）直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点和代入抛物线，求解二元一次方程组即可； （2）根据函数图象的平移规律求得，联立，，求得交点坐标，然后结合函数图象，确定的部分． （1）解：将点和代入抛物线可得 ，解得， 则； （2）解：将抛物线向右平移一个单位可得， 联立，可得，， 化简可得， 解得， 结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）二次函数图象上部分点的对应值如下表则使的的取值范围为（    ） 0 1 2 3 4 6 0 0 6 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与轴的交点即可求出的的取值范围，解题的关键是求出二次函数的表达式． 解：由表格可知经过，，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 抛物线图象开口向上，与x轴的交点为，， ∴时的取值范围是， 故选：C． 【变式2】（2025·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】（1）或；（2）；（3）3；（4）；（5） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． （1）解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； （2）由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； （3）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； （4）由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； （5）∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 解题技巧：交点分区间，开口定上下，数形结合快速判断不等式解集。 【题型 7】二次函数利润最值实际应用 【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 （1）观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】（1）；（2）每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． （1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 【变式3】（2025·新疆伊犁·三模）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如下图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式； （2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润． （1）解：设y与x之间的函数关系式为， ，解得， 即y与x之间的函数关系式是； （2）设客栈每天获得的利润为m元， ， ， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时， 答：房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元． 解题技巧：利润=单件利润×销量，建立二次函数模型，求出最值后需验证自变量符合实际意义。 【题型 8】二次函数与几何面积综合压轴 【例题8】（24-25九年级上·湖北·期末）如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）若是函数图象上的点，且点在第一象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）令，则，即可得出点的坐标，令，则，求解即可得出点，的坐标； （2）由题意可得，，结合题意得出，代入二次函数求解即可． （1）解：令，则，即， 令，则，解得：，， ∵点在点的左边， ∴，； （2）解：由题意可得：，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或， ∵点在第一象限， ∴，即． 【变式1】（24-25九年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设P（x，），则Q（x，x−2），得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值． 解：∵PQ⊥x轴， ∴设P（x，），则Q（x，x−2）， ∴PQ＝−x＋2， ∴S△POQ＝（−x＋2）•x＝−（x−2）2＋3， ∵−＜0， ∴△POQ面积有最大值，最大值是3， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【变式2】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）______； （2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是______． 【答案】 2 2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）根据题意，点，都在反比例函数上，即可得出，可解得的值； （2）由的值知点的坐标，然后可求出一次函数和反比例函数的解析式，再假设点的坐标，最后表示出面积求其最大值即可，具体见详解． 解：（1），都在反比例函数上 解得（舍弃）； （2）如图 一次函数的解析式为 反比例函数的解析式为 设 当时，有最大值为2． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】（1）；（2）当的坐标为时，最大面积为8 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）取直线上方抛物线上一点，连接，构成，待定系数法求出直线的表达式为，过作轴，交于， 则，设，则，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． （1）解：二次函数的图象和轴交点为，， 设二次函数的解析式为， ∵二次函数和轴交点， ， ， ∴二次函数解析式为； （2）解：取直线上方抛物线上一点，连接，构成， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的表达式为， 过作轴，交于， 则， 设，则， ，， 则 ，， 当时，取最大值8 把代入，解得 所以当的坐标为时，最大面积为8． 解题技巧：函数几何面积问题优先使用「水平宽+铅垂高」模型，转化为二次函数最值求解。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式，直接读出、的值，得到顶点坐标． 解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 4．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 5．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数与几何图形相结合的问题，找到顶点关于直线的对称点为解题关键．首先结合二次函数的图象可知，再由顶点式写出顶点坐标，结合翻折后点的坐标特征写出翻折后的二次函数解析式，即可解决问题． 解：因为翻折后与轴有4个交点， 所以， 又因为二次函数顶点为， 顶点关于的对称点为， 因为翻折后的图象与原来图象开口相反， 所以翻折后二次函数为， 所以， 所以， 故答案为：， 故选：B． 7．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期中）一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线上有两点，下列条件中，一定能判断的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的图象与性质，涉及二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系、二次函数的对称性等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图形与轴交点与一元二次方程的根关系得到抛物线的对称轴为，再结合抛物线上点的对称性分析，若，则由抛物线上点的对称性可知，对称轴，据此分析各个选项即可得到答案． 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则抛物线的对称轴是， 抛物线上有两点， 若，则由抛物线上点的对称性可知，， A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：C 9．（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 10．（2022·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m＋2），B（4，n）均在这条抛物线上，则下列正确的是（    ） A．m﹣n≥﹣2 B．m﹣n＞﹣2 C．m﹣n＜2 D．m﹣n＜﹣2 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质可知点P为抛物线的顶点，从而得到抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质解答即可． 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0， ∴点P（2，y0）为抛物线的最低点即顶点，此时a＞0， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∴根据抛物线的对称性可得点（-2，m+2）与点（6，m+2）关于抛物线的对称轴对称， ∵a＞0， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵6＞4， ∴m+2>n， ∴m-n＞-2． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，数形结合法，掌握二次函数的性质是解题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是_____．（只需写出一个符合条件的表达式） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得平移后的抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，据此可得答案． 解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为， ∵， ∴该平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线的顶点在第四象限， ∴， ∴， ∴符合题意， ∴平移后的抛物线的解析式可以为． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 13．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数，当时，求的取值范围_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，先通过顶点坐标公式求出顶点坐标，确定函数的最小值，再计算区间端点附近的函数值，确定最大值，最后综合得出的取值范围． 解：，函数图像开口向上， 时，函数有最小值， 当时，随增大而减小， 当时，有最小值， 当时，随增大而增大， 当时，， 故当时，在处取最小值，在处趋近于最大值， 即． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 17．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 18．（2024·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为______； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 解：（1）∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口向下，， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式． 解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）已知二次函数（a是实数）． （1）若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）求证：二次函数图象过定点． 【答案】（1）二次函数表达式为，对称轴为直线；（2）证明：在中，当时，， ∴二次函数图象过定点． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数对称轴，二次函数的性质等等： （1）先把点A坐标代入解析式求出函数解析式，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （2）求出当时的函数值即可证明结论． （1）解：把代入中得：， 解得， ∴二次函数表达式为， ∴二次函数对称轴为直线； （2）略 21．（本小题满分10分）（2024·青海海东·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此抛物线的函数关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 【答案】（1）；（2）当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求出的解析式，设，则，根据两点之间的距离公式可得出，最后利用二次函数的性质即可求解即可． （1）解：抛物线经过、两点，且， ，， 将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数关系式为：； （2）设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，， 把代入抛物线，得点的坐标为， 当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数的解析式，以及两点之间的距离公式，掌握二次函数的性质是解题的关系． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． （2）当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）90，；（2）每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． （1）解：当每件的销售价为52元时，则每件的销售价增加2元，每天的销售数量将减少件． 该纪念品每天的销售量为件， 当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为件； （2）由题意得： ∵，抛物线开口向下，且， ∴当时，y有最大值1125， ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 23．（本小题满分10分）（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 【答案】（1）；（2）（）点的坐标为或；（） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而得到顶点坐标； （2）（）设点，利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于点，则，求出长，根据列方程求解即可； （）利用待定系数法求出直线、的表达式，进而得到点M、N的坐标，从而求出的值即可． （1）解：把点，代入得： ， 解得， 该抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：（）设点， 抛物线， 当时，， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点，则， ， ， 整理得：， 解得：或 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （）设直线的表达式为， 将点，点代入得： 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 由得：， 即， ， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ． 【点拨】本题考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求出解析式、二次函数的图象性质是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． （1）求此抛物线的解析式； （2）若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； （3）当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）①，②2；（3），对称轴为，开口向上 ∵ ∴当即时，抛物线在对称轴的左侧，且随增大而减小， ∴当时，抛物线有最大值， ， 当时，抛物线有最小值， 当即时：最小值为， 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大， 当时， 当时， ． 【分析】（）利用待定系数法求解析式，将已知点和的坐标代入即可． （）①利用割补法表示四边形的面积，得到关于的二次函数解析式，通过配方求出最值． ②利用平行线分线段成比例或者坐标运算，结合，建立方程求解的坐标． （）根据二次函数的对称轴和开口方向，结合与对称轴的位置关系，进行分类讨论，确定最大值和最小值． （1）解：将和代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①过作轴于， 令，则， 解得， ∴， 设， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为； ②∵轴，且、在抛物线上， ∴、关于对称，， ∵在直线上，且， ∴设直线的解析式为（） 解得 ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵,且、、在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得，， ∵P在第四象限， ∴， ∴， （3）略 【点拨】本题主要考查二次函数的综合应用，重点为待定系数法求解析式，二次函数图像上点坐标的特征，几何图形面积的最值以及动点问题中的分类讨论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $