精品解析：湖北十堰市东风高级中学2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题

高三年级8月检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（ ） A. 命题为“,”且为真命题 B. 命题为“,”且为假命题 C. 命题为“,”且为假命题 D. 命题为“,”且为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案. 【详解】∵命题的否定为特称命题, ∴:,,排除AD; 因为当时,, ∴为假命题,排除B. 故选:C. 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 3. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 4. 如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性结合等比数列的性质入手进行分析即可得解. 【详解】充分性：当，时，，显然数列是递增数列， 当，时，，显然数列是递减数列， 综上可得充分性成立； 必要性：当数列为递增数列时，对恒成立， 可得，； 当数列为递减数列时，对恒成立， 可得，； 综上可得必要性成立； “”是“数列为单调数列”的充分必要条件. 故选：C. 5. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：D. 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由极小值点算出的值，举特殊值计算可判断ABC；代入计算可判断D. 【详解】由题， 令，解得， 因为是极小值点， 所以当时，是极小值点，是极大值点成立， 当时，是极大值点，是极小值点，舍去， 所以， 对于A，， 所以，故A不正确； 对于B，令，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，， 所以，故C不正确； 对于D，， ， 所以，故D正确. 7. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 675 B. 1275 C. 1276 D. 676 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知，构造两个不等式和，再将这三个同向不等式相加，得到，又已知，从而得到，利用这个递推关系式及等差数列的前项和公式求出. 【详解】，，， 以上三个等式相加得：，又，， ，，，，， 以上等式相加，得，又，. 故选：B. 8. 将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有前两列数字之和为9的填法有（ ） A. 15360种 B. 30720种 C. 21120种 D. 42240种 【答案】B 【解析】 【分析】先找出所有数字之和为9的情况填写前两列，再写出后三列符合题意的所有情况再逐一排列. 【详解】数字之和为9的有，，，，，共种，则前两列共有种， 假设前两列放的是，， 则后三列有，，，，，，，共八种情况， 先从这八种情况中选择一种，再将其放入后三列中，并将每一种进行排序，则后三列共有种， 则仅有前两列数字之和为9的填法有种. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. 的最大值为15 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断AB，把分别转化，再利用不等式的性质可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，又， 所以，即的最大值为15，故C正确； 因为，又， 所以，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则是3阶聚合点集 B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C. 若，则不是阶聚合点集 D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确. 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法及偶函数的定义判断ABC，根据单调性的定义判断D. 【详解】令，，， 再令，得（1）， 即，所以，故B正确； 令，得， 由（1）得，，故A正确； 令，，，，， 即，故C不正确； 设，则，则由B，C的分析及题意可得 即，在上单调递减，又是偶函数， 在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值以及赋变量，化抽象为具体函数，再判断奇偶性和单调性. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知随机变量X，Y满足，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式求得，再根据期望的性质可得结果. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项分布的期望公式以及期望的性质，属于基础题. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……① 因为关于的二次方程①有实根，所以，可得， 取最大值时，或， 当时，， 当时，， 综上可知当时， 法二：柯西不等式：由可得： ， 当且仅当时取等号，即时，取等号， 这时或 当时，， 当时，， 综上可知当时， 考点：柯西不等式. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数、的值； （2）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知、，代入求得，进而确定，从而得，代入求得，注意验证，即可得； （2）由题设，根据包含关系有或或或，进而依次求出对应参数值，即可得. 【小问1详解】 由题设，显然，而， 所以，，解得，则， 因此，，解得，则， 综上，，符合题意，故，； 【小问2详解】 当时，， 由，得或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得，此时，符合题意； 当时，，无解， 所以实数的取值范围是. 16. 已知数列满足，，数列满足，． （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围． 【小问1详解】 因为，，两边同时除以可得： ，从而，， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 则； 【小问2详解】 由，， 所以，则， 所以， 所以 则， 因为中的每一项，所以为递增数列， 所以，因为， 所以，即实数的取值范围为. 17. 已知函数和，定义集合. （1）设，求； （2）设，当时，求的取值范围； （3）设，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【小问1详解】 已知， 由即， 解得 ， 则； 【小问2详解】 已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 已知， 由得，不等式组有解， 由， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 18. 设函数. （1）求的最大值； （2）若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 【答案】（1）1 （2）（i）且； （ii）根据（i）可知时，存在两个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 为的零点，则，因为，所以， 则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 即，，， 所以， 故，，当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【解析】 【分析】（1）直接求导，求出函数有唯一的极大值点，即为最大值点，求出最大值即可； （2）（i）由存在两个极值点，则存在个变号零点，令，求出零点即可求出的取值范围；（ii）先根据导数关系确定极大值点和极小值点，再分别求出极值，最后利用基本不等式得出证明结论. 【小问1详解】 由题可知，定义域为，则， 当时，则，所以在上单调递增， 当时，则，所以在上单调递减， 故在处取极大值，即最大值，为． 【小问2详解】 （i）由题可得，，则， 因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令， 则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根， 当时，方程无解，则，所以，因此且； （ii）略 19. 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）由题知，因为，所以， 由，，，，，，． 得 ． 因为，所以， 又， ， 所以， 故． 所以． 【解析】 【分析】（1）（i）分两种情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；（ii）根据条件转化为关于数列的递推关系式，再求通项公式； （2）由条件可知，再写出随机变量的取值和期望公式，根据组合数公式和二项式定理化简. 【小问1详解】 （i）恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球， 故恰好得2分的概率为． （ii）在取球过程中不得到分只有一种可能：得分后取到黄球得2分， 因此，，而，且，， 故． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级8月检测 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（ ） A. 命题为“,”且为真命题 B. 命题为“,”且为假命题 C. 命题为“,”且为假命题 D. 命题为“,”且为真命题 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 675 B. 1275 C. 1276 D. 676 8. 将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有前两列数字之和为9的填法有（ ） A. 15360种 B. 30720种 C. 21120种 D. 42240种 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. 的最大值为15 D. 的最小值为 10. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则是3阶聚合点集 B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C. 若，则不是阶聚合点集 D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知随机变量X，Y满足，，则_______. 13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 14. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数、的值； （2）若，，求实数的取值范围. 16. 已知数列满足，，数列满足，． （1）求证：为等差数列，并求通项公式； （2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 17. 已知函数和，定义集合. （1）设，求； （2）设，当时，求的取值范围； （3）设，若，求的取值范围. 18. 设函数. （1）求的最大值； （2）若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 19. 口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分． （1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为， （i）求； （ii）求； （2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $