14.3 第2课时 角平分线的判定 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的判定定理，课堂导入先回顾角平分线性质“知平分得等距”，通过交换题设与结论引导猜想，搭建从性质到判定的知识支架，衔接全等三角形证明方法。 其亮点在于以情境问题“建风筝公园到公路铁路距离相等”引导学生用数学眼光抽象模型，通过“猜想-证明-应用”培养推理思维，练习题分层设计助学生用数学语言规范表达。能提升学生推理与应用能力，为教师提供完整教学资源，便于实施分层教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.3 第2课时 角平分线的判定 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/18 人教版八年级上册数学14.3第2课时角平分线的判定专项练习题 知识点核心：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。本节课核心掌握性质与判定的区别，性质是“知平分，得等距”，判定是“知等距，得平分”，结合全等三角形证明角平分线，解决几何推理问题。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于角平分线判定的说法正确的是（） A. 到角两边距离相等的点一定在角平分线上 B. 在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上 C. 角平分线上的点到角两边距离不等 D. 任意一点只要距离角两边相等就是角平分线 2. 已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，则可直接判定（） A. PM=OM B. PN=ON C. OP平分∠AOB D. ∠AOB=90° 3. 下列条件中，能判定射线AD是∠BAC平分线的是（） A. ∠BAD=∠B B. AD到AB、AC的距离相等 C. AD过BC中点 D. AD垂直BC 4. 三角形内部一点到三角形两边距离相等，则该点一定在（） A. 三角形中线 on B. 三角形高线上 C. 对应内角平分线上 D. 边的垂直平分线上 5. 若点M在∠AOB内部，MA⊥OA，MB⊥OB，MA=3，MB=3，则∠AOM与∠BOM的关系是（） A. 互补 B. 互余 C. 相等 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 角平分线的判定定理：角的内部，________________________的点，在这个角的平分线上。 7. 点P在∠ABC内部，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，若PD=PE，则BP平分________。 8. 在△ABC中，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，则AD平分________。 9. 已知∠MON内部有一点P，P到OM的距离为4cm，若P在∠MON的平分线上，则P到ON的距离为________cm。 10. 性质与判定区分：知角平分线证距离相等用________；知距离相等证角平分线用________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 12.（12分）如图，已知PA⊥AB，PB⊥BC，PA=PC，求证：BP平分∠ABC。 13.（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，求证：AC平分∠BCD。 14.（12分）如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点P，求证：点P在∠BAC的平分线上。 15.（12分）如图，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OE=OF，AB、AC交于点A，求证：AO平分∠BAC。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题答案 1.B 解析：角平分线判定必须满足角的内部这一前提，A缺少前提条件，表述不严谨；C、D违背判定定理定义，错误。 2.C 解析：点P在∠AOB内部，且到角两边垂线段相等，根据判定定理，OP平分∠AOB。 3.B 解析：根据角平分线判定，点到角两边距离相等，可判定射线为角平分线，其余条件均无法判定角相等。 4.C 解析：三角形内一点到两边距离相等，符合角平分线判定条件，该点在对应内角平分线上。 5.C 解析：MA⊥OA、MB⊥OB，MA=MB，可判定OM平分∠AOB，因此∠AOM=∠BOM。 （二）填空题答案 6. 到角两边距离相等 7. ∠ABC 解析：点P在角内部，到角两边垂线段相等，所在射线平分该角。 8. ∠BAC 解析：D在△ABC内部，DE、DF为AB、AC边上的垂线段且相等，故AD为角平分线。 9. 4 解析：点在角平分线上，到两边距离相等，是角平分线性质的基础应用。 10. 角平分线性质；角平分线判定 （三）解答题解析 11. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°。又∵DE=DF，AD为公共斜边，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC。 12. 证明：∵PA⊥AB，PC⊥BC，∴∠PAB=∠PCB=90°。在Rt△PAB和Rt△PCB中，PB=PB，PA=PC，∴Rt△PAB≌Rt△PCB（HL），∴∠PBA=∠PBC，故BP平分∠ABC。 13. 证明：∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC，AB=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB=∠ACD，即AC平分∠BCD。 14. 证明：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q。∵BP平分∠CBD，∴PM=PN；∵CP平分∠BCE，∴PN=PQ，∴PM=PQ。又∵PM⊥AB，PQ⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上。 15. 证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OEA=∠OFA=90°。在Rt△OEA和Rt△OFA中，AO=AO，OE=OF，∴Rt△OEA≌Rt△OFA（HL），∴∠OAE=∠OAF，即AO平分∠BAC。 本节总结：本套习题聚焦角平分线判定核心考点，重点区分性质与判定的逆向应用，通过基础选择、填空夯实概念，结合解答题训练几何推理逻辑，熟练掌握“等距证平分”的核心解题思路，适配八年级几何解题要求。 情境导入 1.探索并证明角的平分线的判定定理，感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力； 2.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题. 学习目标 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 回顾复习 叙述角的平分线的性质定理. （不必再证全等） 情境导入 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 这个点在这个角的平分线上. B A D O P E 知识点1：角平分线的判定 探究新知 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等). 探究新知 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 总结 定理的作用： 判断点是否在角的平分线上. 探究新知 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C P 探究新知 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究新知 知识点1 角的平分线的判定 1.如图，于点，于点，，当 ___时， 点在 的平分线上. 2 （第1题） 返回 举一反三 10 （第2题） 2.如图，于点，于点，若 ， 且 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在∠A 的平分线上. 总结 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 D F A B C P N M 探究新知 变式2：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C P △ABC 的三条内角平分线交点处. 若将题目条件换成△ABC 区域外，那么风筝主题公园应建在何处？ 探究新知 变式3：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 探究新知 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 探究新知 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线. B A C D 探究新知 证明：作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，DG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G， ∵ DB 平分∠ABC，DC 平分∠ACH， ∴ DE = DG，DF = DG. ∴ DE = DF. 又 ∵ DE⊥BA，DF⊥AC， ∴ AD 是∠BAC 的外角平分线. B A C D E F G 探究新知 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究新知 1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 当堂检测 2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　 　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C O B A D C 当堂检测 ∠ABD=∠CED， ∠ADB=∠CDE， AB=CE， 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠ABD=∠CED=90°. ∴∠A=∠C. 在△ABD和△CED中 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. 当堂检测 证明：∴△ABD≌△CED(AAS). ∴DB=DE. 又AB⊥CD，CE⊥AD， ∴点D在∠BFE的平分线上， 即FD平分∠BFE. 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. 当堂检测 3.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式 放置，使得顶点重合， ，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 23 4.［教材习题变式］如图，已知， ，垂足分别为 ，，，相交于点，连接.若，求证： 平分 . 举一反三 24 证明：, ， . 在与 中， ,平分 . 返回 举一反三 25 知识点2 三角形的角平分线 5.到的三条边距离相等的点是 的( ) B A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对 返回 举一反三 26 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $