第一章 空间向量与立体几何（一） 单元测试（基础版）- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦空间向量与立体几何基础，整合多地区期中/阶段检测题，覆盖向量运算、坐标表示等核心知识，适配高二单元复习，助力空间观念、推理能力与模型观念的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间向量坐标运算（第2题）、共线共面（第5题）、夹角计算（第4题）|结合《九章算术》“堑堵”（第6题）与多地区真题，梯度分明| |填空题|3题15分|投影向量（第12题）、向量垂直（第13题）、多面体动点最值（第14题）|聚焦运算细节与动态问题，考查空间观念| |解答题|5题77分|向量垂直与面积（第15题）、四点共面证明（第16题）、存在性探究（第17题）|综合考查建模与推理，如第19题矩形翻折的向量表示与位置关系判断|

人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（一） 同步章末检测试卷 考试范围：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 2．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得. 故选：C 3．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， ， 故选：A 4．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 5．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，，三向量共面，我们可以用向量，作基底表示向量，进而构造关于的方程，解方程即可求出实数的值． 【详解】 ，， 与不平行， 又 ，，三向量共面， 则存在实数，使， 即，解得． 故选：C 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设, 根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为平面，所以可设，则， 由于，所以，，解得，， 所以，. 故选：A 8．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算进行求解； 解法二：过点，分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】解法一：如图建系    设圆柱底面半径为，则，所以， 则 所以. 解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，    过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则， 所以，则， . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江西·期中）已知是空间的一个基，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】由题意可得不共面，只需考查选项中的一个向量是否能表示成另两个向量的数乘之和即可. 【详解】因为， ， ， 所以，，共面， ，，共面， ，，共面， 设， 则有，此方程组无解， 所以，，不共面． 故选：ACD. 10．（24-25高二上·河北保定·期中）已知四边形ABCD是平行四边形，，则（   ） A． B． C． D．点B到直线AC的距离为 【答案】BCD 【分析】由空间向量的坐标运算可判断ABC；由空间点到直线的距离公式可判断D. 【详解】易得，A错误． 因为四边形是平行四边形，所以， 设，得， 所以，解得，则，B正确． ，C正确． 点到直线的距离为，D正确． 故选：BCD. 11．（25-26高二上·福建·期中）如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（    ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线平行于直线，时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点， 平面 平面， 又平面，平面， ， 点在面上，过点的直线交，于点，， 平面， 又平面，平面 平面 ， ， ，故A正确； 对于B，设正四面体的棱长为， ，故B错误； 对于C，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面， 以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为， ，，，均为正三角形， 点为的中心，， 由正三角形中的性质，易得， 在中， ，，， 由余弦定理得，， ，则， 同理，，又， 平面， 平面， 平面，存在点S与直线MN，使平面，故C正确； 对于D，设为的中点，则 ， 又∵，，三点共线，∴， ∵，，三点共线，∴， ∵，，三点共线，∴， 设，，，则， ∵，，，四点共面，∴， 又∵，∴，∴， 即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_______. 【答案】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 13．（25-26高二上·甘肃·期末）已知空间向量，，且，则_________. 【答案】1 【分析】由，可建立关于的方程，解出即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：1. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可. 【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以 ． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由向量垂直的充要条件可得； （2）先由向量夹角公式求得的余弦，进而求得正弦，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 因为向量与互相垂直，所以，解得． 所以的值是5． （2）由（1）可得． 故， 所以． 16．（15分）（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．      (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：，因为，， 因为不共线，所以令， 即，解得， ∴. 故C，E，F，G四点共面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得； （2）求出，得到四点共面. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，    ∵， ∴，，，， ∴，， ∴. （2）略. 17．（15分）（24-25高二上·吉林·阶段检测）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在一点G，理由见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 18．（17分）（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图， ， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此 ，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则 ． 19．（17分）（25-26高二上·江苏·期中）如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，使得平面. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即可得； （2）分别可得，求出以及代入夹角计算公式即可得出结果； （3）假设存在使得平面，利用向量数量积为0即可解得. 【详解】（1）因为，，， 记，所以，且，， 由空间向量的线性运算法则， 可得 . （2）当时，； 所以可得，易知 又可知 . （3）假设存在使得平面，又平面， 可知，， 由（1）知，, 可得. 且 化简得，解得，满足条件. 故存在，使得平面. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（一） 同步章末检测试卷 考试范围：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建·阶段检测）已知，，，若，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江西·期中）已知是空间的一个基，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高二上·河北保定·期中）已知四边形ABCD是平行四边形，，则（   ） A． B． C． D．点B到直线AC的距离为 11．（25-26高二上·福建·期中）如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（    ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_______. 13．（25-26高二上·甘肃·期末）已知空间向量，，且，则_________. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)已知向量与互相垂直，求的值； (2)求的面积． 16．（15分）（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点． (1)求的值； (2)证明：C，E，F，G四点共面． 17．（15分）（24-25高二上·吉林·阶段检测）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，. (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分）（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 19．（17分）（25-26高二上·江苏·期中）如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $