3.1.1 函数的概念 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖函数概念及表示全知识点，通过基础巩固、易错突破、能力提升到素养拓展，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练|函数定义、定义域、值域等单一知识点|多选+图象辨析题，如函数定义理解与定义域求解，夯实概念基础| |易错练|定义理解偏差、参数讨论遗漏等典型错误|针对易错点设计辨析题，如忽略定义域致错案例，强化严谨思维| |提升练|定义域与值域综合、交汇函数等复杂应用|综合题与开放题结合，如定义域嵌套问题，提升逻辑推理能力| |素养练|函数性质创新应用|强基计划选拔题，如抽象函数求值，培养数学创新意识|

3.1函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 基础练 题型1 函数定义的理解 1.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.函数就是两个集合之间的对应关系 B.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C.若f(x)=2(1<x<4),则f(π)=2一定成立 D.若两个函数是同一个函数，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 2.[湖南永州2026开学考]函数y=f(x)的图象与直线x=2026的交点有( ) A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.以上答案都不对 3.[河南省实验中学2026 高一月考]已知A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图象能表示以A 为 定义域，B为值域的函数的是( ) 题型2 函数对应关系的表示 4.[湖北武汉第一中学2025 高一月考]集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列对应关系不能表示从A到B的函数的是( ) 5.[山西大同2026高一期中]已知f(2x+1)=4x+3,则f(-1)=( ) A.0 B.-1 C.-2 D.-3 题型3 函数的定义域 6.[山东省实验中学2026 高一期中]函数f(x)= 的定义域为( ) A.[ ,+∞) B.(-∞,3)∪(3,+∞) C.[ ,3)∪(3,+∞) D.( ,3)∪(3,+∞) 7.[广东深圳实验学校2026高一月考]已知函数f(x)的定义域为[0,3],则函数f(2x-1)的定义域为( ) A.[-3,3] B.[ ,2] C.[-1,5] D.[1,2] 8.若函数 的定义域为R，则实数m的取值范围为( ) A.(0,4) B.[0,4] C.[0,4) D.(-∞,0]∪(4,+∞) 题型4 函数值与函数的值域 9.已知函数 若f(a)=2,则a的值为( ) A. 10.[北京八一学校2026 高一月考]下列函数中，值域为(0,+∞)的是( ) 11.函数 的值域为( ) C.[9,+∞) 12.[贵州遵义四中2026 高一期中]函数y=1+x+ 的值域为( ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 13.[浙江杭州部分学校2025 高一期中联考]已知函数f(x)的定义域为(2,+∞),值域为R,则( ) A.函数 的定义域为R B.函数 的值域为R C.函数 的定义域和值域都是R D.函数f(f(x))的定义域和值域都是R 题型5 同一函数 14.[安徽宿州多校2025 高一期中联考]下列四个函数中，与y=2x表示同一个函数的是 ( ) A. y=2|x| 15.[四川内江2026高一月考]下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( ) 易错练 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 16.有如下对应关系： (2)A={-2,0,2},B={4},f:x→x²; (4)A=R,B=R,f:x→2x+1; (5)A={(x,y)|x,y∈R},B=R,f:(x,y)→x+y. 其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有 .(填序号) 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 17.若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是( ) A.(0,4) B.(0,4] C.[0,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 易错点3 忽略函数的定义域而致错 18.函数 的值域为( ) A.[-1,3] B.[-1,0] C.[0,3] D.[-1,2] 易错点4 混淆自变量的判定而致错 19.[江苏南通 2026 高一期中]已知f(x)= 则函数g(x)=f(x+1)的定义域是( ) A.[0,2] B.[0,4] C.[-2,2] D.[-1,3] 20.[陕西安康2026高一月考]若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则 的定义域为( ) 提升练 1.已知集合A={1,2},B={4,5,6},则从A到B的函数f(x)有 ( ) A.8个 B.6个 C.7个 D.9个 2.[广东梅州 2025 高一月考]已知集合A= 则 ( ) A. A∩B=∅ B. A∩B=A C. A∪B=A D. CRB⊆A 3.[江苏南京金陵中学2026高一期中]已知函数f(x)的定义域为[3,9],则函数h(x)=f(3x)+ 的定义域为 ( ) A.[-2,2] B.[1,2] C.[1,3] D.[3,9] 4.已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且f(6)=3f(2)+2,则f(8)= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 5.[广西南宁二中2026 高一月考]已知函数y= 的定义域是[-1，m]，值域是 则实数m的取值范围是 ( ) A.(0,4] B. C. D. 6.(多选)若某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是 ( ) A. B. C. D. 7.[河北衡水中学2025 高一期中]函数f(x)= (1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值； (2)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围. 8.已知函数 (1)求f(2)与f( ),f(3)与 的值. (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与 有什么关系?证明你的发现. (3)求 的值. 素养练 9.[北京大学2025 强基计划]已知 且 P(1)=2025,P(2)=4050,则P(5)-P(-2)= . 答案 基础练 1. CD 【解析】A，由函数的定义可知，必须是两个非空数集，故A 不正确； B.设函数 显然值域为{1},故B不正确; C.因为π∈(1,4),所以f(π)=2,故C正确； D，由函数相同的定义可知 D 正确.故选 CD. 2. C 【解析】若2 026不在函数f(x)的定义域内,则y=f(x)的图象与直线x=2026没有交点；若2026在函数f(x)的定义域内,则y=f(x)的图象与直线x=2026有1个交点.故选C. 3. B【解析】A是函数的图象，值域为[0，2].与题干函数的值域为B={y|1≤y≤2}不符，故A 错误； B是函数的图象，定义域为[0，2]，值域为[1,2],故B正确; C是函数的图象，值域为|1，2|，与题干函数的值域为 B=|y|1≤y≤2|不符,故C错误； D是函数的图象，值域为|1，2}，与题干函数的值域为B=|y|1≤y≤2}不符,故 D错误. 故选 B. 4. C 【解析】A 选项, 当0≤x≤4时，ye[0，2]，且对每一个x，都有唯一确定的y与其对应，故A 能表示从A到B的函数，A正确； B 选项, 当0≤x≤4时,y= 且对每一个x，都有唯一确定的y与其对应，故B能表示从A到B的函数，B正确； C选项， 当0≤x≤4时, 故C不能表示从A到B的函数，C不正确； D选项， 当0≤x≤4时,y∈[0,2],且对每一个x，都有唯一确定的y与其对应，故D能表示从A到B的函数，D正确.故选 C. 5. B 【解析】因为f(2x+1)=4x+3,令2x+1=-1,解得x=-1, 所以f(-1)=f(-1×2+1)=4×(-1)+3=-1.故选 B. 6. C【解析】由题知, 解得x∈[ ,3)∪(3,+∞).故选 C. 7. B 【解析】因为f(x)的定义域为[0,3],所以x∈[0,3]. 在f(2x-1)中,令0≤2x-1≤3,解得 x≤2,所以f(2x-1)的定义域为[1/2.2].故选 B. 8. B 【解析】因为f(x)的定义域为R,所以 恒成立. 避坑：最高次项系数为参数，需对参数是否为0进行讨论 当m=0时，显然成立； 当m≠0时,有 解得0<m≤4. 综上可得，实数m的取值范围为[0，4].故选 B. 9. A 【解析】由f(a)=2,得 解得 故选A. 10. D 【解析】对A,当x>0时, 当且仅当x=1时等号成立. 当x<0时, 当且仅当x=-1时等号成立. 则其值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误； 对B 则其值域为故B错误； 对C，因为 所以1],故C错误; 对D, 的定义域为(0,+∞),则. (0,+∞),则 故 D正确. 故选 D. 11. B 【解析】 当且仅当 即 时取等号，故选B. 12. A 【解析】 令\sqrt{1}-2x=t,t∈[0,+∞),则. \frac{3}{2}，由二次函数的图象和性质可知在[0,1]上 y 随 t的增大而增大,在[1，+∞)上y随t的增大而减小，所以 即函数y=1+x+ 的值域为(-∞,2].故选A. 13. B 【解析】对于A 选项,令 可得x≠0，所以函数 的定义域为{x|x≠0|,故A 错误; 对于B选项,因为f(x)的值域为R,x²+2≥2,即 可取遍(2，+∞)内的所有数，所以 的值域为R，可得函数 的值域也为R，故B正确；对于C选项，令 得x≠-1，所以函数 的定义域为{x|x≠-1|,故C 错误; 对于D选项，函数f(f(x))的定义域为 的解集，故函数f(f(x))的定义域不为R，故D错误.故选 B. 14. D 【解析】对于A,y=2|x|和y=2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故A 不正确； 对于B， 和y=2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故B不正确； 对于C，函数 的定义域为{x|x≠0},避坑：求函数定义域之前不能对解析式化简，否则容易扩大定义域函数y=2x的定义域为R，定义域不同.不是同一个函数.故C不正确； 对于D，函数 的定义域和对应关系与y=2x都相同，是同一个函数.故D 正确.故选 D. 15. C 【解析】对于A,当x<-2时,f(x)没有意义，g(x)有意义，这表明两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，A错误;对于B,f(x)的定义域为{x|x≠1},g(x)的定义域为R，故不是同一个函数.B 错误;对于C、f(x),g(t)的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞),且. 的对应关系一致，故是同一个函数，C正确；对于 点语：只要定义域和对应关系一致，就是同一个函数，与表示函数的变量的字母无关 lxl,g(x)=x,它们的对应关系不一致,故不是同一个函数，D错误.故选C. 易错练 ★易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 16. (1)(4) 【解析】(1)由函数的定义知,满足题意； (2)当x=0时，B中不存在元素与之对应，不满足题意； (3)当x=0时, 没有意义，不满足题意； (4)由函数的定义知，满足题意； (5)集合A不是数集，故不满足题意. ★易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 17. C 【解析】由题意知,当x∈R时,不等式 恒成立. 当k=0时,1>0恒成立; 当k≠0时，则需满足 解得0<k<4. 综上可得 k 的取值范围是[0，4).故选 C. ★易错点3 忽略函数的定义域而致错 18. A 【解析】因为 图象的对称轴为直线x=1,所以当x=1时,f(x)取得最小值-1.当x=-1时,f(-1)=3,当x=2时,f(2)=0,因此函数 [-1,2]的值域为[-1,3],故选 A. ★易错点4 混淆自变量的判定而致错 19. C 【解析】对于 解得-1≤x≤3,所以f(x)的定义域为[-1,3].对于g(x)=f(x+1)有-1≤x+1≤3,解得-2≤x≤2,所以g(x)的定义域是[-2,2].故选 C. 20. D 【解析】f(2x-1)的定义域为[-3,1],即x∈[-3,1],∴2x-1∈[-7,1],∴f(3-4x)的自变量满足-7≤3-4x≤1, 中需满足：5-2x>0,∴x< 综上 的定义域为[ . ).故选 D. 提升练 1. D 【解析】集合A=|1,2|中有两个元素,若在集合B中都对应相同的元素，则有3种情况:f(1)=4,f(2)=4;f(1)=5,f(2)=5;f(1)=6,f(2)=6. 若在集合B中都对应不同的元素，则有6种情况:f(1)=4, f(2)=5; f(1)=5,f(2)=4; f(1)=4,f(2)=6; f(1)=6,f(2)=4;f(1)=5,f(2)=6;f(1)=6,f(2)=5.所以从A到B的函数f(x)有9个.故选 D. 2. B 【解析】由 有意义，可得x≥2,即A=[2,+∞), 由 可得B=[1,+∞), 故A∩B=[2,+∞)=A,故A 错误,B正确;A∪B=[1,+∞)=B,故C 错误; 显然不是集合A的子集，故D 错误,故选B. 3. B 【解析】∵f(x)的定义域为[3,9]. 解得1≤x≤2, 的定义域为[1，2].故选 B. 4. A 【解析】因为函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x), 所以有f(6)=2f(4),f(4)=2f(2), 又f(6)=3f(2)+2, 所以 解得f(4)=4,则f(8)= 2f(6)= 4/(4)=16.故选A. 5. B【解析】结合题意，函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为 如图， 易知f(-1)=f(4)=0,由图可知，要使函数 的定义域是[-1,m],值域为 则实数m的取值范围是 故选 B. 6. AB 【解析】由“[a,b]交汇函数”的定义可知“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为[0，1]. 对于选项A. 的定义域A=(-∞,1],值域/B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],A正确； 对于选项B， 的定义域A=[0.+∞),令 则 1≤1,值域B=(-∞,1],则A∩B=[0,1].B正确； 对于选项C、 定义域A=R,值域B=(0,1],则A∩B=(0,1],C错误; 对于选项 的定义域A=[-1,1],由题可得 x≤1, 当且仅当 时等号成立，. 则 ∴-1≤y≤1,即值域B=[-1,1],则A∩B=[-1,1],D错误.故选AB. 7.【解】(1)由于 的定义域需要满足( x+8≥0. 结合f(x)的定义域为[-1,2],故x=-1和x=2是一元二次方程 2)x+8=0的两个不相等的实数根， 所1 解得m=2. (2)若f(x)的定义域为R,则( 对任意的x∈R均成立，当m=3时, 此时不等式为5x+8≥0，其解集不是全体实数，不符合题意，舍去； 当m=-2时, 此时不等式为8≥0，其解集是全体实数，符合题意； 当m≠3且m≠-2,此时 不等式 为一元二次不等式，要使解集为全体实数，则 解得 或m<-2. 综上可得，实数m的取值范围为 或 8.【解】( (2)由(1)中求得的结果，归纳推理可得 证明 (3)因为 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)+ 素养练 9.14 259 【解析】因为 cx+d, 所以P(1)=2025=1+b+c+d, P(2)=8+4b+2c+d=4050, 所以7+3b+c=2025,所以3b+c=2018,所以P(5)-P(-2)=125+25b+5c+d-(-8+4b-2c+d)=133+21b+7c=133+7(3b+c)=133+7×2018=14259. 学科网（北京）股份有限公司 $