精品解析：山西吕梁市交口县2025-2026学年八年级下学期学业水平达标数学试题

2025–2026学年第二学期学业水平达标卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解得：． 故选：D． 2. 下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A. ，， B. ，， C. 5，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股数的知识，满足的三个正整数，称为勾股数，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：A、因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； B、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； D、因为，，，，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 若一个正多边形的外角是，则它的边数是（ ） A. 18 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形外角和为，且每个外角度数相等，通过外角和除以单个外角度数可求边数． 【详解】解：该正多边形的边数为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减法法则，二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算正确； B、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误． 5. 如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ） A. 杨辉 B. 刘徽 C. 祖冲之 D. 赵爽 【答案】D 【解析】 【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽． 故选D． 【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理． 6. 直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. 2.6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理可求得，再由，即可得点D表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是． 8. 如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（ ） A. 10分 B. 9分 C. 8分 D. 6.4分 【答案】C 【解析】 【分析】根据雷达图读取五项能力的具体得分，结合给定的权重比例，利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： 分， ∴他的综合得分为8分． 9. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图象法求出不等式的解集，在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为， 在数轴上表示为： 10. 某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（ ） A. 从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B. 该植物最高为 C. 线段的函数表达式为 D. 第40天，该植物的高度为 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、∵直线平行于x轴， ∴50天后该植物的高度没有发生变化， ∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意； C、设当时，y与x的函数表达式为， 则， ∴， ∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意； B、在中，当时，， ∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意； D、在中，当时，， ∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意； 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 12. 已知一次函数的图象经过，两点，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过，两点，且， ∴． 13. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 14. 一组数据1，6，3，4，2，7，5，8，9，它的第三四分位数是__________． 【答案】 7（或7.5） 【解析】 【详解】解：法一：将原数据从小到大排列为 ，，，，，，，，，数据总个数， ∵第三四分位数对应位置， ∴不是整数，取大于的最小整数， ∴第三四分位数是排列后第个数据，即； 法二：将数据排序后，后四位数据为，，，， ∴第三四分位数为. 15. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，B与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】首先证明BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∴∠EDB＝∠DBC； 由题意得：∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ ， 设ED＝x，则AE＝8﹣x； ∴EB＝ED＝x； 在 中，由勾股定理得： BE2＝AB2+AE2， 即x2＝42+（8﹣x）2， 解得：x＝5， ∴BE＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形与翻折变换及其应用问题，解题的关键是根据翻折变换的性质，结合等腰三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 18. 如图，已知直线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与直线交于点． （1）求出a，b的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入得，将代入得； （2）先求出和，得到，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴, 将代入得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令时，，解得，； 令时，，解得，； ∴， ∴． 19. 每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，营造校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动．数学课外小组针对学生的阅读打卡积分进行了调查，分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）： B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 数学课外小组对所抽取学生积分进行了整理与分析，并汇总得到了如下所示的相关数据： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全以上样本数据的条形统计图和统计表； （2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”．已知B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ （3）为了让更多学生坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明哪个班应该得奖．（写出两条理由即可） 【答案】（1）补全条形统计图如图所示： 补全统计表如下： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 （2） （3）解：B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分、中位数都高于A班，且方差更小说明成绩更稳定． 【解析】 【小问1详解】 解：根据统计图可得，获得10分的学生人数为（人）， 补全条形统计图略． A班学生的积分平均数为； A班学生的积分分出现次数最多，故众数为； A班学生的积分的方差为； B班学生的积分平均数为； B班学生的积分从小到大的第5名和第6名成绩分别为8和9，故中位数为； 补全统计表略； 【小问2详解】 解：B班的“阅读小达人”人数为（名）． 【小问3详解】 略 20. 某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． （1）请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； （2）根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元 【解析】 【分析】（1）设购进A配件x件，则购进B配件件，再根据销售获得的利润售出全部A配件的利润售出全部B配件的利润，即可求解； （2）根据题意列出关于x的不等式，再利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得， 由（1）得，， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元． 21. 【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 【答案】①；②． 【解析】 【分析】①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出； ②连接CE，证明，即可得，由此即可求解． 【详解】：①过点作于点，连接， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； ②， 过程如下：如解图3，连接CE， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形． 22. 综合与实践 问题情境： 乐器琴弦的振动频率决定音调高低，物理实验得出：在琴弦粗细、长度固定不变时，琴弦受到的拉力（张力）与振动频率的平方满足一次函数关系． 某实验小组取一根粗细、长度均相同的钢丝琴弦做测试，设琴弦拉力为（单位：N），琴弦振动频率的平方为（单位：）． 测得两组实验数据：拉力时，频率的平方；拉力时，频率的平方． 音乐常识： 频率的平方数值越大，音调越高；演奏时调节琴弦松紧，本质就是改变琴弦拉力大小． 解答问题： （1）设与满足一次函数，求出该一次函数的解析式； （2）若弹奏中音时，琴弦拉力为，利用解析式求出此时琴弦的振动频率的平方； （3）演奏乐曲时，中音音调高于中音．已知中音对应的琴弦拉力比中音大，且中音频率的平方恰好是中音频率的平方的倍，设中音拉力为，列方程求出的值，再分别算出中音、的振动频率的平方． 【答案】（1）一次函数解析式为． （2）此时琴弦的振动频率的平方为． （3）的值为，中音的振动频率的平方为，中音的振动频率的平方为． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件把两组数据代入，求出，即求出一次函数的解析式． （2）把代入解析式，求出即可； （3）根据已知条件得出中音对应频率的平方：，中音对应频率的平方：，又因为频率的平方频率的平方，求出，由此即可得答案． 【小问1详解】 解：已知一次函数：，由题意 得： 解得： 解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入解析式，得； 【小问3详解】 解：中音拉力： ，对应频率的平方：， 中音拉力： ，对应频率的平方：， 频率的平方频率的平方， ， 解得：， 中音频率的平方：， 中音拉力：， 中音频率的平方：． 23. 如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，是对角线，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若． ①求证：四边形是菱形； ②当，时，求四边形的面积； ③在①②条件下，若点是对角线上的动点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）①证明：四边形是平行四边形， ，即 ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形， E为边的中点， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 四边形为菱形； ②． ③5． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得出四边形是菱形； ②由四边形是矩形容易求出，进而可得，根据平行四边形的对角线平分平行四边形面积即可得出菱形的面积； ③连接交于O，根据两点之间线段最短即可得出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：由①可知：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴菱形的面积． ③连接交于O， ∵同理（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴当点、、三点共线时，即点P与点重合时，最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年第二学期学业水平达标卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中是勾股数的一组是（　　） A. ，， B. ，， C. 5，， D. ，， 3. 若一个正多边形的外角是，则它的边数是（ ） A. 18 B. 12 C. 16 D. 20 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ） A. 杨辉 B. 刘徽 C. 祖冲之 D. 赵爽 6. 直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. 2.6 D. 8. 如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（ ） A. 10分 B. 9分 C. 8分 D. 6.4分 9. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（ ） A. 从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B. 该植物最高为 C. 线段的函数表达式为 D. 第40天，该植物的高度为 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 12. 已知一次函数的图象经过，两点，则__________．（填“”“”或“”） 13. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______． 14. 一组数据1，6，3，4，2，7，5，8，9，它的第三四分位数是__________． 15. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，B与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 18. 如图，已知直线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与直线交于点． （1）求出a，b的值； （2）求的面积． 19. 每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，营造校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动．数学课外小组针对学生的阅读打卡积分进行了调查，分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据： A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）： B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 数学课外小组对所抽取学生积分进行了整理与分析，并汇总得到了如下所示的相关数据： A班 B班 平均数 中位数 8 众数 8 方差 0.84 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全以上样本数据的条形统计图和统计表； （2）若9分及9分以上为班级“阅读小达人”．已知B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？ （3）为了让更多学生坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明哪个班应该得奖．（写出两条理由即可） 20. 某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． （1）请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； （2）根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 22. 综合与实践 问题情境： 乐器琴弦的振动频率决定音调高低，物理实验得出：在琴弦粗细、长度固定不变时，琴弦受到的拉力（张力）与振动频率的平方满足一次函数关系． 某实验小组取一根粗细、长度均相同的钢丝琴弦做测试，设琴弦拉力为（单位：N），琴弦振动频率的平方为（单位：）． 测得两组实验数据：拉力时，频率的平方；拉力时，频率的平方． 音乐常识： 频率的平方数值越大，音调越高；演奏时调节琴弦松紧，本质就是改变琴弦拉力大小． 解答问题： （1）设与满足一次函数，求出该一次函数的解析式； （2）若弹奏中音时，琴弦拉力为，利用解析式求出此时琴弦的振动频率的平方； （3）演奏乐曲时，中音音调高于中音．已知中音对应的琴弦拉力比中音大，且中音频率的平方恰好是中音频率的平方的倍，设中音拉力为，列方程求出的值，再分别算出中音、的振动频率的平方． 23. 如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，是对角线，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若． ①求证：四边形是菱形； ②当，时，求四边形的面积； ③在①②条件下，若点是对角线上的动点，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $