精品解析：山西大同市第一中学校南校2025-2026学年第二学期期末测试八年级数学试卷

大同一中2025―2026学年第二学期期末综合素养评价 八年级数学 注意事项： 1．共8页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、教室编号、座位号填写在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是1992年发行的一角硬币，其轮廓为外圆内凸九边形，将其内部抽象为如图2所示的正九边形．该正九边形的一个内角为（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于正半轴 C. 它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D. 图象过点，，若，则 6. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 9. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 11. 已知是正整数，则正整数的最小值是 ____ ． 12. 某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 13. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 14. 某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为________． 15. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）． （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与直线交于点． （1）求直线的函数解析式． （2）直接写出不等式的解集． 18. 为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ （1）设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； （2）某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 19. 某中学组织八年级学生开展安全教育素养提升活动．活动结束后，学校开展安全知识达标竞赛，竞赛成绩（单位：分，满分为10分）分为A，B，C，D四个等级，对应得分依次为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩进行整理分析，并绘制成相关统计图表如下． 性别 平均数 中位数 众数 女生 8.72 9 男生 8.72 8 请根据所给信息解答下列问题： （1）______，______，请将条形统计图补充完整． （2）小李认为，男生和女生竞赛成绩的平均数相同，因此男生和女生的竞赛成绩一样好．你认为小李的结论是否片面，并说明理由（写出一条即可）． （3）若八年级共有300名学生（男生、女生各一半）参加本次知识竞赛，且规定获得10分为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少名． 20. 项目化学习 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元； 1辆中型比3辆紧凑型的进价少24万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆． 该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的． 问题解决： （1）任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． （2）任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 21. 阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” （1）依据：______________； 任务二： （2）请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．我校数学实践小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数（厘米） 6 8 10 12 14 【探索发现】 （1）以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将表中的数据在平面直角坐标系中描出，并将描出的点连线； （2）供水时间与箭尺读数满足______________关系（填“一次函数”或“正比例函数”），请你求出函数表达式； 【结论应用】 （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为32厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为50厘米） 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： （1）请解答老师提出的问题； 实践探究： （2）勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： （3）善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同一中2025―2026学年第二学期期末综合素养评价 八年级数学 注意事项： 1．共8页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、教室编号、座位号填写在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零列得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键． 2. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次根式运算法则，逐一验证各选项计算是否正确． 【详解】解：A.，故A错误． B.，故B错误． C.，故C正确． D.，故D错误． 4. 图1是1992年发行的一角硬币，其轮廓为外圆内凸九边形，将其内部抽象为如图2所示的正九边形．该正九边形的一个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得． 【详解】∵正九边形的内角和为，且每个内角都相等， ∴该正九边形的一个内角的大小为． 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于正半轴 C. 它是由正比例函数向下平移1个单位长度得到 D. 图象过点，，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一次函数，，， ，， 图象经过第一、三、四象限， 故该选项错误，不符合题意； B、， 图象与轴交于负半轴， 故该选项错误，不符合题意； C、将正比例函数向下平移1个单位长度，得到， 故该选项正确，符合题意； D、， 随的增大而增大， 若，则， 故该选项错误，不符合题意． 6. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点为， 则方程组的解为，即方程组的解为． 8. 某同学将英语演讲比赛中每位选手最终得分绘制成如图所示的统计图，根据图中数据可以得到（ ） ①这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； ②所有选手得分的平均分为85分； ③最高分与最低分相差6分； ④所有选手得分的上四分位数为88分． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：由箱线图可知， 这次比赛的所有选手得分中，最高分为98分； 所有选手得分的中位数为85分，平均数无法确定； 最高分与最低分相差分； 所有选手得分的上四分位数为88分， 结论①、④正确，②、③错误． 9. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 10. 如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、从函数图象中获取信息，由矩形的性质结合勾股定理得出，根据当点在上运动且到达点时求出的值，再根据当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为，即可得出的值，从而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 当点在上运动且到达点时，， ∴， 当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为， ∴， ∴， 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 11. 已知是正整数，则正整数的最小值是 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，解题关键是将分解成一个完全平方式和一个代数式的积的形式．将分解成，则是完全平方数，即可求得满足条件的最小正整数． 【详解】解：是正整数， 即是完全平方数， 正整数的最小值是． 故答案为：． 12. 某同学参加英语演讲比赛，其内容选择、表达能力、综合表现三项得分分别为8分、9分、7分（满分均为10分）．若将三项得分依次按的比例计算平均成绩，则该同学的平均成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求解． 【详解】解：（分）， 则该同学的平均成绩为分． 13. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键． 【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 14. 某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布．若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），先根据离差平方和的定义分别求出两组数据的离差平方和，再根据组内离差平方和的定义列式计算即可． 【详解】解：第一组数据的平均数为：， 第一组数据的离差平方和为：， 第二组数据的平均数为：， 第二组数据的离差平方和为：， 所以组内离差平方和为， 故答案为：24． 15. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质以及勾股定理可得，再证明可得，，即；设，则，利用勾股定理列方程可得，即；如图：取的中点H，则，利用三角形中位线定理可得，，即；如图：过G作于I，连接,易得四边形是矩形，即，，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：取的中点H，连接,则， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 如图：过G作于I，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点，与直线交于点． （1）求直线的函数解析式． （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法将两点分别代入表达式求得的值，即可求得直线的函数解析式； （2）根据图象及一次函数与不等式的关系即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知直线与直线交于点， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 18. 为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ （1）设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； （2）某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】（1） （2）该居民今年的燃气费是1897.2元 【解析】 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 19. 某中学组织八年级学生开展安全教育素养提升活动．活动结束后，学校开展安全知识达标竞赛，竞赛成绩（单位：分，满分为10分）分为A，B，C，D四个等级，对应得分依次为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩进行整理分析，并绘制成相关统计图表如下． 性别 平均数 中位数 众数 女生 8.72 9 男生 8.72 8 请根据所给信息解答下列问题： （1）______，______，请将条形统计图补充完整． （2）小李认为，男生和女生竞赛成绩的平均数相同，因此男生和女生的竞赛成绩一样好．你认为小李的结论是否片面，并说明理由（写出一条即可）． （3）若八年级共有300名学生（男生、女生各一半）参加本次知识竞赛，且规定获得10分为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少名． 【答案】（1）9；10；补全条形图如图所示： （2）小李的结论是片面的．理由：虽然男生和女生的平均数相同，但女生的中位数（9分）高于男生的中位数（8分），说明女生的整体成绩分布偏向高分段，或者女生的众数（9 分）与男生的众数（10分）不同，说明高分段人数分布不同，仅凭平均数无法全面评价成绩的好坏 （3）102名 【解析】 【分析】（1）将25名女生的竞赛成绩从大到小排列，第13个数据在B组，再结合中位数的定义可得答案，由八年级男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A等级的人数占比最大，结合众数的定义可得答案；由女生竞赛成绩统计图可得，女生竞赛成绩在C等级的学生人数，再补全统计图即可； （2）分别从平均数，中位数角度出发分析即可； （3）由优秀率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵随机抽取男生、女生各25名的竞赛成绩，女生竞赛成绩中位数应按从大到小排列的第13位同学的成绩，从女生竞赛成绩条形统计图可知女生竞赛成绩中位数落在B等级范围内， ∴； ∵从男生竞赛成绩扇形统计图可知男生竞赛成绩在A等级的人数占比最大， ∴抽取男生的竞赛成绩中，男生竞赛成绩的众数； 由女生竞赛成绩统计图可知，女生竞赛成绩C等级学生人数为(人)， 补全条形统计图略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，样本中A等级（10分）的人数为： 女生：7人 ，男生：(人)， 样本中A等级的总人数为：(人)， 样本总人数为：(人)， 八年级成绩为优秀的学生人数约为：(名)， 答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为 优秀的学生共有102名． 20. 项目化学习 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元； 1辆中型比3辆紧凑型的进价少24万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆． 该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的． 问题解决： （1）任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． （2）任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元 （2）购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元 【解析】 【分析】（1）根据题意设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，列二元一次方程组，利用消元法求解即可； （2）根据题意求出购进紧凑型新能源汽车的范围，利润=单价利润销量，得出总利润和购进紧凑型新能源汽车数量的关系为一次函数，利用一次函数的增减性即可进行求解． 【小问1详解】 解：设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元， 根据题意，可得， 解得， 答：中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元； 【小问2详解】 解：设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆，总利润为万元， 根据题意，可得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，总利润最大，最大利润是（万元）， 此时， 答：购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元． 21. 阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” （1）依据：______________； 任务二： （2）请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： （3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）证明过程补充如下： 由作图可知：直线垂直平分， ，， 在等腰三角形中，， ． 四边形是平行四边形， ． ． . ． ． 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （3）答案不唯一： 四边形即为所求作的菱形 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得是菱形； （2）由作图可知，直线垂直平分，，，只需证明，，从而得到是平行四边形，结合，进一步证明平行四边形是菱形； （3）利用平行四边形的性质和角平分线的性质进行尺规作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①在，上截取，，连接，四边形即为所求作的菱形； ②过点作的角平分线，交于点，连接，在边上截取，交于点，连接，四边形即为所求作的菱形； ③过点作的角平分线，交于点，在边上截取，连接，四边形即为所求作的菱形． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．我校数学实践小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数（厘米） 6 8 10 12 14 【探索发现】 （1）以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将表中的数据在平面直角坐标系中描出，并将描出的点连线； （2）供水时间与箭尺读数满足______________关系（填“一次函数”或“正比例函数”），请你求出函数表达式； 【结论应用】 （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为32厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为50厘米） 【答案】（1）描点连线如图： （2）一次函数； （3）当箭尺读数为32厘米时是21点钟，即晚上9点 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据描点，连线即可； （2）根据一次函数图象的性质，观察图象即可求解；根据待定系数法，即可求出函数表达式； （3）根据题意，求出自变量，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，供水时间与箭尺读数满足一次函数关系； 设该一次函数关系为， 将，分别代入，得 ，解得， 一次函数表达式为：； 【小问3详解】 解：把代入，得 32，解得， 当箭尺读数为32厘米时是21点钟，即晚上9点． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： （1）请解答老师提出的问题； 实践探究： （2）勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： （3）善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】（1），证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； （2）四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $