2.2.3直线的一般式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册同步练2.2.3，聚焦直线的一般式方程，通过基础应用、综合辨析、探究拓展三层设计，实现从概念理解到数学建模的素养进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直线方程求法、截距计算、斜率范围|以单选1-5、填空8-9为主，夯实运算能力，如过点求垂直直线方程| |提升层|平行垂直关系、含参方程讨论|通过多选6、解答10，培养推理意识，如三条直线构成三角形的参数取值| |综合层|几何图形应用、最值问题|以解答15为代表，结合内接正方形与面积最值，发展模型观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.3　直线的一般式方程 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 2.已知直线l：x-2y-m=0在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是(　　) A.-2 B.- C. D.2 3.若方程(m2-1)x+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实数m满足(　　) A.m≠0 B.m≠1 C.m≠-1 D.m≠1且m≠-1且m≠0 4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 5.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 6.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 7.在同一平面直角坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0，不可能是下列选项中的(　　) 8.已知平行四边形ABCD中，一组对边AB，CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，则实数a的值为　　　. 9.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a=　　　　；b=　　　　. 10.(11分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(5分) (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(6分) 11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0 12.(多选)关于x，y的二元一次方程组θ∈(0，2π)无解，则θ等于(　　) A. B. C. D. 13.在平面直角坐标系Oxy中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=　　　. 14.(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程. 15.(15分)已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0). (1)直线PQ是否经过点M(6，1)？(5分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y=x上；(4分) ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.(6分) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.3　直线的一般式方程参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 答案　A 解析　过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y-3=(x-2)，化简可得x-2y+4=0. 2.已知直线l：x-2y-m=0在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是(　　) A.-2 B.- C. D.2 答案　D 解析　对于直线l：x-2y-m=0，令x=0，则y=-， 令y=0，则x=m，故m+=1，则m=2. 3.若方程(m2-1)x+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实数m满足(　　) A.m≠0 B.m≠1 C.m≠-1 D.m≠1且m≠-1且m≠0 答案　B 解析　当m2-1=0时，m=1或m=-1；当m2-m=0时，m=0或m=1. 要使方程(m2-1)x+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则m2-1，m2-m不能同时为0， 所以m≠1. 4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　由直线方程x+(a2+1)y+1=0，可得直线的斜率k=-∈[-1，0)， 设直线的倾斜角为θ(0≤θ<π)， 则tan θ∈[-1，0)，得θ的取值范围为. 5.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为(　　) A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1 答案　D 解析　由l1∥l2知，a×a=1×(a+2)， 即a2-a-2=0，∴a=2或a=-1. 当a=2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去； 当a=-1时，l1∥l2.∴a=-1. 6.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 答案　CD 解析　直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 7.在同一平面直角坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0，不可能是下列选项中的(　　) 答案　D 解析　观察各选项知a，b，c均不为0，两直线的斜率分别为，，且符号相同， A项中两直线在x轴上的截距异号，得×<0，所以abc2>0，得ab>0，则两直线的斜率均大于0，故A正确； B，C，D项中两直线在x轴上的截距同号，得×>0，所以abc2<0，得ab<0，则两直线的斜率均小于0，故B，C正确，D错误. 8.已知平行四边形ABCD中，一组对边AB，CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，则实数a的值为　　　. 答案　-2 解析　因为ax+4y=a+2，x+ay=a，整理可得ax+4y-(a+2)=0，x+ay-a=0， 因为四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，则a2-4=0，且a·(-a)≠-(a+2)·1， 解得a=-2. 9.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a=　　　　；b=　　　　. 答案　-　-1 解析　由题意知当x=0时，y=-1，∴b·(-1)-1=0，∴b=-1. 又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a， 且x-y-=0的倾斜角为60°， ∴k=tan 120°=-，∴a=-. 10.(11分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(5分) (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)由题意知a≠-1，令x=0得y=a-2，令y=0得x=， ∴a-2=，解得a=0或a=2. 当a=0时，直线l的方程为x+y+2=0； 当a=2时，直线l的方程为3x+y=0. 综上所述，直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2， ∵l不经过第二象限， ∴解得a≤-1. 综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1]. 11.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0 答案　A 解析　把A(2，1)分别代入方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0，得 2a1+b1+1=0，2a2+b2+1=0， 即点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都满足方程2x+y+1=0，又两点确定一条直线，∴所求直线的方程为2x+y+1=0. 12.(多选)关于x，y的二元一次方程组θ∈(0，2π)无解，则θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　因为关于x，y的二元一次方程组θ∈(0，2π)无解， 所以直线x+y-1=0与直线xsin θ+ycos θ-2=0平行， 从而=≠，所以tan θ=，又θ∈(0，2π)，故θ=或θ=. 13.在平面直角坐标系Oxy中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=　　　. 答案　12 解析　由M(1，0)，N(5，-3)， 可得=(5，-3)-(1，0)=(4，-3)， 设P(m，n)，可得=(m，n)， 因为P是直线4x-3y-12=0上任意一点，所以4m-3n-12=0，即4m-3n=12， 所以·=4m-3n=12. 14.(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程. 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE， 其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y-1=0上， ∴设B点坐标为(x，1). 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上， ∴-2×2+1=0，解得x=5， ∴B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(-3，-1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0， x-4y-1=0和x-y+2=0. 15.(15分)已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0). (1)直线PQ是否经过点M(6，1)？(5分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y=x上；(4分) ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.(6分) (1)解　由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t=10-t，故t=5，此时P(5，5)，Q(5，0)， 直线PQ不经过点M(6，1)； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5，kPQ=， 直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10). 假设直线PQ过点M(6，1)， 则2t-10=t(6+t-10)， 即t2-6t+10=0，Δ=-4<0，方程无实根， 故直线PQ不经过点M(6，1). 综上，直线PQ不经过点M(6，1). (2)①证明　由题意设点A(a，0)，B(2a，0)， C(2a，a)，D(a，a)， 点C(2a，a)满足y=x， 故顶点C一定在直线y=x上. ②解　直线PQ的方程为(2t-10)y =t(x+t-10)， 因为P(t，t)，Q(10-t，0)， 设阴影部分的面积为S， 则S=S△OPQ-S正方形ABCD=t(10-t)-a2(0<t<10).因为点C(2a，a)在直线PQ上， 则(2t-10)a=t(2a+t-10)， 所以a=t(10-t). 所以S=5a-a2=-+. 所以当a=，即t=5时， 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax=， 此时点A，B(5，0)，C，D. . 学科网（北京）股份有限公司 $