专题 1.1 二次函数的意义基础知识专项突破讲与练（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的意义这一核心知识点，系统梳理二次函数的定义（整式形式、最高次2、二次项系数不为0）、各项名称、特殊形式、实际问题自变量取值范围及易错点，通过正方形面积、矩形菜园等情境探究导入，衔接一次函数基础，构建完整知识支架。 该资料以情境化设计和分层题型为亮点，情境探究从生活实例出发，引导学生用数学眼光发现数量关系，培养抽象能力与模型意识。基础与综合题型结合例题及变式，强化推理能力与运算能力，落实数学思维。同步检测覆盖选择、填空、解答，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 1.1 二次函数的意义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 知识导入（情境探究） 1 【知识点一】二次函数的定义 3 【知识点二】二次函数各项名称与意义 3 【知识点三】二次函数的特殊形式 3 【知识点四】实际问题中自变量的取值范围 3 【知识点五】易错点归纳（高频考点） 4 二.基础题型精析 4 【题型 1】二次函数的识别 4 【题型 2】利用二次函数定义求参数 5 三.综合培优题型精析 7 【题型 3】求二次函数自变量或因变量的值 7 【题型 4】列二次函数关系式 9 【题型 5】列二次函数关系并确定自变量取值范围 11 四.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 21 一.知识梳理 知识导入（情境探究） 在生活中，很多变量关系不再是简单的一次关系，而是存在平方变化关系，请列出下列三题的解析式： 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 解：由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 3．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 像这样：，，三个函数叫二次函数。 【知识点一】二次函数的定义 一般地，形如 （是常数，且）的函数，叫做二次函数。 【特别提示】构造二次函数条件（1）函数解析式是整式形式（分母不含自变量、根号内不含自变量）；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不等于0（）。三大条件缺一不可。 【知识点二】二次函数各项名称与意义 在二次函数一般式 中： ：二次项，为二次项系数（，决定函数是二次函数的核心）；：一次项，为一次项系数（可以为0）；：常数项（可以为0）。 【特别提示】可以为0，但绝对不能为0。若，式子变为，即为一次函数，不再是二次函数。 【知识点三】二次函数的特殊形式 由一般式可衍生出3种特殊形式，均属于二次函数： （1）当时，（无一次项）； （2）当时，（无常数项）； （3）当时，（最简二次函数）。 【知识点四】实际问题中自变量的取值范围 纯代数二次函数的自变量取值范围是全体实数； 但在实际问题中，自变量取值需符合实际意义：长度、数量、时间等变量不能为负数，部分场景还有上限限制，需结合题意确定取值范围。 【知识点五】易错点归纳（高频考点） 易错点1：忽略二次项系数。含参数的二次函数问题，必须优先保证。 易错点2：未化简解析式直接判断。判断函数类型需先化简，比如化简后为一次函数，不是二次函数。 易错点3：实际问题漏写自变量取值范围，这是解答题常见扣分点。 易错点4：将分式函数、根式函数判定为二次函数，二次函数必须是整式函数。 二.基础题型精析 【题型 1】二次函数的识别 【例题1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【答案】（1），二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；（2），二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. （1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见分析． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【题型 2】利用二次函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知是二次函数，求a的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）若（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于a的不等式组求解即可得出答案． 解：∵（为常数）是二次函数， ∴， 解得：， 则a的值为． 三.综合培优题型精析 【题型 3】求二次函数自变量或因变量的值 【例题3】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 解：（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 解：（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 【题型 4】列二次函数关系式 【例题4】（24-25八年级上·全国·期中）写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： （1）直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； （2）写出圆的面积S与半径x的函数关系式； （3）写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； （4）写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【答案】（1），S是x的二次函数；（2），S是x的二次函数；（3），y是x的二次函数；（4），C是r的一次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出S与x之间的函数关系式， （2）根据圆面积的公式即可得出函数解析式， （3）由正方形面积的计算方法可得出函数解析式， （4）由圆的周长的计算方法可得出函数解析式，由此即可判断函数类型． 解：（1）解：由三角形的面积计算方法可得：， S是x的二次函数； （2）由圆面积的计算方法可得：， S是x的二次函数； （3）由正方形面积的计算方法可得：， y是x的二次函数； （4）由圆的周长的计算方法可得：， C是r的一次函数． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 解：根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，所以， 故m关于n的函数解析式为： ． 【题型 5】列二次函数关系并确定自变量取值范围 【例题5】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】（1）；（2）23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 解：（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； （2）求自变量的取值范围； （3）当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 解：（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 5．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 解：根据二次函数的定义，“”可以是． 故选：C． 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R和t为常数，且均大于0，即可求解． 解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 8．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 解：∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 10．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 解：由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 12．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 16．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 解：将代入，得． 18．（24-25九年级上·广东潮州·阶段检测）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值． （2）若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． （1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解不等式，可得答案． 解：（1）解：依题意得， ∴由①得或， ∴； （2）解：依题意得， ∴且． 19．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． （1）当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）（或）；（2） 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 解：（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 20．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． （1）设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； （2）该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】（1）；（2）应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 解：（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 二次函数的意义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 知识导入（情境探究） 1 【知识点一】二次函数的定义 2 【知识点二】二次函数各项名称与意义 2 【知识点三】二次函数的特殊形式 2 【知识点四】实际问题中自变量的取值范围 3 【知识点五】易错点归纳（高频考点） 3 二.基础题型精析 3 【题型 1】二次函数的识别 3 【题型 2】利用二次函数定义求参数 3 三.综合培优题型精析 4 【题型 3】求二次函数自变量或因变量的值 4 【题型 4】列二次函数关系式 4 【题型 5】列二次函数关系并确定自变量取值范围 5 四.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理 知识导入（情境探究） 在生活中，很多变量关系不再是简单的一次关系，而是存在平方变化关系，请列出下列三题的解析式： 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 3．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 像这样：，，三个函数叫二次函数。 【知识点一】二次函数的定义 一般地，形如 （是常数，且）的函数，叫做二次函数。 【特别提示】构造二次函数条件（1）函数解析式是整式形式（分母不含自变量、根号内不含自变量）；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不等于0（）。三大条件缺一不可。 【知识点二】二次函数各项名称与意义 在二次函数一般式 中： ：二次项，为二次项系数（，决定函数是二次函数的核心）；：一次项，为一次项系数（可以为0）；：常数项（可以为0）。 【特别提示】可以为0，但绝对不能为0。若，式子变为，即为一次函数，不再是二次函数。 【知识点三】二次函数的特殊形式 由一般式可衍生出3种特殊形式，均属于二次函数： （1）当时，（无一次项）； （2）当时，（无常数项）； （3）当时，（最简二次函数）。 【知识点四】实际问题中自变量的取值范围 纯代数二次函数的自变量取值范围是全体实数； 但在实际问题中，自变量取值需符合实际意义：长度、数量、时间等变量不能为负数，部分场景还有上限限制，需结合题意确定取值范围。 【知识点五】易错点归纳（高频考点） 易错点1：忽略二次项系数。含参数的二次函数问题，必须优先保证。 易错点2：未化简解析式直接判断。判断函数类型需先化简，比如化简后为一次函数，不是二次函数。 易错点3：实际问题漏写自变量取值范围，这是解答题常见扣分点。 易错点4：将分式函数、根式函数判定为二次函数，二次函数必须是整式函数。 二.基础题型精析 【题型 1】二次函数的识别 【例题1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为_____． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【题型 2】利用二次函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知是二次函数，求a的值． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）若（为常数）是二次函数，求的值． 三.综合培优题型精析 【题型 3】求二次函数自变量或因变量的值 【例题3】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【变式3】（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【题型 4】列二次函数关系式 【例题4】（24-25八年级上·全国·期中）写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： （1）直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； （2）写出圆的面积S与半径x的函数关系式； （3）写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； （4）写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【变式3】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【题型 5】列二次函数关系并确定自变量取值范围 【例题5】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； （2）求自变量的取值范围； （3）当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山·期末）若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 10．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 12．（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 13．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 14．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 16．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是________，它是________函数． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 18．（24-25九年级上·广东潮州·阶段检测）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值． （2）若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 19．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． （1）当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 20．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． （1）设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； （2）该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $