1.3用反比例函数解决问题（第1课时）同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、解析式确定|单选题1-2直接应用定义求解析式，填空题9-10结合物理情境（近视镜度数、电路电流）巩固k值计算| |中档|图像性质、实际情境分析|单选题3-7结合图像（如功率与时间关系、弦长与频率）考查性质应用，填空题11-14通过实验数据推理函数关系| |提升|综合应用与多步问题解决|解答题16-20（水上滑梯、密度计测量等）需建立模型、分析取值范围，体现用数学语言表达现实问题的核心素养|

1.3 用反比例函数解决问题（第1课时） 同步练习 一、单选题 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，其图象如图所示．小明经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由米调整到了米，则他的眼镜度数减少了（     ） A．度 B．度 C．度 D．度 4．设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 5．物理实验中，小红分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流（安）和它们的电压（伏），如图，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）一定的条件下，灯泡的实际功率与发光时间成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（     ） A．24 B．27 C．45 D．50 7．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 8．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题 9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 10．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 11．某同学组装了一个电路，通过实验测得电流与电阻值的一组数据如下表所示： … 2 3 4 6 … … 5 m … 已知实验数据中的与的值符合一定的函数关系，则m的值为__________． 12．蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，图象如图所示．当电阻时，电流的取值范围是________． 13．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 14．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 三、解答题 15．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 16．如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 17．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 18．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 19．为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 20．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 3．A 【分析】求得反比例函数的解析式，再代入求值，相减即可． 【详解】解：近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数， 设解析式为， 把代入可得， 解得， 所以近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的解析式为， 当时，， （度）， 所以他的眼镜度数减少了度． 4．D 【分析】根据多边形的外角和定理得出与的函数关系式，结合自变量的取值范围及反比例函数的性质判断图象即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，且正多边形的每一个外角都相等， ∴， ∵表示正多边形的边数，则为大于等于的整数， ∴与是反比例函数关系，且图象在第一象限， ∴随的增大而减小，且图象是双曲线上的离散点， 只有D选项图象为反比例函数上的点且随增大而减小，符合题意． 5．C 【分析】根据反比例函数中，越小，图象越接近坐标轴，据此即可判断． 【详解】解：由得 乙、丁在同一条反比例函数图象上 甲在图象上方（外侧），丙在图象下方（内侧） 丙所在反比例函数图象最靠近坐标轴 丙的功率最小 6．C 【分析】由题意，成反比例关系，先求出函数解析式，分别求出 和 时的 值，从而得到 的取值范围，最后对照选项选出可能的值． 【详解】解：由题意可得成反比例关系，可设， 将代入得，，解得， ， ， 在第一象限内随着变大而变小， 当时，，当时，， 当时，， 仅有C选项中符合要求． 7．C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 8．D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 9． 【分析】先求出反比例函数关系式，再将求值即可． 【详解】解：设眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为，根据题意，得 ， ∴函数关系式为． 当时，， 解得， 所以小明同学的眼镜近视度数为500度，眼镜镜片焦距为0.2米． 10． 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 11． 【分析】观察表格数据可得与的乘积为定值，可判断是的反比例函数，求出反比例函数解析式后，代入即可求出的值． 【详解】解：由表格数据计算可得：，，， 则，即与成反比例关系， 即反比例函数解析式为， 将代入解析式得：． 12． 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流的取值范围． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 电流的取值范围是． 13．6 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 14．60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 15．(1) (2)当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【分析】（1）设与之间的关系式为，由函数图象可知点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）把代入反比例函数的解析式即可求出，由反比例函数的性质可知当时，随的增大而减小，可得的最大值为． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 16．(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 17．(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 18．(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 19．(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 20．(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $