3.3 探索与表达规律 同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦探索与表达规律，分层设计基础巩固、中档提升、综合拓展三阶训练，通过图形、数字、代数式多情境规律探究，培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一规律识别|多项式指数、角的个数等具体图形/数字规律直接应用，如单选题1、填空题7| |中档|多步骤规律推导|正奇数排列、智慧数等需分析周期或递推关系，如单选题3、填空题13| |提升|综合规律应用|点阵图形与等式证明，需抽象公式并验证，如解答题17|

3.3探索与表达规律 同步练习 一、单选题 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ）． A． B． C． D． 2．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：    按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（    ）． A． B． C． D． 3．将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则的值是（    ） A．257 B．258 C．508 D．509 4．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放．若第个图中有2025枚棋子，则的值是（   ） A．675 B．674 C．673 D．672 5．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（    ） A． B． C． D． 6．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中的点的个数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有__________个角；如果引出5条射线，有__________个角；如果引出条射线，有____ 个角． 8．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示） 9．已知是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如3的“哈利数”是的“哈利数”是．已知是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．依此类推，的值为________． 10．如图，房间地面是用大小相同的黑、白正方形瓷砖密铺（用形状、大小完全相同的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片）而成，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成，第20个黑色L形的正方形个数是____________． 11．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖，按如图所示的方式铺地板，第3个图形中有黑色瓷砖___块，第n个图形中有黑色瓷砖____块（用含n的代数式表示）． 12．下图中是有规律的一组图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成的第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，，依此规律，第个图案有__________个三角形用含的代数式表示． 13．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，）．“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是________． 14．如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)． 三、解答题 15．（1）按规律填上所缺的单项式：，，，，________，________，…． （2）试写出（1）中第2024个和第2025个单项式． （3）试写出（1）中第n个单项式． （4）当时，求的值． 16．在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化 表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图： (1)借助图形，我们可以总结出 ． (2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． 17．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ； ； ； ； ． (1)请在和后面的横线上分别写出相应的等式； (2)猜想第（是正整数）个图形相对应的等式，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查的是多项式的指数规律的探究，分别根据多项式中a，b的指数变化规律得到答案即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴多项式中第一个单项式为，，，，…， 多项式中第二个单项式为b，，，，…，， ∴第个多项式是． 故选：D． 2．A 【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒的变化是图②的火柴棒比图①多6根，图③的火柴棒比图②多6根，据此找出规律即可解答． 【详解】由图形可知，第一个金鱼需用火柴棒的根数为：； 第二个金鱼需用火柴棒的根数为：； 第三个金鱼需用火柴棒的根数为：； …； 第n个金鱼需用火柴棒的根数为：， 故选：A． 【点睛】本题考查找规律和列代数式，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法，先观察特例，找出火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要火柴棒的根数． 3．B 【分析】本题主要考查数字规律，根据题意可得奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，每行4个数，通过观察第三列的数的排列规律，可得第三列的数为，从而得到应该在第254行第4列，即可求解．解题的关键是发现数字的规律． 【详解】解：根据题意得：奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，每行4个数， 观察第三列的数的排列规律， 得出第三列数：3，11，19，27，…， ∴第行第三列的数为， ∵， ∴应该在第254行第4列， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．