湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考数学试卷

参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D A D D C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 三、填空题 12． 13． 14．， 四、解答题 15．【解】（1）因为， 由正弦定理可得，， 所以， 3分 因为，所以， 5分 又，所以． 6分 （2）因为，所以， 8分 由余弦定理，得，即， 10分 又因为，所以， 12分 所以的周长为． 13分 16【解析】（1）证明：取的中点，连接，，， 则，且． 2分 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 4分 又平面，平面，所以直线平面 6分 （2）如图，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 8分 设是平面的法向量， 则，， 取得 11分 设是平面的法向量， 取得． 14分 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15分 17．【解析】（1）因为，所以不愿意报名参加答题活动人数为，愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为， 2分 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 5分 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； 8分 （2）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 14分 故． 15分 18．【详解】（1）将点代入抛物线方程得， 所以抛物线的方程为． 2分 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 4分 所以直线的方程为 5分 （2）（i）依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则 7分 ， 联立得，； 联立得，代入上式得： ， 9分 则有， 10分 （1舍去） 所以直线的斜率为定值． 12分 （ii）依题意，，则 13分 ， 由（i）知直线的方程为与抛物线的方程联立得，所以代入上式得， 故为定值． 17分 19．【解析】 （1）当时，，定义域为， ，或 2分 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为 4分 （2）因为，所以的定义域为，， 5分 当为奇数时，为偶数，恒成立， 所以在定义域上单调递减 7分 当为偶数时，为奇数，， 所以在上单调递减，在上单调递增 9分 （3）证明：要证，即证 则， 10分 当时，，， 则在，上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，端点值，所以此时恒成立． 11分 当时，令，则 所以，在上单调递增，在上单调递减，所以 13分 由，得在递增，在递减，所以，故 所以，即代入得 14分 ， 所以，则， 16分 所以在上单调递减，在上单调递增．恒成立． 综上，对，成立即恒成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．已知一组数据，，1，3，5的平均数为3，方差为2，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．22 B．30 C．42 D．72 5．已知向量，满足，，且满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 7．若，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式一共有7项，则（ ） A． B．展开式中常数项为 C．展开式中的系数为 D．展开式的各项系数之和为64 10．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ） A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱 C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为 11．已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为________． 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 14．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．如图，“三角垛”共3层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径都是1，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上， （1）该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为________； （2）若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； 16．（满分15分）如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（满分15分）2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． 若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（满分17分）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为． 过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． （1）求直线的方程； （2）已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 （i）判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． （ii）判断是否为定值，并说明理由． 19．（满分17分）已知，函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：对，恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $