第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元提升卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量垂直、法向量、坐标运算|基础概念与空间想象结合，如第4题正方体坐标问题| |填空题|3题15分|基底表示、三点共线、正四面体最值|抽象思维与几何直观，如第14题最小值问题| |解答题|5题77分|平行六面体向量运算、四棱锥证明与计算|综合应用与逻辑推理，如19题二面角及存在性探究|

第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（   ） A． B． C．或 D． 4．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（   ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知空间中三点，则（   ） A．向量与向量垂直 B．平面的一个法向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 10．（多选）如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量与的夹角是 D．异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 11．（多选）在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．当时，点到平面的距离为 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的平面角的正弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 13．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 14．在各棱长都等于1的正四面体中，若点满足 ，则 的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 17．（15分）如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明：    (1)； (2)平面； (3)平面平面. 19．（17分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知向量a=,0则，6=(2,0，且a+万与2a-不垂直，则k的值为《) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【详解】因=(01），6=(L2,0）,则a+6=(k+1,2),2石-万=L-22) 因a+6与2万-6垂直，则（a+b列2a-b列)-=k+1-4+2张=3张-3=0，得k=1. 故选：C 2.己知空间向量=(2，-1)，6=(m-33),若0与5的夹角是锐角，则m的取值范国是（) A.（0,-6U(-6,3) B（0,3) c.（-36U(6,+w) D.（3,+∞) 【答案】C 【详解】因为空间向量0=(2，-1)万=(m,-3,3) 若a与6的夹角是锐角，则a6=2m+3+3>0且2(-3)归-m 成立， 所以-3<m<6或m>6. 故选：C. 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,10),1=(0,1),则两平面所成的二面角为《) A.45 B.135o C.45°或135° D.90° 【答案】C 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mn1√2 cos(m,n）= 【详解】 园丽1xV52,即(m,n=45°. .两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 故选：C 4,如图，正方形4BC 与矩形ACE 所在平面互相垂直，B=5,F=LM在F上且4M/平面 BDE,则M点的坐标为() 2 A.（L,1,1) B. D.44 【答案】B 【详解】由题意可知： AV2,2,0,D(2,0,0,B(0,2,0,E(00,1) 设M(a,,),则DE-(2,0,8距=-(0，-2，)4M-(-2,-2, [DEi=-√2x+z=0 设平面BDE的法向量i=(x,少，2)则BEi=-√2y+z=0, 令2=5，则x=y=1,可得i=(,1,2)】 因为AMII平面BDE,则AM⊥i, 即M.i=无-2+天-2+2-0，解得= 2,即M点坐标为22， 故选：B. 5.己知空间向量a+6+c=0,且同=2,5=4，=3，则os(a,c=（) 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 √3 A.2 B.4 C.2 D.2 【答案】B 【详解】由a+6+c= 可得6=a+c 故--la+d-匠++2a2s4=4+9+2x2×3csa,可，故osa,-4, 故选：B 6.如图，在三棱柱 BC-ABC中，M为4C的中点，若B=0.M=c,C=6,则下列向量与8丽 相等的是() B M A 1-1 1-1, A. 56+c0+ C.- 2 2 2 【答案】D 【详解】B丽=BA++4M=BA++号4C =+4+(8c-)=}丽+M+8c 2 故选：D 7已知四棱锥P-ABC 的底面4BCD是平行四边形，M为侧楼PC上的点， PM=2Mc，若 BM=xAB+yAD+zA ,则+y+=（) 3/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M ------->D 2 A.-3 B.-3 2 C.3 【答案】C 【详解】因为PM=2MC,所以BM-P=2(BC-BM）,所以3BM=2BC+B严， 所8m-号c+P,所以丽-号D+F-)而+写P-}, 2.1 文BM=xA5+AD+4P,所以x三3y32三3， 所以+y+2=2+112 3333 故选：C 8.如图，正方体 BCD-A8CD中，N=M,4=D,E=BC,当直线DD与平面MNE所成的 角最大时，九=() D C M A E N---- ⊙ A. 1 B.3 C. 1-5 D 【答案】C ABCD-ABCD 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体 的棱长为 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ZA M B D C C(01,0).B(11,1,D(00,0),D(0,0,1) 所以4E=C=(0-,-2-.丽-层a.证-行-刘 设平面MNE的法向量为 =(x,y,2) mw- 5z=0 则 之，1，可利-2- 又DD=(0,01）,设直线DD与平面MNE所成的角为“，则 mDD sin a=cosm,DD DD 2-*2-+2 1 π = 从而当4时， s血a取到绿大值，又“0，故2-4时直线D0与平面0E所成的角最大. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.（多陆)已知空间中三点1(-121)B(3,1,C(-242),则() 5/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC A.向量丽与向量1C垂直 B.平面ABC的一个法向量为 =(1,-2,-5) √66 C.AC与BC的夹角余弦值为I1 D.-2 【答案】AC 【详解】由已知 B=(2,10,4C=(-2,D,则B4C=-2+2+0=0,所以B14C,A对： 由i=化-2-），则-4C-1-4-5=-10≠0，n与4C不垂直，B错， 由C-(3则c网C所2 4CBC6x11,C对： 由A=4+1+0=V ,D错 故选：AC ABCD-ABCD 10.（多选)如图，平行六面体· ,其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此 的夹角都是60°，下列说法中正确的是() A B D A.4G=6V6 B,.AC⊥BD C.向量C与4的夹角是60 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 D.异面直线BD,与AC所成的角的余弦值为3 【答案】AB 【详解】“在平行六面体 ABCD-ABCD 中， 其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°， AA·AB=AA·AD=AD.AB=6×6×cos60°=18 对于A,(+AB+D=A+B+D+24B+2B.D+24D =36+36+36+3×2×18=216. 4G=4+西+D-=26=66,A正确： 对于B,4C·DB=(4+B+D)(B-D) =44AB-44AD+AB'-AB.AD+AB.AD-AD'=18-18+36-18+18-36=0 .AC⊥BD B正确： AD △AAD ∠AAD=60° 对于C,连接，由题意可知 是等边三角形，则 .BC=AD ,且向量4D与4的夹角是120， “向量BC与4夹角是l20°，c错误： 对于D,BD=D+-,AC=B+D BD AC=(AD+AA-ABAB+AD) =AD.AB+AD+44AB+44AD-AB-AB.AD=36 BD-D+4-4B6.4C(4B+D)63. 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD·AC 36 √6 ∴cos(BD,AC)= BDAC62×636, 6 故异面直线BD与AC所成的角的余弦值为3，故D错误 故选：AB D B ABCD-ABCD 11.(多选)在棱长为2的正方体 ?中，P为线段，C上的动点，则下列结论正确的是 () A.直线AP与BD所成的角是6 2 B.当B,P=2PC时，点D到平面ABP的距离为3 P-ACD C.三棱锥 的体积不变 xr-nc 5 D. 则二面角B-AP-B的平面角的正弦值为6 【答案】BC (0,0,0)B(2,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)A(0,0,2) 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2,0,2)C(2,2,2)D(0,2,2) 8/19 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 ZA B B A(xBC=(0,2-2),BD=(-22,0),t设BP=BC=(0,24,-20≤1≤ 依据共线向量设坐标 故P2,22-2）4P=(2,2,-2) BD·AP -4+4t 4-4t 若直线，。与所成的角是工，则 AP BD 6 BD4F22xV4+4+4222x4+822 整理得4+4+1=0，即(2+=0，解得1=-2[0，， 注意范围的限制 故直线AP与BD所成的角不可能是6： BV)当4P2.含A中可得3,2，P0BH202 4..2 mBP=0, 3+3=0 设平面4BP的法向量为m=(x,y,z小则mBA=0,即-2x+2z=0, 取=2，得m=(2-12)为平面4BP的一个法向量。 m·D42 又D4=(0,-2,0):故D到平面ABP的距离为m3· BCIAD BC ACD ADE ACD ,BC∥ACD C(√)因为 平面 平面 ,所以平面 ,所以 p-4GD=A-4Gp=VD-AG为定值. 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BP-IBC 224 D(×) 3 时，结合B的分析可得 2 4 i.BP=0, b+3c=0, 3 设此时平面4BP的法向量为元=(ab,c)则元-BA=0,即-2a+2c=0, 取a=1,得i=(1,-2,1)为平面4BP的一个法向量，又 8·AP=0, w=0, 设平面ABP的法向量为5=(u,%,w则5·46=0，即 2u=0, 取=1，得5=(0,11为平面1BP的一个法向量， -15 √33 故os6,=6x万6，故=面角8-AP-B的平面角的正弦值为6。 故选：BC 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.位，五是空间的一个单位正交装底，向量P-ā+2万+30，a+五a-五是空间的另一个装底，用装 底a+ia-6,d表示向量P,则P= 【答案1(a+6)(a-列+3c 【详解】设=(a+6列+(a-6列+运，则万=(c+y)a+(x-y)5+c (r-3 2 所以+y=,解符少= 2 x-y=2 z=3 z=3 10119 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 所以p-=a+6)-a-列+3 故答案为：a+6列--6列+3证， 13.设向量气，弓，弓不共面，已知 B=-3E-6+2%.BC=g+6,-6e,CD=46+2运+8记，若A, C,D三点共线，则九=一 【答案】0 【详解1方法、因为B=-3-8+2运，BC=6+-6爬，而=4妮+2运+8形。 所以4C=B+BC=-22+(-1%-4e 因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的实数y,使得 CD=yAC 即46+2运+86=儿-2+(a-10g-46] 4=-2y 2=2-少，解得2=0 即 8=-4y y=-2 方法二、因为向量5，弓，已不共面，所以可假设低，马，}为空间的一个单位正交基底， 则亚在此基底下的坐标为3，-1,2)，同理8C=1,无，6)，CD=(42,8) 则1C=4B+Bc=(-2,-1+元，-4) 若A,C,D三点共线，则 AC∥CD 428 即-2-1+元-4，解得1=0 故答案为：0. 14.在各棱长都等于1的正四面体0-A8C中，若点P清足OF=01+)0B+:0C(x+y+2=),则 OP 的最小值为 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 【答案】3 【详解】 :OP=xOA+yOB+z0C(x+y+z=）,P,AB,C四点共面， O丽的最小值为O到平面BC的距离， 取AB中点D,AC中点E,连接BE,CD,BE∩CD=M,连接OM, ~四面体O-ABC是正四面体，·底面ABC是正三角形， ∴.M为底面正三角形ABC的中心，连接OM, ∴.OM为正四面体O-ABC的高，O到平面ABC的距离为OM, o7的最小值为OM, 正四面体O-ABC的各棱长为1， n-23_V5 CM=2CD=3 .OC=1, 3 -323, 0woc-w--6 3 VG :o丽的最小值为了· √6 故答案为： 3 E B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(13分)已知向量 =(2,-1,2）6=1,4,1) a求2a-的值， (2)求向量i+26与i-6 夹角的余弦值. 3 【答案】(1)3V6(2)3 【i详解】1)ā=(2，-，2).万=(04,1）) ∴.2ā=(4，-2,4)2a-b=(3,-6,3) 2a-=32+(6}'+32=36 2设g+25与g-6的夹角为，测a0 (a+2b)a-b) a+26 a-B a+26=(4,7,4),a+26l=V4+72+4=9 a-6=(,-5,1),a-6=+(-5}+1P=33 (ā+26)(a-b)=4x1+7×(-5)+4×1=-27 cos0=-27-V3 9×3v33, 3 ∴.向量a+2b与a-b夹角的余弦值为3. 16.(15分)如图，已知平行六面体 BCD-ABCD中，底面1BCD是边长为1的正方形， M4=2,∠44B=∠44D=120设4B=aD=6,A=C 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7A1 D B (a试用a6,c表示向量4G,丽 2求4C； AA,⊥BD (3)求证： 【答案】仙C=a+6+C,丽=-a+6+:C=5,(证明见解折 【详解】(1)4C=B+BC+CC=B+D+A=ā+6+c BD =BC+CC+CD=AD+AA-AB=-a+b+ AB.AD=a6=0 (2)因为 所以4B:M=ac=1x2x(=- 而4-c1k2x个》- 1ACP=(a+b+c}2=a+b2+c2+2(a.6+a.c+b.c =1+1+4+2(0-1-1)=2 所以4G-2 (3)因为杯：BD=4-(D-)=c6-d)=c5-a=-1-(←1)=0 所以141D 14119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分)如图所示，在平行六面体 BCD-ABCD中，设M=ā丽=6，D=6M,N,P分别是 M4,BC,CD的中点，试用a,6C表示以下各向量： D B B 。 