观察图形可知，第n个图形有枚棋子，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， …， ∴可以得到规律第n个图中有个棋子， ∵第n个图中有2025枚棋子， ∴， 解得， 故选B． 5．C 【分析】本题考查了图形类规律探索，明确题意，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 观察图形可知，第一个图案为个窗花，第二个图案为个窗花，第三个图案为个窗花，，由此可得第n个图案所贴窗花数，于是得解． 【详解】解：第一个图案为个窗花， 第二个图案为个窗花， 第三个图案为个窗花， ， 由此可得，第n个图案所贴窗花数为个， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了图形类规律探索，设第个图形共有个点（为正整数），由图可得，，，，…，由此即可得解． 【详解】解：设第个图形共有个点（为正整数）， 观察图形，可知，，，，…， 所以（为正整数）． 故选B． 7． 10 21 【分析】先找以为始边的角，然后再找依次以射线为始边的角，依次找出相加即可． 【详解】在的内部从引出3条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出5条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出条射线，则图中共有角的个数：． 故答案为：10；21；． 【点睛】考查了角的概念，本题解决的关键是在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序是解题的关键． 8． 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 9．3 【分析】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 分别求出数列的前个数得出该数列每个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴该数列以每4个数为1个周期循环． ∵， ∴ 故答案为：. 10．79 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出黑色形中正方形的个数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现黑色形中正方形的个数依次增加4是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个形的正方形个数是：； 第2个形的正方形个数是：； 第3个形的正方形个数是：； ， 所以第个形的正方形个数是个． 当时，（个）， 即第20个形的正方形个数是79个． 故答案为：79． 11． 13 / 【分析】本题考查了图形类规律探索题，观察图形得出规律即可求解，准确找出规律是解题的关键． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形中有黑色瓷砖块， 第2个图形中有黑色瓷砖块 第3个图形中有黑色瓷砖块， 由此可得， 第n个图形中有黑色瓷砖块， 故答案为：13，． 12．（3n+1） 【分析】由题意可知：第（1）个图案有3＋1＝4个三角形，第（2）个图案有3×2＋1＝7个三角形，第（3）个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形． 【详解】解：∵第（1）个图案有3＋1＝4个三角形， 第（2）个图案有3×2＋1＝7个三角形， 第（3）个图案有3×3＋1＝10个三角形， … ∴第n个图案有（3n＋1）个三角形． 故答案为：（3n＋1）． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 13．2701 【分析】本题考查了探索规律的问题，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．根据题意观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．归纳可得第n组的第二个数为，又因为，所以第2024个智慧数是第675组中的第2个数，从而得到． 【详解】解：观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1． 归纳可得第n组的第二个数为， ∵， ∴第2024个智慧数是第675组中的第2个数， 即为． 故答案为：2701． 14． 3 6 15 【分析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论． 【详解】解：三条直线相交交点最多为：1＋2＝3个； 四条直线相交交点最多为：1＋2＋3＝6个； 六条直线相交交点最多为：1＋2＋3＋4＋5＝15个； n(n为大于1的整数)条直线相交交点最多可有：个． 故答案为：3，6，15，． 【点睛】考查了规律型：图形的变化，根据两条直线相交，有一个交点．那么画第n条直线的时候，要产生最多的交点个数，则可以和前面的n−1条直线都产生不同的交点，即多（n−1）个交点．得出规律是解题关键． 15．（1）, （2）， （3） （4）−5050 【分析】（1）观察单项式的系数和次数规律，直接填入即可； （2）通过（1）的规律变化直接写出第和个单项式即可； （3）通过（1）（2）的规律变化直接写出可得出第个单项式； （4）把代入后利用小学学习的高斯公式求值即可. 【详解】解：（1） ，； （2）第2024个单项式为，第2025个单项式为； （3）第个单项式为； （4）原式 = =． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数规律变化情况，同时利用规律的变化进行有理数的运算，其中掌握单项式系数和次数规律变化是解题的关键. 16．(1) (2) 如图所示， 【分析】此题考查了数字类和图形类规律问题，解题的关键是正确根据图形找到规律． （1）根据图形找到规律，进而求解即可； （2）根据题意画出第四个图，然后根据图形找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）根据图形可得，，，， ∴； （2）由图形可得，，，， ∴． 17．(1)，； (2)， 由； ； ； ； ； ； ∴第个图形：， 右边， ∴左边右边， 即． 【分析】（）结合图形，根据所给的等式即可继续写出等式； （）在计算（）的过程中，发现：第个图中，等式的左边是个，再加上，右边是个减去． 【详解】（1）∵； ； ； ∴，， 故答案为：，； （2）略 【点睛】此题考查了图形变化规律，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $