2.2.2直线的两点式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修第一册“直线的两点式方程”同步练，以“基础巩固-综合应用-思维提升”分层设计，覆盖从概念理解到实际应用的完整知识路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|两点式方程概念、截距式应用、中点坐标公式|单选题1-6直接考查公式辨析，填空题8-9强化坐标运算，夯实概念理解| |中档|分类讨论、对称问题、实际应用|多选题7、11涉及截距分类与斜率比较，解答题10结合行李票情境，培养数学建模能力| |拔高|最值问题、综合方程应用|解答题15通过斜率参数化求面积最小值，融合不等式与函数思想，发展逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.2　直线的两点式方程 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.已知直线l的两点式方程为=，则(　　) A.直线l经过点(5，2) B.直线l的斜截式方程为x=y- C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5) 2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 4.已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x等于(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为(　　) A.2x+y-7=0 B.2x-2y-3=0 C.x+y-5=0 D.x+y-1=0 6.一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 7.(多选)已知直线过点(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0 D.2x-y-5=0 8.若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的方程为　　　　　　. 9.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　. 10.(11分)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程；(6分) (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？(5分) 11.(多选)已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 12.直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 13.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为　　　　　　. 14.(12分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 15.(15分)已知C(-1，0)，直线l的斜率小于0，且l经过点A(4，8).直线l与坐标轴交于M，N两点，求△CMN的面积的最小值. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.2.2　直线的两点式方程参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.已知直线l的两点式方程为=，则(　　) A.直线l经过点(5，2) B.直线l的斜截式方程为x=y- C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5) 答案　C 解析　由题意，直线l经过点(8，9)，(2，5)，且不经过点(5，2)，故A，D错误； 将两点式方程化为斜截式方程为y=x+，故B错误； 直线l的斜率为>0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确. 2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 答案　A 解析　方法一　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为=，即2x+y-8=0. 方法二　由已知得，MN∥BC，所以kMN=kBC==-2， 又由中点坐标公式得M(2，4)， 所以中位线MN所在的直线方程为y-4=-2(x-2)，即2x+y-8=0. 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x等于(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　A 解析　方法一　过M，N两点的直线的方程为 =，又P(x，2)在此直线上，所以当y=2时，x=-3. 方法二　由已知得，P(x，2)，M(-2，1)，N(3，-4)三点共线，kMN=kMP， 即=，解得x=-3. 5.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为(　　) A.2x+y-7=0 B.2x-2y-3=0 C.x+y-5=0 D.x+y-1=0 答案　C 解析　如图，因为点P在直线x-y+1=0上，且横坐标为2，所以点P的坐标为(2，3)， 点A为直线x-y+1=0与x轴的交点，所以A(-1，0)， 又点B在x轴上，且|PA|=|PB|， 则点(2，0)是AB的中点，所以B(5，0)， 所以直线PB的方程为=，即x+y-5=0. 6.一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 答案　D 解析　方法一　P(6，4)关于x轴的对称点P'(6，-4)，光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，则反射光线所在直线经过点P'，Q， 由两点式方程可知，所求直线方程为=，化简得x+y-2=0. 方法二　由分析可知，反射光线与入射光线的斜率互为相反数，又入射光线的斜率为kPQ==1，所以反射光线的斜率为-1，故反射光线所在的直线方程为y-0=-(x-2)，即x+y-2=0. 7.(多选)已知直线过点(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为(　　) A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0 C.x-2y=0 D.2x-y-5=0 答案　BC 解析　当截距为0时，设直线的方程为y=kx， 因为直线过点(2，1)，所以1=2k， 即k=，则直线的方程为y=x，即x-2y=0； 当截距不为0时，设直线的方程为+=1， 因为直线过点(2，1)，所以+=1，则a=2， 所以直线的方程为+=1，即x+2y-4=0. 综上，直线的方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 8.若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的方程为　　　　　　. 答案　x+3y+2=0 解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)， 则有解得a=-5，b=-3， 即P(-5，1)，Q(7，-3). 由两点式可得=， 化简得直线l的方程为x+3y+2=0. 9.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　. 答案　3 解析　方法一　由已知得，直线AB的方程为+=1， 则x=3-y， ∴xy=3y-y2=(-y2+4y) =[-(y-2)2+4]≤3. 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 方法二　直线AB的方程为+=1， 要求xy的最大值， 可以令x>0，y>0， ∴+≥2， 即1≥2， ∴xy≤3， 当且仅当=，即x=，y=2时取等号， ∴xy的最大值为3. 10.(11分)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程；(6分) (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？(5分) 解　(1)由题图知点A(60，6)，B(80，10)， 则直线AB的方程为=， 即x-5y-30=0. (2)依题意，令y=0，解得x=30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 11.(多选)已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 答案　AC 解析　由题图可知，k1<-1<k2<0，b2<0<b1. 12.直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线-=1的斜率为， 直线-=1的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角， 且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意. 13.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为　　　　　　. 答案　3x-4y+20=0 解析　依题意知，a=2，P(0，5). 设A(x0，2x0)，B(-2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得 所以A(4，8)，B(-4，2)， 由直线的两点式方程， 得直线AB的方程是=， 即3x-4y+20=0. 14.(12分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， 则直线方程为+=1，即x+y-a=0. ∵|a|2=18，即a2=36，∴a=±6， ∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a(a≠0)， 则在y轴上的截距为-a， 故直线方程为-=1，即x-y-a=0. ∵|a|2=18，即a2=36， ∴a=±6，∴直线l的方程为x-y±6=0. 综上所述，直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 15.(15分)已知C(-1，0)，直线l的斜率小于0，且l经过点A(4，8).直线l与坐标轴交于M，N两点，求△CMN的面积的最小值. 解　方法一　设直线l的方程为+=1(a>0，b>0)，因为直线l过点A(4，8)，且直线l的斜率小于0， 所以+=1⇒8a+4b=ab，且a>4，b>8. 所以S△CMN=(a+1)b=ab+b=(8a+4b)+b=(8a+5b)=(8a+5b) =(8a+5b)=36++≥36+16， 当且仅当=， 即a=4+2，b=8+时取等号， 故△CMN的面积的最小值为36+16. 方法二　由题可设直线l的方程为y-8=k(x-4)，k<0， 令x=0，得y=8-4k>0， 令y=0，得x=4->0， 不妨令M(0，8-4k)，N， 则|CN|=5-. 故S△CMN=(8-4k) =36+(-10k)+≥36+16， 当且仅当-10k=-，即k=-时取等号， 所以△CMN面积的最小值为36+16. . 学科网（北京）股份有限公司 $