复数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过分层题型构建“概念-运算-几何-应用”逻辑链，强化数学思维的推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|考查虚部、共轭复数、模等基础概念及运算|以复数定义为起点，推导四则运算规则| |多选题|3题|综合判断复数性质（模、象限、方程根）|关联复数代数形式与几何意义的转化| |填空题|3题|复平面点坐标、模的计算|体现数形结合思想，强化几何直观| |解答题|5题|方程根、纯虚数判定、向量夹角等综合应用|整合复数与方程、向量知识，培养模型意识|

高中数学人教A版必修二复数 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，，在复平面内的对应点关于实轴对称，则（     ） A． B． C．5 D． 3．复数（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．设为虚数单位．若复数满足，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 5．已知复数（为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 6．已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 7．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 8．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数为 C．复平面内表示复数的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 10．已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是纯虚数 11．设为虚数单位，复数满足，则（　　） A．可以是 B．若为纯虚数，则其虚部为 C． D．对任意复数，恒成立 三、填空题 12．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为______． 13．已知复数，若复数满足，则______. 14．已知复数，为虚数单位，若的模为，正实数的值为__________． 四、解答题 15．已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． (1)求，的值； (2)求． 16．完成下列各题： (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)在复数集中解方程：； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17．已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根． (1)求，的值； (2)若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围． 18．（1）已知成立，求实数的值； （2）若关于的方程有实根，求实数的值． 19．复平面中，已知点，，为的中点． (1)求点对应的复数； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二复数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C C C A ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】易知，所以． 2．C 【详解】由题设，则. 3．C 【详解】已知，分子分母同乘得，C正确. 4．B 【详解】因为，所以，解得，即， 即 ，则选项B正确. 5．C 【分析】根据复数的周期变化计算复数的2026次方． 【详解】由可知，， ，； 则，则，故复数以8次为一个周期； 因为，故． 6．C 【分析】先对复数进行化简，可得在复平面中对应的点，即可求得到原点的距离. 【详解】因为复数，在复平面中对应的点为， 所以到原点的距离为. 7．C 【详解】 因为， 所以虚部为. 8．A 【详解】，其共轭复数为，共轭复数对应的点坐标为，该点位于第一象限. 9．ACD 【分析】利用复数除法法则和模长公式对A作出判断，由共轭复数的定义判断B，由复数的几何意义判断C；代入检验得到D正确. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 由题意得，故B错误： 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C正确； 因为， 所以复数是方程的一个根，故D正确． 10．ABD 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，C错误； D选项，， 为纯虚数，D正确. 11．ACD 【分析】对于A，运用复数的性质即可判断；对于B，利用纯虚数的定义即可判断；对于C，利用共轭复数的性质即可判断；对于D，运用复数的乘除法判断. 【详解】设，那么，， 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若为纯虚数，则，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设，则 ， ， 故，所以D正确. 12． 【分析】根据复数的几何意义，以及复数的除法运算，即可求解. 【详解】由条件可知，，， ，所以复数的虚部为. 13． 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 14． 【分析】先利用复数的四则运算化简，再利用共轭复数的模等于原复数的模，根据复数的模的计算公式，建立关于的方程求解正实数即可. 【详解】已知复数， 由于，根据共轭复数的性质可知， 所以，化简得，解得， 因为为正实数，故. 15．(1)，. (2) 【分析】（1）根据复数相等的条件求解即可； （2）根据复数模的定义求解. 【详解】（1）将代入方程整理得：， 因为，，所以， 所以，. （2）由（1)知，， 所以， 所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数实部为、虚部不为列方程组求解； （2）计算判别式，负数开方引入虚数单位，套用求根公式得复数根； （3）根据复平面第二象限横纵坐标符号列不等式组，解出参数范围． 【详解】（1）由，得或， 又，所以； （2）方程的判别式， 所以． （3）由复数在复平面上对应的点位于第二象限， 得，解得， 所以的取值范围是． 17．(1)，； (2)． 【详解】（1）因为是方程的根， 将其代入方程，得. 又， 所以，即. 由，得， 解得，. （2）由题意，对应的向量为，对应的向量为， 两向量夹角为钝角，需满足，且两向量不反向共线， 由，得. 当两向量共线时，，即， 此时，两向量反向，夹角为，舍去. 综上，. 18． (1) ；(2) 或 . 【详解】(1) 由，得，得 ， 消去 得 ，即 ，故 . (2) 由有实根,得， 因此 ， 由 解得 或 . 时，，得 ； 时，，得 . 综上， 或 . 19．(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式得到对应的坐标，然后根据复数与坐标的关系即可得到点对应的复数为.（2）利用向量夹角的定义，令且向量不共线，即可得到的范围. 【详解】（1）由题意，，因此点对应的复数为． （2）由题意，，． 因为二者夹角为锐角，所以，解得； 同时有与不共线，即，解得． 综上，的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $