2.2.2直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A级基础巩固与B级能力提升的分层设计，实现从两点式方程概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两点式方程直接应用、截距计算、中点坐标|以选择、填空为主，如两点求方程（题1）、截距求解（题2），夯实基础运算能力| |B级|直线对称、最值问题、截距关系分类讨论|含综合解答题，如直线对称方程（题10）、面积最值（题12），提升推理与应用能力|

2.2.2　直线的两点式方程 A级 必备知识基础练 1.经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　　) A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x-3 D.y=-x-3 2.(2026河南郑州高二期中)在平面直角坐标系Oxy中,直线=1在y轴上的截距为(　　) A.-6 B.6 C.- D. 3.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 4.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)下列四个结论,其中正确的为(　　) A.方程k=与方程y-2=k(x-1)可表示同一条直线 B.直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3 C.直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2 D.过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l的方程仅有x+y-3=0 6.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　　.  7.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为　　　　　　　　.  8.已知直线l过点P(4,1), (1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程; (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程. B级 关键能力提升练 9.若直线=1过第一、三、四象限,则(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 10.直线l1:2x-y+1=0关于直线l2:x+y+2=0对称的直线方程为　　　　　　　　　　.  11.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　.  12.已知直线l过点P(3,4). (1)直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程; (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程. 参考答案 1.D　经过点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为,即5x+3y+9=0,即y=-x-3.故选D. 2.A　令x=0,解得y=-6,即直线=1在y轴上的截距为-6.故选A. 3.A　点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得,即2x+y-8=0. 4.A　因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由方程的两点式可得直线方程为,即.故选A. 5.BC　对于A,在方程k=中,x≠1,在方程y-2=k(x-1)中,x∈R,故两个方程表示不同直线,故A错误;对于B,令y=0,则x=-3,所以直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3,故B正确;对于C,直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2,故C正确;对于D,当直线在坐标轴上的截距都为0时,直线方程为y=2x;当直线在坐标轴上的截距都不为0时,可设其方程为=1,则=1,解得a=3,所以直线方程为x+y-3=0.综上,过点P(1,2),且与两坐标轴截距相等的直线l的方程为y=2x或x+y-3=0,故D错误.故选BC. 6.-2　由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为,即x+y-1=0. 又点P(3,m)在此直线上,所以3+m-1=0,得m=-2. 7.x-2y+4=0或x-2y-4=0　设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0. 8.解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0. (2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4). 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-. ∴1-4k=2(4-),解得k=或k=-2. ∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4), 即y=x或2x+y-9=0. 9.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0. 10.x-2y-1=0　设直线l1关于直线l2对称的直线为l3,由解得则点(-1,-1)在直线l3上.在直线l1上取一点A(0,1),设其关于直线l2对称的点为A'(m,n),则直线AA'的斜率为1,故解得即A'(-3,-2),所以直线l3的方程为,即x-2y-1=0. 11.x+2y-6=0　设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1,∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0. 12.解(1)①当直线l过原点时,符合题意,斜率k=, 则直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. ②当直线l不过原点时, ∵直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍, ∴可设直线l的方程为=1. ∵直线l过点P(3,4), ∴=1,解得a=5, ∴直线l的方程为=1,即2x+y-10=0. 综上所述,直线l的方程为4x-3y=0或2x+y-10=0. (2)设直线l的方程为=1(a>0,b>0), 由直线l过点P(3,4),得=1. ∴1≥2,整理得ab≥48, 当且仅当a=6,b=8时,等号成立. ∴△AOB的面积S=ab≥×48=24,其最小值为24. 此时直线的方程为4x+3y-24=0. 3 学科网（北京）股份有限公司 $