m ； (3)MP+NC 【路案1m亚-ac+5a4N-a5g+NG-+b+ 21 2 【详解】(4)因为P是C0的中点，=a=6,D=6, 所似4P=+40+0P=a+而+0G=i++号B=a++5 2 (②)因为V为BC的中点，4=aB=6,而=C 所以4=41+孤+丽=a+6+D-a+6+c (3)因为M为的中点，4=a,=6而=】 而-通+-+丽-+a+a+6+ 所以 G=c4cG=4D+=+, 15119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 所以 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,ABI1DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点·证明： B (1)BE⊥DC: (2)BE11平面PAD 3)平面PCD⊥平面PAD 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析3)证明见解析 【详解】(1)证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系： Z P E B 可得B(0,0.C(22,0).D0,2.0),P00,2) 由E为棱PC的中点，得 E(1,1,1) (1)向量 E=(0,1,1),DC=(2,0,0) 故E.DC=0 所以BE⊥DC. 16119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)因为AB⊥AD, 又PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥PA,PAOAD=A,PA,ADC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 所以向量 B=(0,0)为平面PMD的一个法向量， BE·AB=0 而 所以BE⊥AB, 又BEC平面PAD,所以BEII平面PAD (3)由(2)知平面PAD的法向量为 B=(1,0,0) 向量PD=(02,-2).Dc=(20,0) 设平面PCD的一个法向量为” =(x,y,2) PD=0 「2y-2z=0 则i.DC=0,即12x=0 不妨令y=1,可得x=0,2=1, 所万=(01山)为平面PCD的-个法向量， 且元.AB=0 所以”L阳 所以平面PCD⊥平面PAD 19.(17分)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面 PAD⊥平面ABCD,E、FG分别是PCPD,BC的中点. (1)求证：AB/1平面EFG: (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小： 17119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6？若存在，求出线段PM的长度：若不 存在，说明理由。 【答案】(1)证明见解析2)平面EFG与平面ABCD夹角的大小为3： 3)线段PA上不存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6，理由见解析 【详解】(I)因为EF分别是PC、PD的中点，所以EF∥CD, 又因为四边形ABCD是正方形，所以AB‖CD,所以AB∥EF, 又EFc平面GEF,AB￠平面GEF,所以ABII平面EFG; (2)取AD的中点O,连接PO,OG, 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADA平面ABCD=AD,平面POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,又OGC平面ABCD,所以PO⊥OG, 由四边形ABCD是正方形，易得ABGO是矩形，所以AO⊥OG, 以O为坐标原点，OA,OG,OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， D G B 00,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0)D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2V3) 则 E(-1,2,V3),F(-1,0,V3) 所以 F=(0,-2,0),EG=(0,2,V3), 18119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设平面EFG的一个法向量为” =(x,y,2) nEF=-2y=0 则EG=x+2y-V3z=0,令z=1”则可得y=0,x=5, 所以平面EFG的一个法向量为 n=(N3,0,1) 又平面1BCD的一个法向量为 P=(0,0,2V3) 设平面EFG与平面ABCD夹角的大小为B, 所以cos0、 10pl_25 1 10pHnV3+1x232, 所以平面EFG与平面ABCD夹角的大小为3： (3)线段PA上不存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6，理由如下： 假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6， 即直线GM与平面EFG的法向量，所成的角为3， PM-APA,4e(0.GM-GP-+PM-GP+P 所以G=(2a,-4,230-2》 所以cos子-cos(G成. GMn 5 GM 2V422-61+7, 整理可得222-3+2=0，△=(-3-4×2x2<0 ，所以方程无解， 所以线段P4上不存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6 19119函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章空间向量与立体几何（高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 A 5 6 C C 0 C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC AB BC 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.a+)a-列0 √6 13.014.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(4)ā=(2，-1,2)6=(，4,1) ∴.2ā=(4，-2,4)2ā-b=(3,-6,3) 2ā-6=32+(-6+32=36 (a+25)(a-b) （2)设6+26卢a-6的夹角为，则06 a+26 a-B ā+2b=(4,7,4).a+26=V42+7+4=9 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ā-万=(1，-5,1)，a-=vP+(←5}+1P=35 (ā+26)(a-6)=4x1+7×(-5)+4×1=-27 cos0=-27=V5 9x3V33, 5 向量ā+25与a-b夹角的余弦值为3· 16.(15分) 【解析】(1) AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+b+c BD=BC+CC+CD=AD+AA-AB=-a+b+ (2)因为4B而=a6=0 所以4B.A4=ac=1x2x(-=-1, 而-4=c=1x2x=-1 AGP-(a+B+c)=a+B2+02+2(a.B+a.@+B.c) =1+1+4+2(0-1-1)=2 所以AC=V2 (3)因为：BD=4(D-)=c6-a)=c6-ca=-1-(←)=0 所以141D 17.(15分) (a)因为P是CD的中点.=a,砺=6，而=6， 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以P=A+40+D,P=a+D+)DG=a++B=a+c+ 2 (2)因为N为BC的中点， AA =a,AB=b,AD=c 所以4N=4+B+BN=a+6+而=a+6+。 (3)因为M为1A的中点，4=a,AB=6,D=C a+亚-+++ 所以 NC NC+CC=1AD+44=1c+a 18.(17分) 【解析】(1)证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系： E 可得B1.0,0,C(2,20),D02,0),P0,02) 由E为棱P℃的中点，得EL0 (1)向量BE=(0,1),Dc=(2,00) 故死-DC=0 所以BE⊥DC. (2)因为AB⊥AD, 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD, 所以AB⊥PA,PAOAD=A,PA,AD平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 所以向量 B=(L,00)为平面PAD的一个法向量， E·AB=0 而 所以BE⊥AB, 又BE平面PAD,所以BEII平面PAD (3)由(2)知平面PAD的法向量为 AB=(1,0,0) 向量D=(02,-2.Dc=(20,0) 设平面PCD的一个法向量为 ,万=（x,y,2) iPD=0 「2y-2z=0 则iDC=0,即12x=0 不妨令y=1,可得x=0,z=1, 所以=(O1山为平面PCD的一个法向量 且元.AB=0 所以”lB 所以平面PCD⊥平面PAD. 19.(17分) (1)因为EF分别是PCPD的中点，所以EF∥CD, 又因为四边形ABCD是正方形，所以AB‖CD,所以AB∥EF, 又EFc平面GEF,AB丈平面GEF,所以AB/I平面EFG: (2)取AD的中点O,连接PO,OG, 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,平面POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,又OGC平面ABCD,所以PO⊥OG, 由四边形ABCD是正方形，易得ABGO是矩形，所以AO⊥OG, 以O为坐标原点，OA,OG,OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， Z P D G B 则00,00420,0,82,40，C-24,0D-20,0,G0,40,P00,2V5 E(-1,2,V3),F(-1,0,3) 所以F=0-2,0,BG=0,25. 设平面EFG的一个法向量为”=(：少2） EF=-2y=0 则EG=x+2y-V3z=0,令z=1则可得y=0,x=3, 所以平面5C的一个法向量为”=(W50,D 又平面1BCD的一个法向量为 P=(0,0,2V3) 设平面EFG与平面ABCD夹角的大小为B, 所以os6、 OP.n 23 1 1 OP3+1×232, 所以平面EFG与平面ABCD夹角的大小为3； 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)线段PA上不存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6，理由如下： 假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6， 即直线GM与平面EFG的法向量，所成的角为3， 设PM=PA,ie0,),GM-G+PM=G+P☑ 所以GM=(2,4,251-10 GM 所以os3-os(G成，- GMH元242-61+7， 整理可得22-3+2=0.4=(-3}-4×2×2<0 所以方程无解， 所以线段PA上不存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6： 616