精品解析：广东省清远市第一中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

清远市一中2026届高三上学期10月期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（ ） A. 91.5 B. 93 C. 93.5 D. 94 4. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ） A. 10500 B. 12500 C. 31500 D. 52500 5. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ） A. 若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为 B. 平面平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为 10. 平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. C. D. 周长的最小值为 11. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 三、填空题 12. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 13. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 14. 在三棱锥中，若平面，，，，点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为______． 四、解答题 15. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 17. 已知实数、满足方程．求： （1）的最大值和最小值； （2）的最小值； （3）的最大值和最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． （1）设平面平面，求证：； （2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：四棱锥的体积为． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有三个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清远市一中2026届高三上学期10月期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 3. 某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（ ） A. 91.5 B. 93 C. 93.5 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】按照中位数的定义计算. 【详解】把数据按从小到大的顺序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位数是． 故选：C. 4. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ） A. 10500 B. 12500 C. 31500 D. 52500 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案． 【详解】一斛米的体积为， 因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为， 故选：A. 5. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在两段上函数值集合的交集，令，由此构造函数并求其最大值即可. 【详解】当时，，当时，，则， 令，则，，设，， ，即在上单调递增，， 所以的最大值为. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 7. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设有，再结合求得，最后根据图象平移写出解析式. 【详解】由是奇函数，则，，又，可得， 当，，则，不合题设； 当，，则，故； 所以， 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故. 故选：A 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，最小时，有最小值，求的最小值即可. 【详解】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A 二、多选题 9. 已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ） A. 若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为 B. 平面平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线夹角的取值范围，判断A的真假；平面平面，B选项很好判断；先确定点位置，再展开成平面，转化成平面上两点之间的距离问题判断C的真假；先得到是线段上一点，连接并与交于点，分当与重合，在线段（不含点）上，在线段（不含点，）上和与重合四种情况，得到截面积的最大值，判断D的真假. 【详解】对于，如图： 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则 则， 因为 所以， 故，则的取值范围为，故A不正确； 对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确； 对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图： 由得，即，故为线段上一点. 将平面沿展开至与平面共面，如下图： 易知：， 则. 在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确； 对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图： 连接并与交于点. 当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4. 当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为. 当在线段（不含点）上时，如图： 延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为. 由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为， 所以. 当与重合时，截面为矩形，面积为. 故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 10. 平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. C. D. 周长的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得点满足的方程，代入点满足方程，即可判断A；由，得，可求的最大值，可得，即可判断B；由时，有最大值为1，即可判断C；由，可得时，不能构成三角形，即可判断D. 【详解】由题意，，则， 即，即， 将代入有成立， 所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确； 由，得，设，则， 所以，则当时，有最大值， 所以，所以B错误； 由B可知，当时，有最大值为，所以，所以C正确； 由，当且仅当时等号成立， 周长的最小值为， 而此时，不能构成三角形，即最小值不是，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线方程与的取值无关，求解定点判A，利用直线与圆的位置关系判断B，C,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D即可. 【详解】对A，整理直线的方程，得，令，解得， 当时，直线方程与的取值无关，又，解得， 即必过定点，故A正确； 对B，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为， 又，故得圆与轴相切，故B正确； 对C，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为， 可得，解得故C错误； 对D，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为， 将代入直线的方程，得，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 13. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义转换求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型. 14. 在三棱锥中，若平面，，，，点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，将三棱锥放置于长方体内，计算出其体对角线长，可得出外接球直径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】在三棱锥中，平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以可将三棱锥放置于长方体内，如图所示， 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点， 即外接球的半径为长方体体对角线长的一半， 此时为长方体的体对角线，即为外接球的直径， 且， 所以该球的表面积． 故答案为：. 四、解答题 15. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知 则 所以数列的前项和为. 16. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． 【小问2详解】 记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． 【小问3详解】 由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 17. 已知实数、满足方程．求： （1）的最大值和最小值； （2）的最小值； （3）的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. 【小问1详解】 如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. 【小问3详解】 是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． （1）设平面平面，求证：； （2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：四棱锥的体积为． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，则， 而平面平面，于是平面， 又平面，且平面平面，所以. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）选条件①③或②③，证明底面，求出，（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面角；（ⅱ）令，利用垂直关系的向量表示求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①③，平面平面，四棱锥的体积为， 连接和交于点，连接，显然是中点，由，得， 而平面平面，平面，底面， ，，解得， 选条件②③，，四棱锥的体积为， 连接和交于点，连接，显然是中点，由，得， 又是中点，由，得，而平面，则，底面， ，，解得， 若选条件①②，平面平面，，此2条件均可证明底面， 点的位置不确定，即四棱锥存在，但不唯一，因此条件①②不可选. （i）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量为，因此， 所求平面与平面所成角的余弦值为. （ii）平面交线段于点，由（i）知，， 设，则， 由，得，所以. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有三个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）化简得到，根据题意得到方程有两个不为2实数根，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，得出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 所以，且， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为， 可得是的一个零点， 因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根， 即方程有两个不为2实数根， 令，所以， 令，可得，令，可得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值， 且当时，， 所以，当时，的值域为；当时，的值域为， 所以，且，所以且． 所以a的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $